HALKAISIJA: SYMBOLIT JA KAAVAT, MITEN SE SAADAAN, YMPÄRYSMITTA - MATEMATIIKKA - 2026

Halkaisija on suora viiva, joka kulkee keskustan läpi suljetun tasainen kaarre tai luku kahdessa tai kolmessa ulottuvuudessa, ja että myös yhdistää sen vastakkaisissa kohdissa. Se on yleensä ympyrä (litteä käyrä), ympyrä (litteä kuva), pallo tai oikea pyöreä sylinteri (kolmiulotteiset esineet).

Vaikka ympärysmittaa ja ympyrää pidetään yleensä synonyymeinä, näiden kahden termin välillä on ero. Ympärysmitta on ympyrää sulkeva suljettu käyrä, joka täyttää ehdon, että etäisyys minkä tahansa sen pisteen ja keskipisteen välillä on sama. Tämä etäisyys ei ole kukaan muu kuin kehän säde. Sen sijaan ympyrä on litteä luku, jonka ympäröi kehä.

Kuva 1. Polkupyörän pyörien halkaisija on tärkeä piirre niiden suunnittelussa. Lähde: Pixabay.

Ympyrän, ympyrän ja pallon tapauksessa halkaisija on suora segmentti, joka sisältää ainakin kolme pistettä: kehän tai ympyrän reunan keskipiste plus kaksi pistettä tai pallon pinta.

Ja oikean pyöreän sylinterin osalta halkaisija viittaa poikkileikkaukseen, joka yhdessä korkeuden kanssa ovat sen kaksi karakteristista parametria.

Ympyrän ja ympyrän halkaisija, jota merkitään ø tai yksinkertaisesti kirjaimella “D” tai “d”, liittyy sen kehään, muotoon tai pituuteen, jota merkitään kirjaimella L:

L = π.D = π. tai

Aina kun kehä on, sen pituuden ja halkaisijan välinen osamäärä on irrationaalinen luku π = 3.14159…, tällä tavalla:

π = L / D

Kuinka saada halkaisija?

Kun sinulla on piirustus kehästä tai ympyrästä tai suoraan pyöreä esine, kuten esimerkiksi kolikko tai rengas, halkaisija on erittäin helppo löytää viivaimella. Sinun on vain varmistettava, että viivaimen reuna koskettaa kahta kehän pistettä ja sen keskustaa samanaikaisesti.

Jarrusatula, vernier tai paksuus soveltuu erittäin hyvin ulkoisten ja sisäisten halkaisijoiden mittaamiseen kolikoissa, vanteissa, renkaissa, muttereissa, putkissa ja muussa.

Kuva 2. Kolikon halkaisijaa mittaava digitaalinen vernier. Lähde: Pixabay.

Jos objektin tai sen piirustuksen sijasta meillä on tietoja, kuten säde R, kertomalla 2: lla on halkaisija. Ja jos kehän pituus tai kehä tiedetään, halkaisija voidaan myös tietää puhdistamalla:

Toinen tapa löytää halkaisija on tietää ympyrän pinta-ala, pallomainen pinta, sylinterin poikkileikkaus, sylinterin kaareva alue tai pallon tai sylinterin tilavuudet. Kaikki riippuu siitä, mikä geometrinen hahmo se on. Esimerkiksi halkaisija liittyy seuraaviin alueisiin ja tilavuuksiin:

-Alue ympyrän: π. (D / 2) ²

-alue pallopinnan: 4π. (D / 2) ²

-Volume pallomaisen: (4/3) π. (D / 2) ³

-Volume ja oikea pyöreä sylinteri: π. (D / 2) ².H (H on sylinterin korkeus)

Vakioleveät luvut

Ympyrä on tasainen hahmo, jolla on vakioleveys, koska minne ikinä katsotkin, leveys on halkaisija D. Kuitenkin, on muitakin ehkä vähemmän tunnettuja lukuja, joiden leveys on myös vakio.

Katsotaan ensin, mitä kuvion leveydellä ymmärretään: se on etäisyys kahden samansuuntaisen viivan, tukijohdon, välillä, jotka puolestaan ​​ovat kohtisuorassa annettuun suuntaan ja jotka vangitsevat kuvan, kuten vasemmassa kuvassa esitetään:

Kuva 3. Minkä tahansa litteän kuvan (vasen) ja Reuleaux-kolmion leveys, vakioleveyden luku (oikealla). Lähde: F. Zapata.

Oikealla vieressä on Reuleaux-kolmio, joka on vakioleveyshahmo, joka täyttää vasemmassa kuvassa määritetyt ehdot. Jos kuvion leveys on D, sen kehä annetaan Barbierin lauseella:

L = π.D

Kalifornian San Franciscon kaupungin viemärit ovat Reuleaux-kolmion muotoisia, nimeltään saksalainen insinööri Franz Reuleaux (1829 - 1905). Tällä tavalla kannet eivät voi pudota reiän läpi ja niiden valmistukseen käytetään vähemmän materiaalia, koska niiden pinta-ala on pienempi kuin ympyrän pinta-ala:

A = (1- √3).πD ² = 0.705.D ²

Vaikka ympyrä:

A = π (D / 2) ² = (π / 4) D ² = 0,785, D ²

Mutta tämä kolmio ei ole ainoa vakioleveyskuvio. Voit rakentaa ns. Reuleaux-monikulmioita muiden monikulmioiden kanssa, joilla on pariton lukumäärä sivuja.

Ympärysmitan halkaisija

Seuraavassa kuvassa on ympyrän elementit, jotka on määritelty seuraavasti:

Sointu: linjaosa, joka yhdistää kaksi kehän pistettä. Kuvassa on sointu, joka yhdistää pisteitä C ja D, mutta äärettömiä sointuja voidaan piirtää, jotka liittyvät mihin tahansa kehäpistepariin.

Halkaisija: sointu kulkee keskuksen läpi ja yhdistää kehän kaksi pistettä keskiön O. Se on kehän pisin sointu, josta syystä sitä kutsutaan ”pääsointuksi”.

Säde: linjaosa, joka liittyy keskustaan ​​minkä tahansa kehän pisteen kanssa. Sen arvo, kuten halkaisija, on vakio.

Ympärysmitta: se on kaikkien pisteiden joukko, jotka ovat yhtä kaukana O: sta.

Kaari: se määritellään kehysjaksona, joka on rajoitettu kahdella säteellä (ei piirretty kuvassa).

Kuva 4. Ympäristön läpi kulkevat kehän osat, mukaan lukien halkaisija. Lähde: Wikimedia Commons.

- Esimerkki 1

Esitetty suorakulmio on 10 tuumaa korkea, joka valssattuaan muodostaa oikean pyöreän sylinterin, jonka halkaisija on 5 tuumaa. Vastaa seuraaviin kysymyksiin:

Kuva 5. Valssatusta suorakulmiosta tulee oikea pyöreä sylinteri. Lähde: Jiménez, R. Matematiikka II. Geometria ja trigonometria. 2nd. Painos. Pearson.

a) Mikä on putken muoto?

b) Etsi suorakulmion pinta-ala

c) Etsi sylinterin poikkileikkauspinta-ala.

Ratkaisu

Putken ääriviivat ovat L = π.D = 5π sisään = 15,71 tuumaa.

Ratkaisu b

Suorakulmion pinta-ala on pohja x korkeus, pohja L on jo laskettu ja korkeus on 10 tuumaa lausunnon mukaan, joten:

A = 15,71 in x 10 in = 157,1 in ².

Ratkaisu c

Lopuksi pyydetty alue lasketaan seuraavasti:

A = π (D / 2) ² = (π / 4) D ² = (π / 4) x (5 tuumaa) ² = 19,63 tuumaa ².

- Esimerkki 2

Laske kuvan 5a varjostettu alue. Neliöllä on sivu L.

Kuva 6. Etsi varjostettu alue vasemmasta kuvasta. Jiménez, R. Matematiikka II. Geometria ja trigonometria. 2nd. Painos. Pearson.

Ratkaisu

Kuviossa 5b on piirretty kaksi samankokoista puolipyörää, vaaleanpunaisella ja sinisellä, alkuperäisen kuvan päälle. He tekevät keskenään täydellisen ympyrän. Jos löydät neliön pinta-alan ja vähennä ympyrän pinta-ala, teet varjostetun alueen kuvassa 5b. Ja tarkasti tarkasteltuna käy ilmi, että se on puolet 5a-alueen varjostetusta alueesta.

-Suorakaide alue: L ²

halkaisijaltaan ja puoliympyrän: L

-alue ympyrän: π. (L / 2) ² = (π / 4) L ²

-Difference alueet = puoli varjostettu alue =

L ² - (π / 4) L ² = L ² = 0,2146 L ²

-Shaded ala = 2 x 0,2146 L ² = 0.4292L2

Kuinka monta halkaisijaa kehällä on?

Voit piirtää ympyrälle äärettömiä halkaisijoita ja mikä tahansa niistä mittaa saman.

Viitteet

1. Antonio. Reuleaux-kolmiot ja muut vakioleveyskäyrät. Palautettu osoitteesta: divulgators.com.
2. Baldor, A. 2002. Lento- ja avaruusgeometria ja trigonometria. Patrian kulttuuriryhmä.
3. Jiménez, R. Matematiikka II. Geometria ja trigonometria. 2nd. Painos. Pearson.
4. Wikipedia. Reuleaux-kolmio. Palautettu osoitteesta: es.wikipedia.org.
5. Wolfram MathWorld. Halkaisija. Palautettu osoitteesta: mathworld.wolfram.com.