- ominaisuudet
- Tyypit
- Ensiluokkainen
- Toinen luokka
- Liuotin
- Korkein luokka
- Ratkaistuja harjoituksia
- Ensimmäinen harjoitus
- Ratkaisu
- Toinen harjoitus
- Ratkaisu
- Viitteet
Polynomiyhtälöt ovat lausuman, joka nostaa tasa kahden lausekkeen tai jäsenten, jossa ainakin yksi ehdoista, jotka muodostavat jopa kummallakin puolella tasa-arvo ovat polynomit P (x). Nämä yhtälöt on nimetty muuttujien asteen mukaan.
Yleensä yhtälö on lause, joka vahvistaa kahden lausekkeen yhtäläisyyden, kun ainakin yhdessä niistä on tuntemattomia suuruuksia, joita kutsutaan muuttujiksi tai tuntemattomiksi. Vaikka yhtälötyyppejä on monen tyyppisiä, ne yleensä luokitellaan kahteen tyyppiin: algebrallinen ja transssendentti.
Polynomiyhtälöt sisältävät vain algebralliset lausekkeet, joissa yhtälössä voi olla yksi tai useampi tuntematon. Heillä olevan eksponentin (asteen) mukaan ne voidaan luokitella: ensimmäiseen asteeseen (lineaarinen), toiseen asteeseen (neliöllinen), kolmanteen asteeseen (kuutio), neljänteen asteeseen (kvartaalinen), vähintään viiteen asteeseen ja irrationaaliseen.
ominaisuudet
Polynomiyhtälöt ovat lausekkeita, jotka muodostuvat kahden polynomin välisestä tasa-arvosta; toisin sanoen äärettömillä kertoimissummilla tuntemattomien arvojen (muuttujat) ja kiinteiden lukujen (kertoimet) välillä, joissa muuttujilla voi olla eksponentteja ja niiden arvo voi olla positiivinen kokonaisluku, mukaan lukien nolla.
Eksponentit määrittävät yhtälön asteen tai tyypin. Termi lausekkeessa, jolla on suurin eksponentti, edustaa polynomin absoluuttista astetta.
Polynomiyhtälöt tunnetaan myös algebrallisina yhtälöinä, niiden kertoimet voivat olla todellisia tai kompleksilukuja ja muuttujat ovat tuntemattomia numeroita, joita edustaa kirjain, kuten: "x".
Jos korvataan muuttujalle "x" arvo P (x): ssa, tulos on yhtä suuri kuin nolla (0), arvon sanotaan täyttävän yhtälö (se on ratkaisu), ja sitä kutsutaan yleensä polynomin juureksi.
Kehitettäessä polynomiyhtälöä haluat löytää kaikki juuret tai ratkaisut.
Tyypit
Polynomiyhtälöitä on useita tyyppejä, jotka erotellaan muuttujien lukumäärän ja myös niiden eksponenttiasteen mukaan.
Siksi polynomiyhtälöt - jos sen ensimmäinen termi on polynomi, jolla on vain yksi tuntematon, ottaen huomioon, että sen aste voi olla mikä tahansa luonnollinen luku (n) ja toinen termi on nolla, voidaan ilmaista seuraavasti:
a n * x n + a n-1 * x n-1 +… + a 1 * x 1 + a 0 * x 0 = 0
Missä:
- n, n-1 ja 0 ovat todellisia kertoimia (numerot).
- a n eroaa nollasta.
- Eksponentti n on positiivinen kokonaisluku, joka edustaa yhtälön astetta.
- x on muuttuja tai tuntematon, jota etsitään.
Polynomiyhtälön absoluuttinen tai suurempi aste on eksponentti, jolla on suurin arvo kaikkien niiden joukosta, jotka muodostavat polynomin; siten yhtälöt luokitellaan:
Ensiluokkainen
Ensimmäisen asteen polynomiyhtälöt, joita kutsutaan myös lineaarisiksi yhtälöiksi, ovat niitä, joissa aste (suurin eksponentti) on yhtä kuin 1, polynomi on muodossa P (x) = 0; y koostuu lineaarisesta ja itsenäisestä termistä. Se kirjoitetaan seuraavasti:
ax + b = 0.
Missä:
- a ja b ovat reaalilukuja ja a ≠ 0.
- ax on lineaarinen termi.
- b on itsenäinen termi.
Esimerkiksi yhtälö 13x - 18 = 4x.
Lineaaristen yhtälöiden ratkaisemiseksi kaikki termit, jotka sisältävät tuntemattoman x: n, on siirrettävä tasa-arvon yhdelle puolelle, ja ne, joilla ei ole, siirtyvät toiselle puolelle, jotta se ratkaistaan ja saadaan ratkaisu:
13x - 18 = 4x
13x = 4x + 18
13x - 4x = 18
9x = 18
x = 18 ÷ 9
x = 2.
Siten annetussa yhtälössä on vain yksi ratkaisu tai juuri, joka on x = 2.
Toinen luokka
Toisen asteen polynomiyhtälöt, joita kutsutaan myös kvadraattisiksi yhtälöiksi, ovat sellaisia, joissa aste (suurin eksponentti) on yhtä suuri kuin 2, polynomi on muodossa P (x) = 0 ja koostuu kvadraattisesta termistä, yksi lineaarinen ja yksi riippumaton. Se ilmaistaan seuraavasti:
akseli 2 + bx + c = 0.
Missä:
- a, b ja c ovat reaalilukuja ja a ≠ 0.
- akseli 2 on neliöllinen termi, ja "a" on neliöllisen ajan kerroin.
- bx on lineaaritermi ja "b" on lineaaritermin kerroin.
- c on itsenäinen termi.
Liuotin
Yleensä ratkaisu tämän tyyppisiin yhtälöihin saadaan tyhjentämällä x yhtälöstä, ja se on seuraava, jota kutsutaan resoluutioksi:
Siellä (b 2 - 4ac) kutsutaan yhtälön erottajaksi ja tämä lauseke määrää ratkaisujen määrän, jolla yhtälöllä voi olla:
- Jos (b 2 - 4ac) = 0, yhtälöllä on yksi ratkaisu, joka on kaksinkertainen; toisin sanoen siinä on kaksi yhtäläistä ratkaisua.
- Jos (b 2 - 4ac)> 0, yhtälöllä on kaksi erilaista todellista ratkaisua.
- Jos (b 2 - 4ac) <0, yhtälöllä ei ole ratkaisua (sillä on kaksi erilaista kompleksista ratkaisua).
Esimerkiksi, meillä on yhtälö 4x 2 + 10x - 6 = 0 sen ratkaisemiseksi, tunnistetaan ensin termit a, b ja c ja korvataan se sitten kaavassa:
a = 4
b = 10
c = -6.
On tapauksia, joissa toisen asteen polynomiyhtälöissä ei ole kaikkia kolmea termiä, ja siksi ne ratkaistaan eri tavalla:
- Jos kvadraattisilla yhtälöillä ei ole lineaarista termiä (ts. B = 0), yhtälö ilmaistaan ax 2 + c = 0. Sen ratkaisemiseksi ratkaista x 2: lle ja soveltaa neliöjuuret kussakin jäsenessä, muistaen, että on otettava huomioon kaksi mahdollista merkkiä, joita tuntemattomalla voi olla:
akseli 2 + c = 0.
x 2 = - c ÷ a
Esimerkiksi 5 x 2 - 20 = 0.
5 x 2 = 20
x 2 = 20 ÷ 5
x = ± √4
x = ± 2
x 1 = 2.
x 2 = -2.
- Kun kvadraattisella yhtälöllä ei ole itsenäistä termiä (ts. C = 0), yhtälö ilmaistaan ax 2 + bx = 0. Sen ratkaisemiseksi meidän on otettava tuntematon x -kertoin ensimmäisessä jäsenessä; Koska yhtälö on yhtä suuri kuin nolla, on totta, että ainakin yksi tekijöistä on yhtä suuri kuin 0:
akseli 2 + bx = 0.
x (ax + b) = 0.
Siten sinun on:
x = 0.
x = -b ÷ a.
Esimerkiksi: meillä on yhtälö 5x 2 + 30x = 0. Ensin kerrotaan:
5x 2 + 30x = 0
x (5x + 30) = 0.
Muodostetaan kaksi tekijää, jotka ovat xy (5x + 30). Katsotaan, että yksi näistä on nolla ja toinen on ratkaistu:
x 1 = 0.
5x + 30 = 0
5x = -30
x = -30 ÷ 5
x 2 = -6.
Korkein luokka
Korkeamman asteen polynomiyhtälöt ovat ne, jotka menevät kolmannesta asteesta eteenpäin, jotka voidaan ilmaista tai ratkaista minkä tahansa asteen yleisen polynomiyhtälön avulla:
a n * x n + a n-1 * x n-1 +… + a 1 * x 1 + a 0 * x 0 = 0
Tätä käytetään, koska yhtälö, jonka aste on suurempi kuin kaksi, on tulosta polynomin tekijäkorvauksesta; ts. se ilmaistaan yhden tai suuremman asteen polynomien kertolaskuna, mutta ilman todellisia juuria.
Tämäntyyppisten yhtälöiden ratkaisu on suora, koska kahden kertoimen kertolasku on yhtä suuri kuin nolla, jos jokin tekijöistä on nolla (0); siksi jokainen löydetty polynomiyhtälö on ratkaistava asettamalla jokainen niiden kertoimista nolla.
Esimerkiksi, meillä on kolmannen asteen yhtälö (kuutio) x 3 + x 2 + 4x + 4 = 0. Sen ratkaisemiseksi on noudatettava seuraavia vaiheita:
- Termit on ryhmitelty:
x 3 + x 2 + 4x + 4 = 0
(x 3 + x 2) + (4x + 4) = 0.
- Jäsenet hajotetaan saamaan tuntemattomien tekijä:
x 2 (x + 1) + 4 (x + 1) = 0
(x 2 + 4) * (x + 1) = 0.
- Tällä tavoin saadaan kaksi tekijää, joiden on oltava nolla:
(x 2 + 4) = 0
(x + 1) = 0.
- Voidaan nähdä, että kertoimella (x 2 + 4) = 0 ei ole todellista ratkaisua, kun taas kertoimella (x + 1) = 0. Joten ratkaisu on:
(x + 1) = 0
x = -1.
Ratkaistuja harjoituksia
Ratkaise seuraavat yhtälöt:
Ensimmäinen harjoitus
(2x 2 + 5) * (x - 3) * (1 + x) = 0.
Ratkaisu
Tässä tapauksessa yhtälö ilmaistaan polynomien kertolaskuna; se on, se otetaan huomioon. Sen ratkaisemiseksi jokainen tekijä on asetettava nollaksi:
- 2x 2 + 5 = 0, sillä ei ole ratkaisua.
- x - 3 = 0
- x = 3.
- 1 + x = 0
- x = - 1.
Siten annetussa yhtälössä on kaksi ratkaisua: x = 3 ja x = -1.
Toinen harjoitus
x 4 - 36 = 0.
Ratkaisu
Polynomi annettiin, joka voidaan kirjoittaa uudelleen neliöerona nopeamman ratkaisun saavuttamiseksi. Siten yhtälö on:
(x 2 + 6) * (x 2 - 6) = 0.
Yhtälöiden ratkaisun löytämiseksi molemmat kertoimet asetetaan nollaksi:
(x 2 + 6) = 0, sillä ei ole ratkaisua.
(x 2 - 6) = 0
x 2 = 6
x = ± √6.
Siten alkuperäisessä yhtälössä on kaksi ratkaisua:
x = √6.
x = - √6.
Viitteet
- Andres, T. (2010). Matemaattiset olympialaiset. Springer. New York.
- Angel, AR (2007). Alkuperäinen algebra. Pearson koulutus,.
- Baer, R. (2012). Lineaarialgebra ja Projektiivinen geometria. Courier Corporation.
- Baldor, A. (1941). Algebra. Havana: Kulttuuri.
- Castaño, HF (2005). Matematiikka ennen laskentaa. Medellinin yliopisto.
- Cristóbal Sánchez, MR (2000). Matematiikan olympiavalmennus. Jaume I. University
- Kreemly Pérez, ML (1984). Korkeampi algebra I.
- Massara, NC-L. (tuhatyhdeksänsataayhdeksänkymmentäviisi). Matematiikka 3.