DISKREETIT TODENNÄKÖISYYSJAKAUMAT: OMINAISUUDET, HARJOITUKSET - MATEMATIIKKA - 2026

Diskreetti todennäköisyysjakaumat ovat funktiota, jolla määritetään jokainen osa X (S) = {x1, x2,…, xi,…}, jossa X on diskreetti satunnaismuuttuja annettu ja S on näytteen tila, todennäköisyys, että mainittu tapahtuma tapahtuu. Tätä X (S): n funktiota f, joka on määritelty f (xi) = P (X = xi), kutsutaan joskus todennäköisyysmassifunktioksi.

Tätä todennäköisyysmassaa edustaa yleensä taulukko. Koska X on diskreetti satunnaismuuttuja, X (S): llä on äärellinen määrä tapahtumia tai laskettava ääretön. Yleisimmistä diskreetteistä todennäköisyysjakautumista on meillä tasainen jakauma, binomijakauma ja Poisson-jakauma.

ominaisuudet

Todennäköisyysjakautumistoiminnon on täytettävä seuraavat ehdot:

Lisäksi, jos X ottaa vain rajallisen määrän arvoja (esimerkiksi x1, x2,…, xn), niin p (xi) = 0, jos i> ny, siis ehon b äärettömästä sarjasta tulee äärellinen sarja.

Tämä toiminto täyttää myös seuraavat ominaisuudet:

Olkoon B satunnaismuuttujaan X liittyvä tapahtuma. Tämä tarkoittaa, että B sisältyy X (S): ään. Oletetaan erityisesti, että B = {xi1, xi2,…}. Täten:

Toisin sanoen tapahtuman B todennäköisyys on yhtä suuri kuin B: hen liittyvien yksittäisten tulosten todennäköisyysten summa.

Tästä voidaan päätellä, että jos a <b, tapahtumat (X ≤ a) ja (a <X ≤ b) ovat toisiaan poissulkevia ja lisäksi niiden liitos on tapahtuma (X ≤ b), joten meillä on:

Tyypit

Tasainen jakauma n pisteen välillä

Sanotaan, että satunnaismuuttuja X seuraa jakaumaa, jolle on tunnusomaista olla yhdenmukainen n pisteessä, jos jokaiselle arvolle osoitetaan sama todennäköisyys. Sen todennäköisyysmassofunktio on:

Oletetaan, että meillä on kokeilu, jolla on kaksi mahdollista tulosta, se voi olla kolikon heittäminen, jonka mahdolliset tulokset ovat päät tai hännät, tai kokonaisluku, jonka tulos voi olla parillinen tai pariton; tämäntyyppinen koe tunnetaan Bernoulli-testeinä.

Yleensä kahta mahdollista tulosta kutsutaan menestykseksi ja epäonnistumiseksi, missä p on onnistumisen todennäköisyys ja 1-p epäonnistumisen todennäköisyys. Voimme määrittää x onnistumisen todennäköisyyden n Bernoulli-testissä, jotka ovat toisistaan ​​riippumattomia seuraavan jakauman avulla.

Binomiaalijakauma

Se on funktio, joka edustaa todennäköisyyttä saada x menestystä n riippumattomassa Bernoulli-testissä, joiden onnistumisen todennäköisyys on p. Sen todennäköisyysmassofunktio on:

Seuraava kaavio edustaa todennäköisyyden massafunktiota binomijakauman parametrien eri arvoille.

Seuraava jakauma velkaa nimensä ranskalaiselle matemaatikolle Simeon Poissonille (1781-1840), joka sai sen binomijakauman rajaksi.

Poisson-jakauma

Satunnaismuuttujalla X sanotaan olevan parametrin λ Poisson-jakauma, kun se voi ottaa positiivisten kokonaislukuarvojen 0,1,2,3,… seuraavalla todennäköisyydellä:

Tässä lausekkeessa λ on keskimääräinen luku, joka vastaa tapahtuman esiintymiä kullakin aikayksiköllä, ja x on tapahtuman esiintymiskertojen lukumäärä.

Sen todennäköisyysmassofunktio on:

Tässä on kuvaaja, joka edustaa todennäköisyysmassofunktiota Poisson-jakauman parametrien eri arvoille.

Huomaa, että niin kauan kuin onnistumisten määrä on pieni ja binomijakaumalle suoritettujen testien lukumäärä on suuri, voimme aina arvioida näitä jakaumia, koska Poisson-jakauma on binomijakauman raja.

Tärkein ero näiden kahden jakauman välillä on se, että vaikka binoomi riippuu kahdesta parametrista, nimittäin n ja p, Poisson riippuu vain λ: stä, jota joskus kutsutaan jakauman voimakkuudeksi.

Toistaiseksi olemme puhuneet todennäköisyysjakaumasta vain tapauksissa, joissa eri kokeet ovat toisistaan ​​riippumattomia; ts. kun jokin toinen tulos ei vaikuta yhden tulokseen.

Kun tapahtuu kokeita, jotka eivät ole riippumattomia, hypergeometrinen jakauma on erittäin hyödyllinen.

Hypergeometrinen jakauma

Olkoon N äärellisen joukon objektien kokonaismäärä, joista voimme jollain tavalla tunnistaa k niistä, muodostaen siten alajoukon K, jonka komplementin muodostavat jäljellä olevat Nk-elementit.

Jos valitsemme satunnaisesti n objektia, satunnaismuuttujalla X, joka edustaa K: n objektien lukumäärää mainitussa valinnassa, on parametrien N, n ja k hypergeometrinen jakauma. Sen todennäköisyysmassofunktio on:

Seuraava kaavio edustaa todennäköisyysmassofunktiota hypergeometrisen jakauman parametrien eri arvoille.

Ratkaistuja harjoituksia

Ensimmäinen harjoitus

Oletetaan, että todennäköisyys radioputken (sijoitettuna tietyn tyyppiseen laitteeseen) toimintaan yli 500 tuntia on 0,2. Jos testataan 20 putkea, mikä on todennäköisyys, että tarkalleen k näistä toimii yli 500 tuntia, k = 0, 1,2,…, 20?

Ratkaisu

Jos X on yli 500 tuntia toimivien putkien lukumäärä, oletetaan, että X: llä on binomijakauma. Niin

Ja niin:

K≥11: llä todennäköisyydet ovat alle 0,001

Siten voidaan nähdä, kuinka todennäköisyys, että k näiden työstä yli 500 tunnin ajan kasvaa, kunnes se saavuttaa maksimiarvonsa (k = 4) ja alkaa sitten vähentyä.

Toinen harjoitus

Kolikko heitetään 6 kertaa. Kun tulos on kallis, sanotaan, että se on menestys. Mikä on todennäköisyys, että kaksi päätä tulee täsmälleen?

Ratkaisu

Tässä tapauksessa meillä on, että n = 6, ja sekä onnistumisen että epäonnistumisen todennäköisyys ovat p = q = 1/2

Siksi todennäköisyys, että kaksi päätä annetaan (eli k = 2), on

Kolmas harjoitus

Mikä on todennäköisyys löytää ainakin neljä päätä?

Ratkaisu

Tässä tapauksessa meillä on k = 4, 5 tai 6

Kolmas harjoitus

Oletetaan, että 2% tehtaalla valmistetuista tuotteista on viallisia. Selvitä todennäköisyys P, että 100 esineestä koostuvassa näytteessä on kolme viallista tuotetta.

Ratkaisu

Tässä tapauksessa voisimme käyttää binomijakaumaa n = 100 ja p = 0,02, jolloin saadaan seuraavanlainen:

Koska p on kuitenkin pieni, käytämme Poisson-lähentämistä, kun λ = np = 2. Niin,

Viitteet

1. Kai Lai Chung. Alkuperäisen todennäköisyyden teoria stokastisilla prosesseilla. Springer-Verlag New York Inc.
2. Kenneth.H. Diskreetti matematiikka ja sen sovellukset. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Paul L. Meyer. Todennäköisyys ja tilastolliset sovellukset. SA ALHAMBRA MEXICANA.
4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 ratkaistua diskreetin matematiikan ongelmat. McGraw-Hill.
5. Seymour Lipschutz Ph.D. Teoria ja todennäköisyysongelmat. McGraw-Hill.