FAKTOROINTI: MENETELMÄT JA ESIMERKIT - MATEMATIIKKA - 2026

Tekijöihinjako on menetelmä, joka polynomi ilmaistaan kertoimia, jotka voivat olla numeroita tai kirjaimia tai molempia. Tekijöinä sanottuna termeille yhteiset tekijät on ryhmitelty toisiinsa, ja tällä tavalla polynomi hajotetaan useiksi polynomiksi.

Siten, kun kertoimet kerrotaan yhdessä, tulos on alkuperäinen polynomi. Faktorointi on erittäin hyödyllinen menetelmä, kun sinulla on algebralia lausekkeita, koska se voidaan muuntaa useiden yksinkertaisten termien kertolaskuksi; esimerkiksi: 2a ² + 2ab = 2a _* (a + b).

On tapauksia, joissa polynomia ei voida ottaa huomioon, koska sen termien välillä ei ole yhteistä tekijää; siis nämä algebralliset lausekkeet ovat jaettavissa vain itsessään ja yhdellä. Esimerkiksi: x + y + z.

Algebrallisessa lausekkeessa yhteinen tekijä on sitä muodostavien termien suurin yhteinen jakaja.

Faktorointimenetelmät

On olemassa useita factoring-menetelmiä, joita käytetään tapauksesta riippuen. Jotkut näistä ovat seuraavat:

Faktorointi yhteisellä tekijällä

Tässä menetelmässä tunnistetaan ne tekijät, jotka ovat yleisiä; toisin sanoen ne, jotka toistetaan lausekkeen ehdoilla. Sitten jakeluominaisuutta sovelletaan, suurin yhteinen jakaja otetaan ja factoring on valmis.

Toisin sanoen ilmaisun yhteinen tekijä tunnistetaan ja kukin termi jaetaan sillä; Tuloksena olevat termit kerrotaan suurimmalla yhteisellä jakajalla kertoimen ilmaisemiseksi.

Esimerkki 1

Kerroin (b ² x) + (b ² y).

Ratkaisu

Löydät ensin kunkin termin yhteinen tekijä, joka tässä tapauksessa on b ², ja sitten jakaa termit yhteisellä kertoimella seuraavasti:

(b ² x) / b ² = x

(b ² y) / b ² = y.

Faktorointi ilmaistaan ​​kertomalla yhteinen tekijä tuloksilla:

(b ² x) + (b ² y) = b ² (x + y).

Esimerkki 2

Kerroin (2a ² b ³) + (3ab ²).

Ratkaisu

Tässä tapauksessa meillä on kaksi tekijää, jotka toistuvat kussakin termissä, jotka ovat "a" ja "b" ja jotka nostetaan voimaan. Niiden huomioon ottamiseksi kaksi termiä hajotetaan ensin pitkässä muodossa:

2 _* a _* a _* b _* b _* b + 3a _* b _* b

Voidaan nähdä, että tekijä "a" toistetaan vain kerran toisella aikavälillä ja tekijä "b" toistetaan kahdesti tässä; joten ensimmäisellä aikavälillä jäljelle jää vain 2, tekijä "a" ja "b"; kun taas toisella aikavälillä jäljellä on vain 3.

Siksi ajat, jolloin "a" ja "b" toistetaan, kirjoitetaan ja kerrotaan tekijöillä, jotka jäävät kustakin termistä, kuten kuvassa:

Ryhmittely factoring

Koska kaikissa tapauksissa polynomin suurin yhteinen jakaja ei ole selvästi ilmaistu, on välttämätöntä tehdä muita vaiheita, jotta polynomi voidaan kirjoittaa uudelleen ja siten tekijä.

Yksi näistä vaiheista on ryhmitellä polynomin termit useisiin ryhmiin ja käyttää sitten yhteistä tekijämenetelmää.

Esimerkki 1

Kerroin ac + bc + ad + bd.

Ratkaisu

On olemassa 4 tekijää, joissa kaksi on yhteistä: ensimmäisessä termiä se on "c" ja toisessa se on "d". Tällä tavalla kaksi termiä ryhmitellään ja erotetaan toisistaan:

(ac + bc) + (ad + bd).

Nyt on mahdollista soveltaa yhteiskerroinmenetelmää jakamalla kukin termi yhteisellä kertoimella ja kertomalla sitten se yhteinen tekijä tuloksilla olevilla termeillä, kuten tämä:

(ac + bc) / c = a + b

(ad + bd) / d = a + b

c (a + b) + d (a + b).

Nyt saamme binomiaalin, joka on yhteinen molemmille termeille. Sen tekijä kerrotaan jäljellä olevilla tekijöillä; tällä tavalla sinun on:

ac + bc + ad + bd = (c + d) _* (a + b).

Tarkastuskerroin

Tätä menetelmää käytetään kvadraattisten polynomien tekijöihin, joita kutsutaan myös trinomiksi; ts. ne, jotka on rakennettu ax ² ± bx + c: ksi, joissa “a” -arvo on erilainen kuin 1. Tätä menetelmää käytetään myös silloin, kun trinomilla on muoto x ² ± bx + c ja “a” -arvolla = 1.

Esimerkki 1

Kerroin x ² + 5x + 6.

Ratkaisu

Meillä on neliöllinen trinomi, jonka muoto on x ² ± bx + c. Jotta se kerrottaisiin, sinun on ensin löydettävä kaksi numeroa, jotka kerrottuna antavat tuloksena arvon «c» (eli 6) ja että niiden summa on yhtä suuri kuin kerroin «b», joka on 5. Nämä luvut ovat 2 ja 3:

2 _* 3 = 6

2 + 3 = 5.

Siksi lauseketta yksinkertaistetaan näin:

(x ² + 2x) + (3x + 6)

Jokainen termi otetaan huomioon:

- Kohdassa (x ² + 2x) otetaan yleinen termi: x (x + 2)

- Jolle (3x + 6) = 3 (x + 2)

Siksi lauseke on:

x (x +2) + 3 (x +2).

Koska meillä on yhteinen binomi, lausekkeen vähentämiseksi kerrotaan tämä jäljellä olevilla termeillä ja meidän on:

x ² + 5x + 6 = (x + 2) _* (x + 3).

Esimerkki 2

Kerroin 4a ² + 12a + 9 = 0.

Ratkaisu

Meillä on neliöllinen trinomi muotoa ax ² ± bx + cy sen kerroittamiseksi, kerro koko lauseke kertoimella x ²; tässä tapauksessa 4.

4a ² + 12 + 9 = 0

4a ² (4) + 12a (4) + 9 (4) = 0 (4)

16a ² + 12a (4) + 36 = 0

4 ² a ² + 12a (4) + 36 = 0

Nyt meidän on löydettävä kaksi numeroa, jotka kerrottuna toisistaan ​​antavat seurauksena arvon "c" (joka on 36) ja jotka lisättäessä antavat tulokseksi kertoimen "a", joka on 6.

6 _* 6 = 36

6 + 6 = 12.

Tällä tavalla lauseke kirjoitetaan uudelleen ottaen huomioon, että 4 ² a ² = 4a _* 4a. Siksi jakeluomaisuus koskee kutakin termiä:

(4a + 6) _* (4a + 6).

Lopuksi lauseke jaetaan kertoimella ²; eli 4:

(4. + 6) _* (4. + 6) / 4 = ((4. + 6) / 2) _* ((4. + 6) / 2).

Lauseke on seuraava:

4a ² + 12 + 9 = (2a +3) _* (2a + 3).

Faktorointi merkittävillä tuotteilla

On tapauksia, joissa polynomien täydelliseksi tekijäksi yllämainituilla menetelmillä siitä tulee erittäin pitkä prosessi.

Siksi ilmaisua voidaan kehittää merkittävien tuotteiden kaavoilla ja siten prosessi yksinkertaistuu. Yleisimmin käytettyjä tuotteita ovat:

- Kahden ruudun ero: (a ² - b ²) = (a - b) _* (a + b)

- Täydellinen neliön summa: a ² + 2ab + b ² = (a + b) ²

- Täydellinen erotusruutu: a ² - 2ab + b ² = (a - b) ²

- Kahden kuution ero: a ³ - b ³ = (ab) _* (a ² + ab + b ²)

- Kahden kuution summa: a ³ - b ³ = (a + b) _* (a ² - ab + b ²)

Esimerkki 1

Kerroin (5 ² - x ²)

Ratkaisu

Tässä tapauksessa on ero kahden ruudun välillä; siksi sovelletaan merkittävää tuotekaavaa:

(a ² - b ²) = (a - b) _* (a + b)

(5 ² - x ²) = (5 - x) _* (5 + x)

Esimerkki 2

Tekijä 16x ² + 40x + 25 ²

Ratkaisu

Tässä tapauksessa sinulla on täydellinen neliön summa, koska voit tunnistaa kaksi termiä neliössä, ja jäljelle jäävä termi on seuraus kertomalla kaksi ensimmäisen kauden neliöjuurilla, toisen kauden neliöjuurilla.

a ² + 2ab + b ² = (a + b) ²

Lasketaan vain ensimmäisen ja kolmannen lauseen neliöjuuret:

√ (16x ²) = 4x

√ (25 ²) = 5.

Sitten kaksi tulokseksi saatua termiä ilmaistaan ​​operaation merkillä ja koko polynomi neliöidaan:

16x ² + 40x + 25 ² = (4x + 5) ².

Esimerkki 3

Kerroin 27a ³ - b ³

Ratkaisu

Lauseke edustaa vähennystä, jossa kaksi tekijää on leikattu. Niiden huomioon ottamiseksi käytetään kuutioiden eron merkittävän tuotteen kaavaa, joka on:

a ³ - b ³ = (ab) _* (a ² + ab + b ²)

Siten tekijäksi otetaan binomiaalin kunkin termin kuutiojuuri ja kerrottuna ensimmäisen aikavälin neliöllä, plus ensimmäisen tulo toisella termällä plus toisen aikavälin neliö.

27a ³ - b ³

√√ (27a ³) = 3a

³√ (-b ³) = -b

27a ³ - b ³ = (3a - b) _*

27a ³ - b ³ = (3a - b) _* (9a ² + 3ab + b ²)

Faktorointi Ruffinin säännön kanssa

Tätä menetelmää käytetään, kun polynomi on suurempi kuin kaksi, jotta lauseke yksinkertaistuu useaksi pienemmän asteen polynomiksi.

Esimerkki 1

Tekijä Q (x) = x ⁴ - 9x ² + 4x + 12

Ratkaisu

Ensin etsitään lukuja, jotka ovat 12: n jakajia, mikä on itsenäinen termi; Ne ovat ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6 ja ± 12.

Sitten x korvataan näillä arvoilla, pienimmästä korkeimpaan, ja siten määritetään, millä arvoilla jako on tarkka; toisin sanoen loput on oltava 0:

x = -1

Q (-1) = (-1) ^4-9 (-1) ² + 4 (-1) + 12 = 0.

x = 1

Q (1) = 1 ⁴ - 9 (1) ² + 4 (1) + 12 = 8 ≠ 0.

x = 2

Q (2) = 2 ⁴ - 9 (2) ² + 4 (2) + 12 = 0.

Ja niin edelleen jokaiselle jakajalle. Tässä tapauksessa löydetyt kertoimet ovat x = -1 ja x = 2.

Nyt käytetään Ruffini-menetelmää, jonka mukaan lausekkeen kertoimet jaetaan löydetyillä kertoimilla siten, että jako on tarkka. Polynomitermit järjestetään korkeimmasta alimpaan eksponenttiin; jos sekvenssistä puuttuu seuraavan asteen termi, 0 asetetaan paikalleen.

Kertoimet sijaitsevat kaaviossa seuraavan kuvan mukaisesti.

Ensimmäinen kerroin lasketaan ja kerrotaan jakajalla. Tässä tapauksessa ensimmäinen jakaja on -1, ja tulos sijoitetaan seuraavaan sarakkeeseen. Sitten kerroimen arvo saavutetun tuloksen kanssa lisätään pystysuoraan ja tulos asetetaan alapuolelle. Tällä tavalla prosessi toistetaan viimeiseen sarakkeeseen saakka.

Sitten sama toimenpide toistetaan uudelleen, mutta toisella jakajalla (joka on 2), koska lauseketta voidaan silti yksinkertaistaa.

Siten jokaisella saadulla juurella polynomilla on termi (x - a), jossa "a" on juuri:

(x - (-1)) _* (x - 2) = (x + 1) _* (x - 2)

Toisaalta nämä termit on kerrottava Ruffinin sääntöjen 1: 1 ja -6 lopulla, jotka ovat astetta edustavia tekijöitä. Tällä tavalla muodostunut lauseke on: (x ² + x - 6).

Tuloksen saaminen polynomin tekijänmuodostuksesta Ruffini-menetelmällä on:

x ⁴ - 9x ² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (x ² + x - 6)

Lopuksi, edellisessä lausekkeessa esiintyvän asteen 2 polynomi voidaan kirjoittaa uudelleen nimellä (x + 3) (x-2). Siksi lopullinen tekijänmuutos on:

x ⁴ - 9x ² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (x + 3) _* (x-2).

Viitteet

1. Arthur Goodman, LH (1996). Algebra ja trigonometria analyyttisellä geometrialla. Pearson koulutus.
2. J, V. (2014). Kuinka opettaa lapsille polynomin faktoroinnista.
3. Manuel Morillo, AS (sf). Matematiikan perusteet sovelluksilla.
4. Roelse, PL (1997). Lineaariset menetelmät polynomifaktorointiin äärellisissä kentissä: teoria ja toteutukset. Essenin yliopisto.
5. Sharpe, D. (1987). Renkaat ja tekijä.