Vektori tila on ei-tyhjä joukko V = { u, v, w,……}, jonka alkiot ovat vektoreita. Niiden kanssa tehdään joitain tärkeitä toimenpiteitä, joista seuraavat seuraavat erottuvat:

- summa kahden vektorit u + v tuloksena z, joka kuuluu joukkoon V.

- reaaliluvun a kertoaminen vektorilla v: α v, joka antaa toisen vektorin ja kuuluu V: lle.

Taiteellinen visio vektoritilasta. Lähde: Pixabay

Vektorin merkitsemiseen käytetään lihavoitua (v on vektori), ja skalaareihin tai numeroihin kreikkalaisia ​​kirjaimia (α on luku).

Aksioomat ja ominaisuudet

Jotta vektoritila voidaan antaa, seuraavien kahdeksan aksiooman on oltava:

1-sekoitettavuus: u + v = v + u

2-transitiivisyys: (u + v) + w = u + (v + w)

3 - Nollavektorin 0 olemassaolo siten, että 0 + v = v

4 - Päinvastaisuuden olemassaolo: v: n vastakohta on (- v), koska v + (- v) = 0

Tuotteen 5-jakaantuminen vektorisummaan nähden: α (u + v) = α u + α v

Tuotteen 6-jakaantuminen skalaarisummaan nähden: (α + β) v = α v + β v

Skaalaarisen tuotteen 7-assosiatiivisuus: α (β v) = (α β) v

8 -Luku 1 on neutraali elementti, koska: 1 v = v

Esimerkkejä vektoritiloista

Esimerkki 1

(R²) -tasossa olevat vektorit ovat esimerkki vektoritilasta. Tasossa oleva vektori on geometrinen esine, jolla on suuruus ja suunta. Sitä edustaa suuntautunut segmentti, joka kuuluu mainittuun tasoon ja jonka koko on verrannollinen sen suuruuteen.

Kahden vektorin summa tasossa voidaan määritellä toisen vektorin geometriseksi translaatiotoimenpiteeksi ensimmäisen jälkeen. Summan tulos on suuntautunut segmentti, joka alkaa ensimmäisen alkuperästä ja saavuttaa toisen kärjen.

Kuviosta voidaan nähdä, että summa R²: ssä on kommutatiivinen.

Kuva 2. Suorat vektorit muodostavat vektoriavaruuden. Lähde: itse tehty.

Myös luvun a ja vektorin tuote määritetään. Jos luku on positiivinen, alkuperäisen vektorin suunta pidetään ja koko on α-kertainen alkuperäisen vektorin kanssa. Jos luku on negatiivinen, suunta on päinvastainen, ja tuloksena olevan vektorin koko on luvun absoluuttinen arvo.

Mitä tahansa vektoria v vastapäätä oleva vektori on - v = (- 1) v.

Nullivektori on piste R2-tasolla, ja luku nolla kertaa vektori antaa nollavektorin.

Kaikki sanottu havainnollistetaan kuviossa 2.

Esimerkki 2

Kaikkien polynomien joukko P, joiden aste on pienempi tai yhtä suuri kuin kaksi, mukaan lukien nolla aste, muodostavat joukon, joka tyydyttää kaikki vektoritilan aksioomat.

Olkoon polynomi P (x) = a x² + bx + cy Q (x) = d x² + ex + f

Kahden polynomin summa määritetään: P (x) + Q (x) = (a + d) x² + (b + e) ​​x + (c + f)

Joukkoon P kuuluvien polynomien summa on kommutatiivinen ja transitiivinen.

Joukkoon P kuuluva nollapolynomi on sellainen, jonka kaikki kertoimet ovat yhtä kuin nolla:

0 (x) = 0 x² + 0 x + 0

Polynomin skaalaarin α summa määritetään seuraavasti: α P (x) = α ∙ a x² + α ∙ bx + α ∙ c

P (x): n vastakkainen polynomi on -P (x) = (-1) P (x).

Kaikesta edellä esitetystä seuraa, että kaikkien polynomien joukko P, joiden aste on pienempi tai yhtä suuri kuin kaksi, on vektoriavaruus.

Esimerkki 3

M rivin xn sarakkeiden kaikkien matriisien joukko M, joiden elementit ovat todellisia lukuja, muodostavat todellisen vektoriavaruuden suhteessa matriisien ja numeron tuloksen lisäämiseen matriisin avulla.

Esimerkki 4

Todellisen muuttujan jatkuvien funktioiden joukko F muodostaa vektoriavaruuden, koska on mahdollista määritellä kahden funktion summa, skalaarin kertolasku funktiolla, nollafunktio ja symmetrinen funktio. Ne täyttävät myös vektoritilaa kuvaavat aksioomat.

Vektoritilan perusta ja mitta

pohja

Vektoritilan perusta määritellään lineaarisesti riippumattomien vektorien joukkoksi siten, että niiden lineaarisesta yhdistelmästä voidaan tuottaa mikä tahansa vektoritilon vektori.

Kahden tai useamman vektorin lineaarinen yhdistäminen koostuu vektorien kertomisesta jollain skalaarilla ja sitten niiden lisäämisestä vektorisesti.

Esimerkiksi R3: n muodostamissa kolmiulotteisissa vektoreiden vektoriavaruudessa käytetään yksikkövektorien (suuruusluokka 1) i, j, k määrittelemää kanonista perustaa.

Missä i = (1, 0, 0); j = (0, 1, 0); k = (0, 0, 1). Nämä ovat Cartesian tai kanonisia vektoreita.

Mikä tahansa R3: een kuuluva vektori V kirjoitetaan muodolla V = a i + b j + c k, joka on lineaarinen yhdistelmä emävektoreita i, j, k. Skaalaari tai numerot a, b, c tunnetaan V: n Cartesian-komponenteina.

Sanotaan myös, että vektoritilan perusvektorit muodostavat vektoritilan generaattorijoukon.

Ulottuvuus

Vektoritilan ulottuvuus on kyseisen tilan vektoripohjan kardinaali numero; eli vektoreiden lukumäärä, jotka muodostavat mainitun emäksen.

Tämä kardinaali on kyseisen vektoritilan lineaarisesti riippumattomien vektoreiden enimmäismäärä ja samalla vähimmäismäärä vektoreita, jotka muodostavat tuon tilan generaattorijoukon.

Vektoritilan emäkset eivät ole ainutlaatuisia, mutta kaikilla saman vektoritilan emäksillä on sama ulottuvuus.

Vektorin alatila

Vektoritilan V vektorialatila S on V: n alajoukko, jossa määritetään samat toiminnot kuin kohdassa V ja joka täyttää kaikki vektoriavaruusakselit. Siksi alatila S on myös vektoritila.

Esimerkkejä vektorialavaruudesta ovat vektorit, jotka kuuluvat XY-tasoon. Tämä alatila on osajoukko ulottuvuuden vektoriavaruudesta, joka on suurempi kuin kolmiulotteiseen avaruuteen XYZ kuuluvien vektorien joukko.

Jäljempänä määritetään toinen esimerkki vektoritilan S vektoriala-avaruudesta S1, jonka muodostavat kaikki reaalielementeillä olevat 2 × 2 -matriisit:

Toisaalta, jäljempänä määritelty S2, vaikka se onkin S: n osajoukko, ei muodosta vektorialatila:

Ratkaistuja harjoituksia

-Harjoitus 1

Olkoon vektorit V1 = (1, 1, 0); V2 = (0, 2, 1) ja V3 = (0, 0, 3) R3: ssa.

a) Osoita, että ne ovat lineaarisesti riippumattomia.

b) Osoita, että ne muodostavat perustan R3: ssa, koska mikä tahansa kolmiosa (x, y, z) voidaan kirjoittaa lineaarisena yhdistelmänä V1, V2, V3.

c) Löydä kolmin V = (-3,5,4) komponentit pohjasta V1, V2, V3.

Ratkaisu

Peruste lineaarisen riippumattomuuden osoittamiseksi koostuu seuraavien yhtälöjoukkojen muodostamisesta a, β ja γ

α (1, 1, 0) + β (0, 2, 1) + γ (0, 0, 3) = (0, 0, 0)

Jos ainoa ratkaisu tähän järjestelmään on α = β = γ = 0, niin vektorit ovat lineaarisesti riippumattomia, muuten ne eivät ole.

Α, β ja γ-arvojen saamiseksi ehdotamme seuraavaa yhtälöjärjestelmää:

α ∙ 1 + β ∙ 0 + γ ∙ 0 = 0

α ∙ 1 + β ∙ 2 + γ ∙ 0 = 0

α ∙ 0 + β ∙ 1 + γ ∙ 3 = 0

Ensimmäinen johtaa arvoon α = 0, toinen α = -2 ∙ β, mutta koska α = 0, sitten β = 0. Kolmas yhtälö merkitsee, että γ = (- 1/3) β, mutta koska β = 0, sitten y = 0.

Vastaa

Johtopäätöksenä on, että se on lineaarisesti riippumattomien vektorien joukko R3: ssa.

Vastaus b

Nyt kirjoitetaan kolmio (x, y, z) lineaarisena yhdistelmänä V1, V2, V3.

(x, y, z) = α V1 + β V2 + γ V3 = α (1, 1, 0) + β (0, 2, 1) + γ (0, 0, 3)

α ∙ 1 + β ∙ 0 + γ ∙ 0 = x

α ∙ 1 + β ∙ 2 + γ ∙ 0 = y

α ∙ 0 + β ∙ 1 + γ ∙ 3 = z

Missä sinulla on:

a = x

a + 2p = y

p + 3 y = z

Ensimmäinen osoittaa α = x, toinen β = (yx) / 2 ja kolmas γ = (z- y / 2 + x / 2) / 3. Tällä tavoin olemme löytäneet generaattorit α, β ja γ mistä tahansa R3: n triplettistä

Vastaus c

Siirrytään eteenpäin kolminkertaisen V = (-3,5,4) komponenttien löytämiseen kannasta V1, V2, V3.

Korvaamme generaattoreille vastaavat arvot yllä olevissa lausekkeissa.

Tässä tapauksessa meillä on: α = -3; p = (5 - (- 3)) / 2 = 4; y = (4 - 5/2 + (- 3) / 2) / 3 = 0

Tuo on:

(-3,5,4) = -3 (1, 1, 0) + 4 (0, 2, 1) + 0 (0, 0, 3)

Viimeisenä:

V = -3 V1 + 4 V2 + 0 V3

Johtopäätöksenä on, että V1, V2, V3 muodostavat perustan ulottuvuuden 3 vektoriavaruudessa R³.

-Harjoitus 2

Ilmaisee polynomi P (t) = t² + 4t -3 lineaarisena yhdistelmänä P1 (t) = t² -2t + 5, P2 (t) = 2t² -3t ja P3 (t) = t + 3.

Ratkaisu

P (t) = x P1 (t) + y P2 (t) + z P3 (t)

missä luvut x, y, z on määritettävä.

Kertomalla ja ryhmittelemällä termejä samalla asteella t saadaan:

t² + 4 t -3 = (x + 2y) t² + (-2x -3y + z) t + (5x + 3z)

Mikä johtaa meidät seuraavaan yhtälöjärjestelmään:

x + 2y = 1

-2x -3y + z = 4

5x + 3z = -3

Tämän yhtälöjärjestelmän ratkaisut ovat:

x = -3, y = 2, z = 4.

Tuo on:

P (t) = -3 P1 (t) + 2 P2 (t) + 4 P3 (t)

-Harjoitus 3

Osoita, että vektorit v1 = (1, 0, -1, 2); v2 = (1, 1, 0, 1) ja v3 = (2, 1, -1, 1) R3: sta ovat lineaarisesti riippumattomia.

Ratkaisu

Yhdistämme lineaarisesti kolme vektoria v1, v2, v3 ja vaadimme, että yhdistelmä lisää R⁴: n nollaelementin

a v1 + b v2 + c v3 = 0

Tarkoittaen, a (1, 0, -1, 2) + b (1, 1, 0, 1) + c (2, 1, -1, 1) = (0, 0, 0, 0)

Tämä johtaa meidät seuraavaan yhtälöjärjestelmään:

a + b + 2 c = 0

b + c = 0

-a - c = 0

2 a + b + c = 0

Ensimmäisen ja neljännen vähennys on: -a + c = 0, mikä merkitsee a = c.

Mutta jos tarkastelemme kolmatta yhtälöä, meillä on, että a = -c. Ainoa tapa, jolla a = c = (- c) on, on, että c on 0 ja siksi a on myös 0.

a = c = 0

Jos liitämme tämän tuloksen ensimmäiseen yhtälöön, johtopäätöksenä on, että b = 0.

Lopuksi a = b = c = 0, joten voidaan päätellä, että vektorit v1, v2 ja v3 ovat lineaarisesti riippumattomia.

Viitteet

1. Lipschutz, S. 1993. Lineaarinen algebra. Toinen painos. McGraw-Hill. 167-198.