BIJEKTIIVINEN TOIMINTO: MIKÄ SE ON, MITEN SE TEHDÄÄN, ESIMERKKEJÄ, HARJOITUKSIA - MATEMATIIKKA - 2026

Bijektiivinen funktio on sellainen, joka täyttää molemmat edellytykset ovat injektio, ja surjective. Eli kaikki elementit verkkotunnus on yksi kuvan maalijoukko ja käännä maalijoukko on sama sijoitus funktion (R _f).

Se saavutetaan tarkastelemalla yksityishenkilön suhdetta verkkotunnuksen ja kodomeenin elementtien välillä. Yksinkertainen esimerkki on funktio F: R → R, jonka määrittelee viiva F (x) = x

Lähde: Kirjailija

Havaitaan, että jokaisella verkkotunnuksen tai aloitusjoukon arvolla (molemmat ehdot pätevät yhtäläisesti) on yksi kuva kodidomeenissa tai saapumisjoukossa. Lisäksi kododomeissa ei ole muuta elementtiä kuin kuva.

Tällä tavalla F: R → R, jonka määrittelee viiva F (x) = x on bijektiivinen

Kuinka teet bijeaktiivisen toiminnon?

Tähän vastaamiseksi on välttämätöntä olla selkeä funktion injektiokykyyn ja ylikuormitettavuuteen liittyvistä käsitteistä sekä toimintojen ehdollistamista koskevista kriteereistä niiden mukauttamiseksi vaatimuksiin.

Funktion injektiivisuus

Toiminto on injektiokykyinen, kun jokainen sen domainin elementeistä liittyy kodomeenin yksittäiseen elementtiin. Codomain-elementti voi olla vain verkkotunnuksen yksittäisen elementin kuva, tällä tavoin riippuvaisen muuttujan arvoja ei voida toistaa.

Jotta voidaan pitää injektiotoimintoa, seuraavien on täytyttävä:

∀ x ₁ ≠ x ₂ ⇒ F (x ₁) ≠ F (x ₂)

Funktion surjektiivisyys

Toiminto luokitellaan surjektiiviseksi, jos jokainen sen kodomeenin elementti on kuva ainakin yhdestä verkkotunnuksen elementistä.

Funktion surjektiivin katsomiseksi on täytettävä seuraavat vaatimukset:

Olkoon F: D _f → C _f

∀ b ℮ C _f E a ℮ D _f / F (a) = b

Tämä on algebrallinen tapa osoittaa, että jokaisella C _{f: ään} kuuluvalla b: llä on D _{f: ään} kuuluva a, niin että a: ssa arvioitu funktio on yhtä suuri kuin b.

Toiminnan vakiointi

Joskus funktiolle, joka ei ole bijektiivinen, voidaan asettaa tiettyjä ehtoja. Nämä uudet olosuhteet voivat tehdä siitä bijeaktiivisen toiminnan. Kaikenlaiset modifikaatiot funktion verkkotunnukseen ja kodomeeniin ovat päteviä, kun tavoitteena on täyttää injektoitavuuden ja surjektiivisyyden ominaisuudet vastaavassa suhteessa.

Esimerkkejä: ratkaistuja harjoituksia

Harjoitus 1

Olkoon funktio F: R → R määritetty viivalla F (x) = 5x +1

V:

Havaitaan, että jokaisessa verkkotunnuksen arvossa on kuva kodidomeen. Tämä kuva on ainutlaatuinen, mikä tekee F: stä injektiotoiminnon. Samalla tavoin havaitsemme, että funktion kodomain on yhtä suuri kuin sen sijoitus. Täyttäen siten surjektiivisyyden edellytyksen.

Koska olemme injektoivia ja surjektiivisia, voimme päätellä sen

F: R → R, jonka määrittelee viiva F (x) = 5x +1 on bijektiivinen funktio.

Tämä koskee kaikkia lineaarifunktioita (funktiot, joiden muuttujan korkein aste on yksi).

Harjoitus 2

Olkoon funktio F: R → R määritelty F (x) = 3x ² - 2

Piirrettäessä vaakatasoa havaitaan, että kuvaaja löytyy useammasta kuin yhdestä tilanteesta. Tästä syystä funktio F ei ole injektiokykyinen eikä siksi se ole bijektiivinen niin kauan kuin se on määritelty kohdassa R → R

Samoin on kodin arvoja, jotka eivät ole kuvia millään verkkotunnuksen elementillä. Tästä syystä funktio ei ole surjektiivinen, mikä myös ansaitsee ehdollistavan saapumisasetuksen.

Jatkamme funktion verkkotunnuksen ja kodin kunnostamista

F: →

Jos havaitaan, että uusi alue kattaa arvot nollasta positiiviseen äärettömyyteen. Injektioon vaikuttavien arvojen toistumisen välttäminen.

Samoin kodidomeenia on muokattu laskemalla arvosta "-2" positiiviseen äärettömyyteen, eliminoimalla kododomeista arvot, jotka eivät vastanneet yhtäkään domeenin elementtiä

Tällä tavoin voidaan varmistaa, että F : → määritetään F (x) = 3x ² - 2

Se on kaunista

Harjoitus 3

Olkoon funktio F: R → R määritelty F: llä (x) = Sen (x)

Siinä välillä sinifunktio vaihtelee tuloksesta nollan ja yhden välillä.

Lähde: Kirjailija.

Toiminto F ei vastaa injektoitavuuden ja surjektiivisuuden kriteerejä, koska riippuvaisen muuttujan arvot toistetaan jokaisen intervallin π kohdalla. Lisäksi välimatkan ulkopuolella olevat kodomeenin termit eivät ole kuvaa mistään domainin elementistä.

Kun tutkitaan funktion F (x) = Sen (x) kuvaajaa, havaitaan välejä, joissa käyrän käyttäytyminen täyttää bijektiivisyyskriteerit. Esimerkiksi aikaväli D _f = verkkotunnukselle. Ja C _f = kodomeenille.

Jos funktio vaihtelee, tulokset ovat 1 - -1, toistamatta mitään arvoa riippuvassa muuttujassa. Ja samalla kodomeeni on yhtä suuri kuin arvot, jotka hyväksyy lauseke Sen (x)

Siten funktio F: → määrittelee F (x) = Sen (x). Se on kaunista

Harjoitus 4

Ilmoita tarvittavat ehdot _{Df: lle} ja _{Cf: lle}. Joten ilmaisu

F (x) = -x ² on bijektio.

Lähde: Kirjailija

Tulosten toisto havaitaan, kun muuttujalla on vastakkaiset arvot:

F (2) = F (-2) = -4

F (3) = F (-3) = -9

F (4) = F (-4) = -16

Verkkotunnus on kondicionisoitu, rajoittaen sen oikean pinnan oikealle puolelle.

D _f =

Samalla tavalla havaitaan, että tämän funktion alue on väli, joka toimiessaan kodomeeninä täyttää surjektiivisyyden ehdot.

Tällä tavoin voimme päätellä sen

Lause F: → määrittelee F (x) = -x ² Se on bijektiivinen

Ehdotetut harjoitukset

Tarkista, ovatko seuraavat toiminnot bijektiivisiä:

F: → R määrittelee F (x) = 5 ctg (x)

F: → R määrittelee F (x) = Cos (x - 3)

F: R → R määritetään viivalla F (x) = -5x + 4

Viitteet

1. Johdanto logiikkaan ja kriittiseen ajatteluun. Merrilee H. Salmon. Pittsburghin yliopisto
2. Matemaattisen analyysin ongelmat. Piotr Biler, Alfred Witkowski. Wrocławin yliopisto. Puola.
3. Abstraktin analyysin elementit. Mícheál O'Searcoid PhD. Matematiikan laitos. Yliopisto Dublin, Beldfield, Dublind 4
4. Johdatus logiikkaan ja johdattavien tieteiden metodologiaan. Alfred Tarski, New York Oxford. Oxford University lehdistö.
5. Matemaattisen analyysin periaatteet. Enrique Linés Escardó. Toimituksellinen Reverté S. A 1991. Barcelona Espanja.