ITSENÄISET TAPAHTUMAT: ESITTELY, ESIMERKIT, HARJOITUKSET - DUDAS - 2025

Kaksi tapahtumaa ovat riippumattomia, kun toisen tapahtumisen todennäköisyyteen ei vaikuta se tosiasia, että toinen tapahtuu tai ei tapahdu, ottaen huomioon, että nämä tapahtumat tapahtuvat satunnaisesti.

Tämä olosuhde esiintyy aina, kun tapahtuma 1: n tuloksen tuottava prosessi ei muuta millään tavalla tapahtuman 2 mahdollisten tulosten todennäköisyyttä. Mutta jos näin ei tapahdu, tapahtumien sanotaan olevan riippuvaisia.

Kuva 1. Värillisiä marmoria käytetään usein selittämään riippumattomien tapahtumien todennäköisyys. Lähde: Pixabay.

Riippumaton tapahtumatilanne on seuraava: Oletetaan, että kaksi kuusipuolista noppaa on rullattu, toinen sininen ja toinen vaaleanpunainen. Todennäköisyys, että 1 vierii sinisellä muotilla, on riippumaton todennäköisyydestä, että 1 rullaa - tai ei rullaa - vaaleanpunaista suulaketta.

Toinen tapaus kahdesta riippumattomasta tapahtumasta on kolikon heittäminen kahdesti peräkkäin. Ensimmäisen heiton tulos ei riipu toisen tuloksesta ja päinvastoin.

Todistus kahdesta riippumattomasta tapahtumasta

Varmistaaksesi, että kaksi tapahtumaa ovat riippumattomia, määrittelemme käsitteen ehdollisesta todennäköisyydestä yhdelle tapahtumalle suhteessa toiseen. Tätä varten on tarpeen erottaa eksklusiiviset ja osallistavat tapahtumat:

Kaksi tapahtumaa ovat yksinoikeudella, jos tapahtuman A mahdollisilla arvoilla tai elementeillä ei ole mitään yhteistä tapahtuman B arvojen tai elementtien kanssa.

Siksi kahdessa yksinomaisessa tapahtumassa A: n ja B: n leikkausjoukon joukko on tyhjiö:

Ilman tapahtumia: A∩B = Ø

Päinvastoin, jos tapahtumat ovat osallistavia, voi tapahtua, että tapahtuman A tulos vastaa myös toisen B: n tulosta, jolloin A ja B ovat erilaisia ​​tapahtumia. Tässä tapauksessa:

Sisällyttävät tapahtumat: A∩B ≠ Ø

Tämä johtaa meidät määrittelemään kahden osallistavan tapahtuman ehdollinen todennäköisyys, toisin sanoen tapahtuman A esiintymisen todennäköisyys, aina kun tapahtuma B tapahtuu:

P (A¦B) = P (A∩B) / P (B)

Siksi ehdollisena todennäköisyytenä on todennäköisyys, että A ja B esiintyvät, jaettuna todennäköisyydellä, että B. tapahtuu.B: n todennäköisyys, että B tapahtuu A: n ehdollisena, voidaan myös määritellä:

P (B¦A) = P (A∩B) / P (A)

Perusteet kahden tapahtuman riippumattomuudelle

Seuraavaksi annamme kolme kriteeriä tietääksesi, ovatko kaksi tapahtumaa riippumattomia. Riittää, että yksi kolmesta täyttyy, jotta tapahtumien riippumattomuus osoitetaan.

1.- Jos todennäköisyys, että A esiintyy aina, kun B esiintyy, on yhtä suuri kuin A: n todennäköisyys, niin ne ovat riippumattomia tapahtumia:

P (A¦B) = P (A) => A on riippumaton B: stä

2.- Jos todennäköisyys, että B esiintyy annetulla A, on yhtä suuri kuin B: n todennäköisyys, silloin tapahtuu riippumattomia tapahtumia:

P (B¦A) = P (B) => B on riippumaton A: sta

3.- Jos todennäköisyys, että A ja B esiintyvät, on yhtä suuri kuin todennäköisyyden, että A esiintyy, ja todennäköisyyden, että B tapahtuu, niin ne ovat riippumattomia tapahtumia. Päinvastoin on myös totta.

P (A∩B) = P (A) P (B) <=> A ja B ovat itsenäisiä tapahtumia.

Esimerkkejä itsenäisistä tapahtumista

Kahden eri toimittajan tuottamia kumipohjia verrataan. Kunkin valmistajan näytteille tehdään useita testejä, joiden perusteella voidaan päätellä, ovatko ne eritelmien mukaisia.

Kuva 2. Erilaisia ​​kumipohjia. Lähde: Pixabay.

Tuloksena oleva yhteenveto 252 näytteestä on seuraava:

Valmistaja 1; 160 täyttävät vaatimukset; 8 eivät täytä vaatimuksia.

Valmistaja 2; 80 täyttävät vaatimukset; 4 eivät täytä vaatimuksia.

Tapahtuma A: "että näyte on valmistajalta 1".

Tapahtuma B: "että näyte täyttää vaatimukset".

Haluamme tietää, ovatko nämä tapahtumat A ja B riippumattomia vai eivät, mihin sovellamme yhtä edellisessä osassa mainituista kolmesta kriteeristä.

Kriteeri: P (B¦A) = P (B) => B on riippumaton A: sta

P (B) = 240/252 = 0,9523

P (B¦A) = P (A ⋂ B) / P (A) = (160/252) / (168/252) = 0,9523

Johtopäätös: Tapahtumat A ja B ovat riippumattomia.

Oletetaan, että tapahtuma C: "että näyte tulee valmistajalta 2"

Onko tapahtuma B riippumaton tapahtumasta C?

Me sovellamme yhtä kriteereistä.

Peruste: P (B¦C) = P (B) => B on riippumaton C: stä

P (B¦C) = (80/252) / (84/252) = 0,9523 = P (B)

Siksi käytettävissä olevien tietojen perusteella todennäköisyys satunnaisesti valitusta kumipohjasta täyttää vaatimukset on valmistajalta riippumaton.

Muunna itsenäinen tapahtuma riippumattomaksi tapahtumaksi

Katsotaanpa seuraavaa esimerkkiä erottaaksesi riippuvat ja itsenäiset tapahtumat.

Meillä on laukku, jossa on kaksi valkoisen suklaan palloa ja kaksi mustaa palloa. Valkoisen tai mustan pallon saamisen todennäköisyys on yhtä suuri kuin ensimmäisessä kokeessa.

Oletetaan, että tulos oli lyöntipallo. Jos vedetty pallo korvataan pussissa, alkuperäinen tilanne toistuu: kaksi valkoista palloa ja kaksi mustaa palloa.

Joten toisessa tapahtumassa tai piirtämisessä mahdollisuudet piirtää lyöntipalloa tai mustaa palloa ovat samat kuin ensimmäisellä kerralla. Ne ovat siis itsenäisiä tapahtumia.

Mutta jos ensimmäisessä tapahtumassa piirrettyä lippua ei korvata, koska olemme syöneet sen, toisessa tasapelissä on enemmän mahdollisuuksia piirtää musta pallo. Todennäköisyys, että toinen uutto saa jälleen valkoista, on erilainen kuin ensimmäisessä tapahtumassa, ja sen ehtona on edellinen tulos.

Harjoitukset

- Harjoitus 1

Laatikkoon laitamme 10 kuvion 1 marmoria, joista 2 ovat vihreitä, 4 ovat sinisiä ja 4 ovat valkoisia. Kaksi marmoria valitaan sattumanvaraisesti, yksi ensimmäinen ja yksi myöhemmin. Pyydetään löytämään

todennäköisyys siitä, että yksikään niistä ei ole sininen seuraavissa olosuhteissa:

a) Vaihtamalla, eli palauttamalla ensimmäinen marmori ennen toista valintaa laatikkoon. Ilmoita ovatko ne riippumattomia vai riippuvaisia ​​tapahtumia.

b) Ilman vaihtoa siten, että ensimmäinen piirretty marmori jätetään laatikosta toista valintaa tehtäessä. Ilmoita vastaavasti, ovatko ne riippuvaisia ​​vai riippumattomia tapahtumia.

Ratkaisu

Laskemme todennäköisyyden, että ensimmäinen uutettu marmori ei ole sininen, mikä on 1 miinus todennäköisyys, että se on sininen P (A), tai suoraan, että se ei ole sininen, koska se tuli vihreänä tai valkoisena:

P (A) = 4/10 = 2/5

P (älä ole sininen) = 1 - (2/5) = 3/5

Oi:

P (vihreä tai valkoinen) = 6/10 = 3/5.

Jos uutettu marmori palautetaan, kaikki on kuin ennen. Tässä toisessa piirtämisessä on myös 3/5 todennäköisyys, että piirretty marmori ei ole sininen.

P (ei sininen, ei sininen) = (3/5). (3/5) = 9/25.

Tapahtumat ovat riippumattomia, koska uutettu marmori palautettiin laatikkoon ja ensimmäinen tapahtuma ei vaikuta toisen esiintymisen todennäköisyyteen.

Ratkaisu b

Jatka ensimmäistä uuttamista kuten edellisessä osassa. Todennäköisyys, että se ei ole sininen, on 3/5.

Toista uuttoa varten pussissa on 9 marmoria, koska ensimmäinen ei palannut, mutta se ei ollut sininen, joten pussissa on 9 marmoria ja 5 ei sinistä:

P (vihreä tai valkoinen) = 5/9.

P (mikään ei ole sininen) = P (ensin ei sininen). P (toinen ei sininen / ensimmäinen ei sininen) = (3/5). (5/9) = 1/3

Tässä tapauksessa ne eivät ole itsenäisiä tapahtumia, koska ensimmäinen tapahtuma asettaa toisen.

- Harjoitus 2

Kaupassa on 15 paitaa kolmessa koossa: 3 pientä, 6 keskikokoista ja 6 isoa. 2 paita on valittu satunnaisesti.

a) Mikä on todennäköisyys, että molemmat valitut paidat ovat pieniä, jos yksi otetaan ensin ja ilman, että erää korvataan toisella?

b) Mikä on todennäköisyys, että molemmat valitut paidat ovat pieniä, jos yksi vedetään ensin, korvataan erässä ja toinen poistetaan?

Ratkaisu

Tässä on kaksi tapahtumaa:

Tapahtuma A: ensimmäinen valittu paita on pieni

Tapahtuma B: toinen valittu paita on pieni

Tapahtuman A esiintymisen todennäköisyys on: P (A) = 3/15

Tapahtuman B esiintymisen todennäköisyys on: P (B) = 2/14, koska paita oli jo poistettu (14 jäljellä), mutta lisäksi tapahtuman A halutaan toteutuvan, ensimmäisen poistetun paidan on oltava pieni ja siksi molemmat ovat 2 pientä.

Toisin sanoen, todennäköisyys siitä, että A ja B ovat todennäköisyyksien tulos, on:

P (A ja B) = P (B¦A) P (A) = (2/14) (3/15) = 0,029

Siksi tapahtuman A ja B esiintymisen todennäköisyys on sama kuin tapahtuman A tapahtumakertoimen tulo, kertaa todennäköisyys, että tapahtuma B tapahtuu, jos tapahtuma A.

On huomattava, että:

P (B2A) = 2/14

Todennäköisyys, että tapahtuma B tapahtuu riippumatta siitä tapahtuuko tapahtuma A vai ei:

P (B) = (2/14), jos ensimmäinen oli pieni, tai P (B) = 3/14, jos ensimmäinen ei ollut pieni.

Yleisesti voidaan päätellä seuraavasta:

P (B¦A) ei ole yhtä suuri kuin P (B) => B ei ole riippumaton A: sta

Ratkaisu b

Jälleen on kaksi tapahtumaa:

Tapahtuma A: ensimmäinen valittu paita on pieni

Tapahtuma B: toinen valittu paita on pieni

P (A) = 3/15

Muista, että tuloksesta riippumatta erästä piirretty paita korvataan ja paita taas piirretään satunnaisesti. Todennäköisyys, että tapahtuma B tapahtuu, jos tapahtuma A tapahtui, on:

P (B2A) = 3/15

Tapahtumien A ja B todennäköisyys on:

P (A ja B) = P (B¦A) P (A) = (3/15) (3/15) = 0,04

Ota huomioon, että:

P (B¦A) on yhtä suuri kuin P (B) => B on riippumaton A: sta.

- Harjoitus 3

Tarkastellaan kahta itsenäistä tapahtumaa A ja B. On tiedossa, että todennäköisyys tapahtuman A esiintymiselle on 0,2 ja todennäköisyys tapahtuman B esiintymiselle on 0,3. Mikä on todennäköisyys, että molemmat tapahtumat tapahtuvat?

Ratkaisu 2

Kun tiedät tapahtumien riippumattomuuden, tiedetään, että todennäköisyys, että molemmat tapahtumat tapahtuvat, on yksittäisten todennäköisyyksien tulos. Tarkoittaen, P (A∩B) = P (A) P (B) = 0,2 * 0,3 = 0,06

Huomaa, että on todennäköisyys, joka on paljon pienempi kuin todennäköisyys, että jokainen tapahtuma tapahtuu riippumatta toisen tuloksesta. Tai laita toinen tapa, paljon pienempi kuin yksittäiset kertoimet.

Viitteet

1. Berenson, M. 1985. Johtamis- ja taloustiede. Interamericana SA 126-127.
2. Monterreyn instituutti. Itsenäisten tapahtumien todennäköisyys. Palautettu osoitteesta: monterreyinstitute.org
3. Matikan opettaja. Itsenäiset tapahtumat. Palautettu osoitteesta: youtube.com
4. Superprof. Tapahtumatyypit, riippuvaiset tapahtumat. Palautettu: superprof.es
5. Virtuaaliopettaja. Todennäköisyys. Palautettu osoitteesta: vitutor.net
6. Wikipedia. Riippumattomuus (todennäköisyys). Palautettu osoitteesta: wikipedia.com