KOLMION EPÄTASA-ARVO: TODISTE, ESIMERKKEJÄ, RATKAISTUJA TEHTÄVIÄ - MATEMATIIKKA - 2026

Sitä kutsutaan epätasaiseksi kolmio- ominaisuudeksi, jotka täyttävät kaksi todellista lukua, jotka koostuvat niiden summan absoluuttisesta arvosta on aina pienempi tai yhtä suuri kuin niiden absoluuttisten arvojen summa. Tämä ominaisuus tunnetaan myös nimellä Minkowskin epätasa-arvo tai kolmion eriarvoisuus.

Tätä lukujen ominaisuutta kutsutaan kolmion epätasa-arvoksi, koska kolmioissa tapahtuu, että yhden sivun pituus on aina pienempi tai yhtä suuri kuin kahden muun summa, vaikka tämä epätasa-arvo ei aina koske kolmiota.

Kuva 1. Kahden luvun summan absoluuttinen arvo on aina pienempi tai yhtä suuri kuin niiden absoluuttisten arvojen summa. (Valmistaja R. Pérez)

Kolmiomaisesta epätasa-arvosta on useita todisteita todellisina lukuina, mutta tässä tapauksessa valitsemme yhden absoluuttisen arvon ominaisuuksien ja binomin neliön perusteella.

Lause: Jokaiselta numeroparilta a ja b, jotka kuuluvat todellisiin lukuihin, meillä on:

- a + b - ≤ - a - + - b -

Esittely

Aloitamme tarkastelemalla eriarvoisuuden ensimmäistä jäsentä, joka on neliö:

- a + b - ^ 2 = (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2 ab + b ^ 2 (Tasa 1)

Edellisessä vaiheessa käytimme ominaisuutta, jonka mukaan mikä tahansa luku neliö on yhtä suuri kuin mainitun neliön numeron absoluuttinen arvo, joka on: -x- ^ 2 = x ^ 2. Myös neliömäistä binaalia on laajennettu.

Jokainen luku x on pienempi tai yhtä suuri kuin sen absoluuttinen arvo. Jos luku on positiivinen, se on yhtä suuri, mutta jos luku on negatiivinen, se on aina pienempi kuin positiivinen luku. Tässä tapauksessa sen oma absoluuttinen arvo, ts. Voidaan todeta, että x ≤ - x -.

Tuote (ab) on luku, joten sovelletaan (ab) ≤ - ab -. Kun tätä ominaisuutta sovelletaan (yhtälö 1), meillä on:

- a + b - ^ 2 = a ^ 2 + 2 (ab) + b ^ 2 ≤ a ^ 2 + 2 - ab - + b ^ 2 (Tasa 2)

Ottaen huomioon, että - ab - = - a - b - la (Eq. 2) voidaan kirjoittaa seuraavasti:

- a + b - ^ 2 ≤ a ^ 2 + 2 - a - b - + b ^ 2 (Eq. 3)

Mutta koska sanoimme aiemmin, että luvun neliö on yhtä suuri kuin neliön absoluuttinen arvo, yhtälö 3 voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti:

- a + b - ^ 2 ≤ -a- ^ 2 + 2 -a- -b- + -b- ^ 2 (Eq. 4)

Eriarvoisuuden toisessa jäsenessä tunnistetaan merkittävä tuote, joka sovellettaessa johtaa:

- a + b - ^ 2 ≤ (-a- + -b -) ^ 2 (ekv. 5)

Edellisessä lausekkeessa on huomattava, että epätasa-arvon molemmissa jäsenissä neliöitävät arvot ovat positiivisia, joten on myös varmistettava, että:

- a + b - ≤ (-a- + -b-) (ekv. 6)

Edellinen lauseke on juuri se mitä halusit osoittaa.

esimerkit

Seuraavaksi tarkistetaan kolmiomainen epätasa-arvo useilla esimerkeillä.

Esimerkki 1

Otetaan arvo a = 2 ja arvo b = 5, toisin sanoen molemmat positiiviset luvut ja tarkistetaan onko epätasa-arvo tyydyttynyt vai ei.

- 2 + 5 - ≤ -2- + -5-

- 7 - ≤ -2- + -5-

7 ≤ 2+ 5

Tasa-arvo varmennetaan, joten kolmion eriarvoisuuslause on täytetty.

Esimerkki 2

Seuraavat arvot a = 2 ja b = -5 valitaan, toisin sanoen positiivinen luku ja toinen negatiivinen, tarkistamme, täyttyykö epätasa-arvo.

- 2 - 5 - ≤ -2- + - 5-

- -3 - ≤ -2- + --5-

3 ≤ 2 + 5

Eriarvoisuus on tyytyväinen, joten kolmion eriarvoisuuslause on todennettu.

Esimerkki 3

Otamme arvon a = -2 ja arvon b = 5, toisin sanoen negatiivisen luvun ja toisen positiivisen, tarkistamme, täyttyykö epätasa-arvo.

- -2 + 5 - ≤ --2- + -5-

- 3 - ≤ --2- + -5-

3 ≤ 2 + 5

Epätasa-arvo todennetaan, siksi lause on täytetty.

Esimerkki 4

Seuraavat arvot a = -2 ja b = -5 valitaan, toisin sanoen molemmat negatiiviset luvut, ja tarkistamme, täyttyykö epätasa-arvo.

- -2 - 5 - ≤ --2- + - 5-

- -7 - ≤ --2- + --5-

7 ≤ 2+ 5

Tasa-arvo varmennetaan, joten Minkowskin eriarvoisuuslause on täytetty.

Esimerkki 5

Otetaan arvo a = 0 ja arvo b = 5, ts. Luku nolla ja toinen positiivinen, sitten tarkistetaan onko epätasa-arvo tyydyttynyt vai ei.

- 0 + 5 - ≤ -0- + -5-

- 5 - ≤ -0- + -5-

5 ≤ 0+ 5

Tasa-arvo täyttyy, joten kolmion eriarvoisuuslause on todennettu.

Esimerkki 6

Otetaan arvo a = 0 ja arvo b = -7, ts. Luku nolla ja toinen positiivinen, tarkistamme sitten, onko epätasa-arvo tyydyttynyt vai ei.

- 0 - 7 - ≤ -0- + --7-

- -7 - ≤ -0- + --7-

7 ≤ 0+ 7

Tasa-arvo varmennetaan, joten kolmion eriarvoisuuslause on täytetty.

Ratkaistuja harjoituksia

Esitä seuraavissa tehtävissä geometrisesti kolmion tai Minkowskin epätasa-arvo lukuille a ja b.

Lukua a esitetään segmenttinä X-akselilla, sen lähtökohta O vastaa X-akselin nollaa ja segmentin toinen pää (pisteessä P) on X-akselin positiivisessa suunnassa (oikealla), jos a > 0, mutta jos a <0, se on kohti X-akselin negatiivista suuntaa, niin monta yksikköä kuin sen absoluuttinen arvo osoittaa.

Samoin numero b esitetään segmenttinä, jonka alkuperä on pisteessä P. Toinen ääripää, ts. Piste Q on P: n oikealla puolella, jos b on positiivinen (b> 0) ja piste Q on -b - yksiköt P: n vasemmalla puolella, jos b <0.

Harjoitus 1

Piirrä kolmion epätasa-arvo arvoille a = 5 ja b = 3 - a + b - ≤ - a - + - b -, missä c = a + b.

Harjoitus 2

Piirrä kolmion epätasa-arvo arvoille a = 5 ja b = -3.

- a + b - ≤ - a - + - b -, missä c = a + b.

Harjoitus 3

Näytä graafisesti graafisen kolmion epätasa-arvo a = -5 ja b = 3.

- a + b - ≤ - a - + - b -, missä c = a + b.

Harjoitus 4

Rakenna graafisesti a--5 ja b = -3: n kolmion epätasa-arvo.

- a + b - ≤ - a - + - b -, missä c = a + b.

Viitteet

1. E. Whitesitt. (1980). Boolen algebra ja sen sovellukset. Toimitusyhtiö Continental CA
2. Mícheál O 'Searcoid. (2003) Abstraktin analyysin elementit.. Matematiikan laitos. Yliopiston korkeakoulu, Beldfield, Dublind.
3. J. Van Wyk. (2006) tietotekniikan matematiikka ja tekniikka. Tietojenkäsittelytieteen ja tekniikan instituutti. Kansallinen standarditoimisto. Washington, DC 20234
4. Eric Lehman. Tietotekniikan matematiikka. Google Inc.
5. F Thomson Leighton (1980). Perusteet. Matematiikan laitos ja tietojenkäsittelytiede ja AI-laboratorio, Massachussetts Institute of Technology.
6. Khan-akatemia. Kolmion eriarvoisuuslause. Palautettu osoitteesta: khanacademy.org
7. Wikipedia. Kolmikulmainen eriarvoisuus. Takaisin: es. wikipedia.com