ENEAGON: OMINAISUUDET, KUINKA TEHDÄ ENEAGON, ESIMERKKEJÄ - MATEMATIIKKA

Enegon on monikulmio, jossa on yhdeksän puolin ja yhdeksän kärjet, joka voi olla tai ei olla säännöllinen. Nimi eneágono tulee kreikasta ja koostuu kreikkalaisista sanoista ennea (yhdeksän) ja gononista (kulma).

Yhdeksän puolisen monikulmion vaihtoehtoinen nimi on nonagon, joka tulee latinalaisista sanoista nonus (yhdeksän) ja gononista (kärkipiste). Toisaalta, jos kulmion sivut tai kulmat ovat eriarvoisia toisistaan, sinulla on epäsäännöllinen kulma. Jos puolestaan kaikki kulmion yhdeksän sivua ja yhdeksän kulmaa ovat yhtä suuret, niin se on säännöllinen kulma.

Kuva 1. Normaali ja epäsäännöllinen kulma. (Oma suunnittelu)

Eneagonin ominaisuudet

N-puolisella monikulmion sisäkulmien summa on:

(n - 2) * 180 °

Enegonissa se olisi n = 9, joten sen sisäisten kulmien summa on:

Sa = (9 - 2) * 180º = 7 * 180º = 1260º

Missä tahansa polygonissa diagonaalien lukumäärä on:

D = n (n - 3) / 2 ja enegonin tapauksessa, koska n = 9, meillä on silloin D = 27.

Normaali kulma

Säännöllisessä eneagonissa tai nonagonissa on yhdeksän (9) yhtä suuret sisäkulmat, joten jokainen kulma mittaa yhden yhdeksännen sisäisten kulmien kokonaismäärästä.

Enegonin sisäkulmien mitta on sitten 1260º / 9 = 140º.

Kuva 2. Normaalin kulmion apoteemi, säde, sivut, kulmat ja huiput. (Oma suunnittelu)

Kaavan saamiseksi tavanomaisen egonin alueelle, jonka sivu on d, on kätevää tehdä joitain apurakenteita, kuten kuvassa 2 esitetyt.

Keski O löytyy jäljittämällä kahden vierekkäisen puolen puolittimet. Keskipiste O yhtä kaukana kärkipisteistä.

Pituuden r säde on segmentti keskustasta O enegonin kärkeen. Kuvio 2 esittää säteen OD ja OE pituuden r.

Apoteemi on segmentti, joka kulkee enegonin yhden puolen keskipisteestä keskipisteeseen. Esimerkiksi OJ on apoteemi, jonka pituus on.

Enegonin alue, joka tunnetaan sivu ja apoteemi

Tarkastellaan kolmion ODE-kuvaa kuvassa 2. Tämän kolmion pinta-ala on sen pohja-arvon DE ja korkeuden OJ jaettuna 2: lla:

ODE-alue = (DE * OJ) / 2 = (d * a) / 2

Koska enegonissa on 9 samanpintaista kolmiota, päätellään, että saman alueen pinta-ala on:

Enegonin pinta-ala = (9/2) (d * a)

Tunnetun kulma-alueen pinta

Jos vain enegonin sivujen pituus d tunnetaan, on välttämätöntä löytää apoteemin pituus edellisen osan kaavan soveltamiseksi.

Tarkastellaan oikeanpuoleista kolmiota OJE J: ssä (katso kuva 2). Jos käytetään tangentin trigonometristä suhdetta, saadaan:

rusketus (∡ OEJ) = OJ / EJ.

Kulma ∡OEJ = 140º / 2 = 70º, koska EO on enegonin sisäkulman puolittaja.

Toisaalta EYVL on noote, jonka pituus on a.

Sitten, koska J on ED: n keskipiste, seuraa, että EJ = d / 2.

Korvaamalla aikaisemmat arvot meillä olevalla tangenttisuhteella:

rusketus (70 °) = a / (d / 2).

Nyt puhdistamme apoteemin pituuden:

a = (d / 2) rusketus (70 °).

Aikaisempi tulos korvataan pinta-alakaavalla saadaksesi:

Enegonin pinta-ala = (9/2) (d * a) = (9/2) (d * (d / 2) rusketus (70º))

Lopuksi löydämme kaavan, jonka avulla voidaan saada säännöllisen egonin pinta-ala, jos vain sen sivujen pituus d tunnetaan:

Enegonin pinta-ala = (9/4) d ² tan (70º) = 6,1818 d ²

Säännöllisen kulmion kehä tunsi sivunsa

Monikulmion kehä on sen sivujen summa. Enegonin tapauksessa, koska jokainen sivu mittaa pituuden d, sen kehä on yhdeksän kertaa d, eli:

Kehä = 9 d

Enegonin kehä tunsi säteen

Ottaen huomioon suorakulmainen kolmio, OJE, J (ks. Kuva 2), trigonometrista kosinisuhdetta käytetään:

cos (= OEJ) = EJ / OE = (d / 2) / r

Mistä se saadaan:

d = 2r cos (70º)

Korvaamalla tämä tulos saadaan kehälle kaava enegonin säteen funktiona:

Kehä = 9 d = 18 r cos (70º) = 6,1564 r

Kuinka tehdä säännöllinen enegon

1- Normaalin eneagonin rakentamiseksi, jossa on viivain ja kompassi, aloitetaan ympäri c, joka ympäröi eneagonin. (katso kuva 3)

2 - Kaksi kohtisuoraa viivaa vedetään kehän keskipisteen O läpi. Sitten yhden viivan leikkauspisteet A ja B on merkitty kehällä.

3 - Kompassin kanssa, joka on keskittynyt leikkaukseen B ja sädettä BO vastaavaan aukkoon, piirretään kaari, joka tarttuu alkuperäiseen kehään pisteessä C.

Kuva 3. Vaiheet säännöllisen egononin rakentamiseksi. (Oma suunnittelu)

4- Edellinen vaihe toistetaan, mutta tekemällä keskipiste A: n ja säteen AO kohdalta, piirretään kaari, joka tarttuu kehän c pisteeseen E.

5- Kun aukko on AC ja keskikohta A, piirretään ympyränkaari. Samoin avaamalla BE ja keskikohta B piirretään toinen kaari. Näiden kahden kaaren leikkauspiste on merkitty pisteellä G.

6- Kun keskusta tehdään G: stä ja avataan GA, piirretään kaari, joka katkaisee toissijaisen akselin (tässä tapauksessa vaakasuoran) pisteessä H. Toissijaisen akselin leikkaus alkuperäisen kehän c kanssa on merkitty I.

7- segmentin IH pituus on yhtä suuri kuin enegonin sivun pituus d.

8- Kun kompassi aukeaa IH = d, A-keskuksen säteen AJ, keskimmäisen J-säteen AK, keskimmäisen K-säteen KL ja keskikohdan L säteen LP kaaret piirretään peräkkäin.

9- Vastaavasti alkaen A: sta ja oikealta puolelta piirretään säteen IH = d kaaria, jotka merkitsevät pisteitä M, N, C ja Q alkuperäisellä kehällä c.

10- Lopuksi piirretään segmentit AJ, JK, KL, LP, AM, MN, NC, CQ ja lopulta PB.

On huomattava, että rakennusmenetelmä ei ole täysin tarkka, koska voidaan varmistaa, että viimeisen sivun PB on 0,7% pidempi kuin muut sivut. Tähän päivään mennessä ei ole tunnettua menetelmää viivaimen ja kompassin rakentamiseksi, joka olisi 100% tarkka.

esimerkit

Tässä on joitain kehitettyjä esimerkkejä.

Esimerkki 1

Haluamme rakentaa tavallisen kulmion, jonka sivujen pituus on 2 cm. Minkä säteen tulee olla sitä ympäröivän kehän, jotta aikaisemmin kuvattua rakennetta käyttämällä saadaan haluttu tulos?

Edellisessä osassa pääteltiin kaava, joka kuvaa ympäröimän ympyrän säteen r normaalin enegonin sivun d kanssa:

d = 2r cos (70º)

Ratkaisemme r edellisestä lausekkeesta, joka meillä on:

r = d / (2 cos (70 °)) = 1,4619 * d

Kun korvataan arvo d = 2 cm edellisessä kaavassa, säde r on 2,92 cm.

Esimerkki 2

Mikä on säännöllisen egonin pinta-ala 2 cm?

Tähän kysymykseen vastaamiseksi meidän on viitattava aikaisemmin esitettyyn kaavaan, jonka avulla voimme löytää tunnetun enegonin pinnan sen sivun pituudella d: