NORMAALI JAKAUMA: KAAVA, OMINAISUUDET, ESIMERKKI, HARJOITUS - MATEMATIIKKA

Normaalijakaumaa tai Gaussin jakauma on todennäköisyysjakauma jatkuvana muuttujana, jossa tiheysfunktio on kuvattu eksponenttifunktio asteen ja negatiivinen argumentti, joka synnyttää kellon muotoinen.

Normaalijakauman nimi tulee siitä tosiasiasta, että tämä jakauma pätee suurimpaan määrään tilanteita, joissa tiettyyn ryhmään tai populaatioon liittyy jokin jatkuva satunnaismuuttuja.

Kuva 1. Normaalijakauma N (x; μ, σ) ja sen todennäköisyystiheys f (s; μ, σ). (Oma suunnittelu)

Esimerkkejä normaalijakauman soveltamisesta ovat: miesten tai naisten pituus, erot fyysisessä suuruudessa tai mitattavissa olevissa psykologisissa tai sosiologisissa piirteissä, kuten tietyn tuotteen älyllinen osinko tai kulutustottumukset.

Toisaalta sitä kutsutaan Gaussin jakaumaksi tai Gaussin kelloksi, koska juuri tämä saksalainen matemaattinen nero hyvitetään hänen löytönsä käytölle, jonka hän antoi sille kuvaamaan tähtitieteellisten mittausten tilastollisen virheen vuonna 1800.

Kuitenkin todetaan, että tämän tilastollisen jakauman on aiemmin julkaissut toinen suuri ranskalainen matemaatikko, kuten Abraham de Moivre, vuonna 1733.

Kaava

Jatkuvan muuttujan x normaalijakaumatoiminto, parametrilla μ ja σ, merkitään:

N (x; μ, σ)

ja se on kirjoitettu nimenomaisesti näin:

N (x; μ, σ) = ∫ _-∞ ^x f (s; μ, σ) ds

missä f (u; μ, σ) on todennäköisyystiheysfunktio:

f (s; μ, σ) = (1 / (σ√ (2π)) Exp (- s ² / (2σ ²))

Vakiota, joka kertoo eksponentiaalisen funktion todennäköisyystiheysfunktiossa, kutsutaan normalisointivakioksi, ja se on valittu siten, että:

N (+ ∞, μ, σ) = 1

Edellinen lauseke varmistaa, että todennäköisyys, että satunnaismuuttuja x on välillä -∞ ja + ∞, on 1, toisin sanoen 100% todennäköisyys.

Parametri μ on jatkuvan satunnaismuuttujan x aritmeettinen keskiarvo ja σ saman muuttujan varianssin keskihajonta tai neliöjuuri. Jos μ = 0 ja σ = 1, niin meillä on normaali normaalijakauma tai tyypillinen normaalijakauma:

N (x; μ = 0, σ = 1)

Normaalijakauman ominaispiirteet

1- Jos satunnainen tilastollinen muuttuja seuraa todennäköisyystiheyden f (s; μ, σ) normaalia jakautumista, suurin osa tiedoista on ryhmitelty keskiarvon μ ympärille ja hajallaan sen ympärille siten, että vähän enemmän kuin ⅔ tiedoista on välillä μ - σ ja μ + σ.

2- Vakiopoikkeama σ on aina positiivinen.

3 - Tiheysfunktion f muoto on samanlainen kuin kello, minkä vuoksi tätä funktiota kutsutaan usein Gaussin kellona tai Gaussin funktiona.

4- Gaussin jakaumassa keskiarvo, mediaani ja moodi vastaavat toisiaan.

5- Todennäköisyystiheysfunktion käännepisteet ovat tarkalleen μ - σ ja μ + σ.

6- Toiminto f on symmetrinen keskiarvonsa μ läpi kulkevan akselin ympäri ja sillä on asymptoottisesti nolla x ⟶ + ∞: lle ja x ⟶ -⟶: lle.

7- Mitä korkeampi arvo σ, sitä suurempi on tietojen leviäminen, kohina tai etäisyys keskiarvon ympärillä. Toisin sanoen, mitä korkeampi σ kellon muoto on auki. Toisaalta, σ pieni osoittaa, että noppaa on lähellä keskiarvoa ja kellon muoto on sulkeutuneempi tai terävämpi.

8- Jakelufunktio N (x; μ, σ) ilmaisee todennäköisyyden, että satunnaismuuttuja on pienempi tai yhtä suuri kuin x. Esimerkiksi kuviossa 1 (yllä) todennäköisyys P, että muuttuja x on pienempi tai yhtä suuri kuin 1,5, on 84% ja vastaa todennäköisyystiheysfunktion f (x; μ, σ) alla olevaa aluetta -∞ x.

Luottamusvälit

9- Jos tiedot seuraavat normaalia jakaumaa, niin niistä 68,26% on välillä μ - σ ja μ + σ.

10 - 95,44% normaalijakaumaa seuraavista tiedoista ovat välillä μ - 2σ ja μ + 2σ.

11 - 99,74% normaalijakaumaa seuraavista tiedoista ovat välillä μ - 3σ ja μ + 3σ.

12- Jos satunnaismuuttuja x seuraa jakaumaa N (x; μ, σ), niin muuttuja

z = (x - μ) / σ seuraa normaalia normaalijakaumaa N (z; 0,1).

Muuttujan x muuttamista z: ksi kutsutaan standardisoimiseksi tai kirjoittamiseksi, ja se on erittäin hyödyllinen, kun sovelletaan standardijakauman taulukoita tietoihin, jotka seuraavat epästandardia normaalia jakaumaa.

Normaalijakauman sovellukset

Normaalijakauman soveltamiseksi on välttämätöntä käydä läpi todennäköisyystiheyden integraalin laskeminen, mikä analyyttisestä näkökulmasta ei ole helppoa ja ei aina ole tietokoneohjelmaa, joka sallii sen numeerisen laskennan. Tätä tarkoitusta varten käytetään normalisoitujen tai standardisoitujen arvojen taulukoita, mikä ei ole muuta kuin normaalijakauma tapauksissa μ = 0 ja σ = 1.

Standardoitu normaalijakelutaulukko (osa 1/2)

Standardoitu normaalijakelutaulukko (osa 2/2)

On huomattava, että nämä taulukot eivät sisällä negatiivisia arvoja. Kuitenkin Gaussin todennäköisyystiheysfunktion symmetriaominaisuuksia käyttämällä voidaan saada vastaavat arvot. Alla esitetty ratkaistu tehtävä osoittaa taulukon käytön näissä tapauksissa.

esimerkki

Oletetaan, että sinulla on joukko satunnaisia tietoja x, jotka seuraavat keskiarvon 10 normaalijakaumaa ja keskihajontaa 2. Sinua pyydetään löytämään todennäköisyys, että:

a) Satunnaismuuttuja x on pienempi tai yhtä suuri kuin 8.

b) on pienempi tai yhtä suuri kuin 10.

c) Että muuttuja x on alle 12.

d) Todennäköisyys, että x-arvo on välillä 8 ja 12.

Ratkaisu:

a) Jos haluat vastata ensimmäiseen kysymykseen, sinun on yksinkertaisesti laskettava:

N (x; μ, σ)

Kun x = 8, μ = 10 ja σ = 2. Ymmärrämme, että se on integraali, jolla ei ole analyyttistä ratkaisua perustoiminnoissa, mutta ratkaisu ilmaistaan virheen funktiota erf (x).

Toisaalta, on olemassa mahdollisuus ratkaista integraali numeerisessa muodossa, mitä monet laskimet, taulukot ja tietokoneohjelmat, kuten GeoGebra, tekevät. Seuraava kuva esittää ensimmäistä tapausta vastaavaa numeerista ratkaisua:

Kuva 2. Todennäköisyystiheys f (x; μ, σ). Varjostettu alue edustaa P (x ≤ 8). (Oma suunnittelu)

ja vastaus on, että todennäköisyys, että x on alle 8, on:

P (x ≤ 8) = N (x = 8; μ = 10, σ = 2) = 0,1587

b) Tässä tapauksessa yritämme löytää todennäköisyys, että satunnaismuuttuja x on keskiarvon alapuolella, joka tässä tapauksessa on arvoltaan 10. Vastaus ei vaadi laskelmaa, koska tiedämme, että puolet tiedoista on alla keskimääräinen ja toinen puoli keskimääräistä korkeampi. Siksi vastaus on:

P (x ≤ 10) = N (x = 10; μ = 10, σ = 2) = 0,5

c) Jotta vastataan tähän kysymykseen, meidän on laskettava N (x = 12; μ = 10, σ = 2), mikä voidaan tehdä laskurilla, jolla on tilastotoiminnot, tai ohjelmiston, kuten GeoGebra:

Kuva 3. Todennäköisyystiheys f (x; μ, σ). Varjostettu alue edustaa P (x ≤ 12). (Oma suunnittelu)

Vastaus osaan c esitetään kuvassa 3 ja on:

P (x ≤ 12) = N (x = 12; μ = 10, σ = 2) = 0,8413.

d) Jotta voidaan löytää todennäköisyys, että satunnaismuuttuja x on välillä 8 ja 12, voidaan käyttää osien a ja c tuloksia seuraavasti:

P (8 <x x <12) = P (x <12) - P (x <8) = 0,8413 - 0,1587 = 0,6826 = 68,26%.

Harjoitus ratkaistu

Yhtiön osakekannan keskimääräinen hinta on 25 dollaria vakiopoikkeamalla 4 dollaria. Määritä todennäköisyys, että:

a) Toiminnan kustannukset ovat alle 20 dollaria.

b) Sen kustannukset ovat yli 30 dollaria.

c) Hinta on välillä 20–30 dollaria.

Käytä tavallisia normaalijakaumotaulukoita löytääksesi vastaukset.

Ratkaisu:

Taulukoiden hyödyntämiseksi on tarpeen siirtyä normalisoituun tai kirjoitettuun z-muuttujaan:

20 dollaria normalisoidussa muuttujassa on yhtä suuri kuin z = (20 dollaria - 25 dollaria) / 4 dollaria = -5 / 4 = -1,25 ja

30 dollaria normalisoidussa muuttujassa on yhtä suuri kuin z = (30 dollaria - 25 dollaria) / 4 dollaria = +5 / 4 = +1,25.

a) 20 dollaria on -1,25 normalisoidussa muuttujassa, mutta taulukossa ei ole negatiivisia arvoja, joten asetamme arvon +1,25, joka antaa arvon 0,8944.

Jos tästä arvosta vähennetään 0,5, tulos on alue välillä 0–1,25, joka muuten on identtinen (symmetrisesti) alueelle välillä -1,25–0. Vähennysten tulos on 0,8944 - 0,5 = 0,3944, joka on alue välillä -1,25 ja 0.

Mutta alue välillä -∞ - -1,25 on mielenkiintoista, mikä on 0,5 - 0,3944 = 0,1056. Siksi päätellään, että todennäköisyys, että osake on alle 20 dollaria, on 10,56%.

b) 30 dollaria tyypitetyssä muuttujassa z on 1,25. Tätä arvoa varten taulukossa on numero 0.8944, joka vastaa aluetta -∞: sta +1.25. +1,25 - + ∞: n välinen alue on (1 - 0,8944) = 0,1056. Toisin sanoen todennäköisyys, että osake maksaa yli 30 dollaria, on 10,56%.

c) Todennäköisyys, että toiminnasta aiheutuu kustannuksia välillä 20–30 dollaria, lasketaan seuraavasti:

100% -10,56% - 10,56% = 78,88%

Viitteet

Tilastot ja todennäköisyys. Normaalijakauma. Palautettu osoitteesta: projectdescartes.org
GeoGebra. Klassinen geogebra, todennäköisyyslaskenta. Palautettu osoitteesta geogebra.org
MathWorks. Gaussin jakauma. Palautettu osoitteesta: es.mathworks.com
Mendenhall, W. 1981. Johtamis- ja taloustiede. 3rd. painos. Grupo Editorial Iberoamérica.
Stat Trek. Opeta itsellesi tilastot. Poisson-jakauma. Palautettu osoitteesta: stattrek.com,
Triola, M. 2012. Alkuperäiset tilastot. 11th. Toim. Pearson Education.
Vigon yliopisto. Tärkeimmät jatkuvat jakaumat. Palautettu osoitteesta: anapg.webs.uvigo.es
Wikipedia. Normaalijakauma. Palautettu osoitteesta: es.wikipedia.org

NORMAALI JAKAUMA: KAAVA, OMINAISUUDET, ESIMERKKI, HARJOITUS - MATEMATIIKKA - 2026