Lisäaine hajoaminen on positiivinen kokonaisluku koostuu ilmaista se summana kahden tai useamman positiivisia kokonaislukuja. Siten meillä on, että luku 5 voidaan ilmaista muodolla 5 = 1 + 4, 5 = 2 + 3 tai 5 = 1 + 2 + 2. Jokainen näistä tavasta kirjoittaa numero 5 on nimeltään additiohajoaminen.

Jos kiinnitämme huomiota, voimme nähdä, että lausekkeet 5 = 2 + 3 ja 5 = 3 + 2 edustavat samaa koostumusta; molemmilla on samat numerot. Kuitenkin vain mukavuuden vuoksi jokainen lisäys on yleensä kirjoitettu noudattaen kriteeriä alimmasta korkeimpaan.

Lisäaineen hajoaminen

Toisena esimerkkinä voidaan ottaa luku 27, joka voidaan ilmaista seuraavasti:

27 = 7 + 10 + 10

27 = 9 + 9 + 9

27 = 3 + 6 + 9 + 9

27 = 9 + 18

Lisäainehajotus on erittäin hyödyllinen työkalu, jonka avulla voimme vahvistaa tietämystämme numerointijärjestelmistä.

Kaanoninen lisäainehajoaminen

Kun meillä on numeroita, joissa on enemmän kuin kaksi numeroa, erityinen tapa hajottaa ne ovat luvun 10, 100, 1000, 10 000 jne. Kerrannaisilla. Tätä tapaa kirjoittaa mitä tahansa numeroa kutsutaan kanoniseksi additiiviseksi hajoamiseksi. Esimerkiksi numero 1456 voidaan hajottaa seuraavasti:

1456 = 1000 + 400 + 50 + 6

Jos meillä on numero 20 846 295, sen kanoninen lisäainehajoaminen on:

20 846 295 = 20 000 000 + 800 000 + 40 000 + 6000 + 200 + 90 +5.

Tämän hajoamisen ansiosta voimme nähdä, että tietyn numeron arvon antaa sijainti, jonka se vie. Otetaan esimerkiksi numerot 24 ja 42:

24 = 20 + 4

42 = 40 +2

Täällä voimme nähdä, että 24: ssä 2: n arvo on 20 yksikköä ja 4: n arvo on 4 yksikköä; ja toisaalta vuonna 42 4: n arvo on 40 yksikköä ja 2 kahden yksikön. Siksi, vaikka molemmat numerot käyttävät samoja numeroita, niiden arvot ovat täysin erilaisia ​​sijainnistaan ​​johtuen.

Sovellukset

Yksi sovelluksista, joita voimme antaa additiohajoamiselle, on tietyntyyppisissä todisteissa, joissa on erittäin hyödyllistä nähdä positiivinen kokonaisluku muiden summana.

Esimerkki lause

Otetaan esimerkki seuraavasta lauseesta ja siihen liittyvistä todisteista.

- Olkoon Z 4-numeroinen kokonaisluku, niin Z on jaollinen viidellä, jos sitä vastaava luku yksiköille on nolla tai viisi.

Esittely

Muistakaamme, mikä on jaettavuus. Jos meillä on "a" ja "b" kokonaislukuja, sanomme, että "a" jakaa "b", jos on kokonaisluku "c" sellainen, että b = a * c.

Yksi jaettavuuden ominaisuuksista kertoo meille, että jos "a" ja "b" ovat jaettavissa c: llä, niin myös vähennys "ab" on jaettavissa.

Olkoon Z 4-numeroinen kokonaisluku; siksi voimme kirjoittaa Z: ksi Z = ABCD.

Kanonisen lisäainehajotuksen avulla meillä on:

Z = A * 1000 + B * 100 + C * 10 + D

On selvää, että A * 1000 + B * 100 + C * 10 on jaollinen viidellä. Tätä varten meillä on, että Z on jaollinen viidellä, jos Z - (A * 1000 + B * 100 + C * 10) on jaollinen viidellä.

Mutta Z - (A * 1000 + B * 100 + C * 10) = D ja D ovat yksinumeroinen luku, joten ainoa tapa jakaa se viidelle on se, että se on 0 tai 5.

Siksi Z on jaollinen 5: llä, jos D = 0 tai D = 5.

Huomaa, että jos Z: llä on n numeroa, todiste on täsmälleen sama, muuttuu vain, että nyt kirjoittaisimme Z = A ₁ A ₂ … A _n ja tavoitteena olisi todistaa, että A _n on nolla tai viisi.

väliseinät

Sanomme, että positiivisen kokonaisluvun osio on yksi tapa, jolla voimme kirjoittaa numeron positiivisten kokonaislukujen summana.

Ero additiivisen hajoamisen ja osion välillä on se, että vaikka ensimmäinen pyrkii ainakin jakamaan kahteen tai useampaan lisäykseen, osiolla ei ole tätä rajoitusta.

Siksi meillä on seuraavat:

5 = 5

5 = 1 + 4

5 = 2 + 3

5 = 1 + 2 + 2

Yllä olevat ovat osioita 5: stä.

Eli meillä on, että jokainen lisäainehajoaminen on osio, mutta jokainen osio ei välttämättä ole additiivinen hajoaminen.

Lukuteoriassa aritmeettisen peruslause takaa sen, että jokainen kokonaisluku voidaan kirjoittaa yksilöllisesti alkutuloksena.

Osioita tutkiessaan tavoitteena on selvittää kuinka monella tavalla positiivinen kokonaisluku voidaan kirjoittaa muiden kokonaislukujen summana. Siksi määrittelemme osiointitoiminnon alla esitetyllä tavalla.

Määritelmä

Osiointitoiminto p (n) määritetään kuinka monella tapaa positiivinen kokonaisluku n voidaan kirjoittaa positiivisten kokonaislukujen summana.

Palaapa esimerkkiin 5, meillä on seuraava:

5 = 5

5 = 1 + 4

5 = 2 + 3

5 = 1 + 1 + 3

5 = 1 + 2 + 2

5 = 1 + 1 + 1 + 2

5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1

Siten p (5) = 7.

grafiikka

Sekä luvun n osiot että additiiviset hajoamiset voidaan esittää geometrisesti. Oletetaan, että additiivinen hajoaminen on n. Tässä hajoamisessa lisäykset voidaan järjestää siten, että summan jäsenet järjestetään pienimmästä suurimpaan. Joten, okei:

n = a ₁ + a ₂ + a ₃ +… + a _r kanssa

a ₁ ≤ a ₂ ≤ a ₃ ≤… ≤ a _r.

Voimme piirtää tämän hajoamisen seuraavalla tavalla: merkitsemme ensimmäisessä rivissä _1- pisteen, seuraavassa merkitsemme _2- pisteen ja niin edelleen, kunnes saavutamme _{r: n}.

Otetaan esimerkiksi numero 23 ja sen seuraava hajoaminen:

23 = 5 + 4 + 7 + 3 + 1 +3

Tilaamme tämän hajoamisen ja meillä on:

23 = 1 + 3 + 3 + 4 + 5 + 7

Sen vastaava kuvaaja olisi: