HOMOGRAFINEN TOIMINTO: MITEN KUVAAJA, RATKAISTU HARJOITUKSIA - MATEMATIIKKA - 2026

Toiminto homographic tai järkevä ng on eräänlainen matemaattisen funktion koostuu polynomin jako kahden komponentin. Se noudattaa muotoa P (x) / Q (x), missä Q (x) ei voi olla nollamuoto.

Esimerkiksi lauseke (2x - 1) / (x + 3) vastaa homografista funktiota P (x) = 2x - 1 ja Q (x) = x + 3.

Lähde: pixabay.com

Homografiset funktiot muodostavat osan analyyttisten funktioiden tutkimisesta, joita käsitellään graafisen lähestymistavan ja alueen ja alueen tutkimuksen perusteella. Tämä johtuu rajoituksista ja perusteista, joita on sovellettava päätöslauselmiin.

Mikä on homografinen funktio?

Ne ovat yhden muuttujan rationaalisia lausekkeita, vaikka tämä ei tarkoita, että kahdella tai useammalla muuttujalla ei olisi samanlaista ilmaisua, jos se olisi jo avaruuskappaleiden läsnäollessa, jotka noudattavat samoja malleja kuin tason homografinen toiminto.

Niillä on joissain tapauksissa todelliset juuret, mutta pystysuoran ja vaakasuoran asymptootin olemassaolo sekä kasvu- ja laskuvälit säilyvät aina. Yleensä vain yksi näistä suuntauksista on läsnä, mutta on ilmaisuja, jotka kykenevät osoittamaan molemmat kehityksessään.

Sen aluetta rajoittavat nimittäjän juuret, koska reaalilukuja ei jaeta nollalle.

Sekoitettu homografinen toiminto

Niitä käytetään hyvin usein laskennassa, etenkin differentiaalisia ja integraaleja, jotka ovat välttämättömiä johdannaisten ja anti-johdannaisten saamiseksi tietyillä kaavoilla. Jotkut yleisimmistä on lueteltu alla.

Jopa n. Juuri homografista funktiota

Sulje pois kaikki verkkotunnuksen elementit, jotka tekevät argumentista negatiivisen. Juuret, joissa molemmissa polynomisissa saantoarvoissa on nolla arvioitaessa.

Radikaali hyväksyy nämä arvot, vaikka homografisen toiminnan perustavaa rajoitusta on otettava huomioon. Missä Q (x) ei voi vastaanottaa nolla-arvoja.

Aikavälien ratkaisut on sieppattava:

Risteysten ratkaisun aikaansaamiseksi voidaan käyttää mm. Viittomenetelmää.

Homografisen funktion logaritmi

On myös yleistä löytää molemmat lausekkeet yhdestä muiden mahdollisten yhdistelmien joukosta.

Kuinka kuvaaja homografista funktiota?

Homografiset funktiot vastaavat graafisesti tason hyperboleja. Jotka kuljetetaan vaaka- ja pystysuunnassa niiden arvojen mukaan, jotka määrittävät polynomit.

On olemassa useita elementtejä, jotka meidän on määriteltävä rationaalisen tai homografisen funktion kuvaajaksi.

omaisuus

Ensimmäinen on funktioiden P ja Q juuret tai nollat.

Saavut arvot merkitään kuvaajan x-akselilla. Ilmaisee kuvaajan ja akselin leikkauspisteet.

Pystysuora asymptootti

Ne vastaavat pystysuoria viivoja, jotka rajaavat kuvaajan käytetyn suuntauksen mukaan. Ne koskettavat x-akselia arvoissa, jotka tekevät nimittäjästä nollan, ja homografisen funktion kuvaaja ei koskaan koske heihin.

Vaakasuora asymptootti

Vaakapistoviiva edustaa sitä rajaa, jolle toimintoa ei määritetä tarkalle pisteelle. Suuntauksia havaitaan ennen tätä linjaa ja sen jälkeen.

Sen laskemiseksi meidän on turvauduttava L'Hopitalin menetelmän kaltaiseen menetelmään, jota käytetään ratkaisemaan äärettömyyteen taipuvien rationaalisten toimintojen rajat. Meidän on otettava korkeimpien voimien kertoimet funktion numeroijaan ja nimittäjään.

Esimerkiksi seuraavalla lausekkeella on vaakasuora asymptootti arvossa y = 2/1 = 2.

Kasvuväli

Ordinaattiarvojen trendit on merkitty kuvaajaan asymptoottien vuoksi. Kasvun tapauksessa funktion arvo kasvaa, kun verkkotunnuksen elementtejä arvioidaan vasemmalta oikealle.

Pienennä intervallia

Ordinaattiarvot pienenevät, kun toimialueelementtejä arvioidaan vasemmalta oikealle.

Arvoista löytyviä hyppyjä ei oteta huomioon, kun ne kasvavat tai vähenevät. Tämä tapahtuu, kun kuvaaja on lähellä pystysuoraa tai vaakasuuntaista asymptoota, missä arvot voivat vaihdella äärettömyydestä negatiiviseen äärettömyyteen ja päinvastoin.

Y-risteys

Asettamalla x: n arvoksi nolla, löydämme leikkauksen ordinaattiakselin kanssa. Tämä on erittäin hyödyllinen tieto rationaalifunktion kuvaajan saamiseksi.

esimerkit

Määritä seuraavien lausekkeiden kuvaaja, etsi niiden juuret, pystysuorat ja vaakasuorat asymptootit, kasvu- ja laskuvälit sekä leikkaus ordinaattiakselin kanssa.

Harjoitus 1

Lausekkeella ei ole juuria, koska sillä on vakioarvo laskurissa. Sovellettava rajoitus on x erilainen kuin nolla. Vaakasuoran asymptootin ollessa y = 0 ja pystysuoran asymptoottin kohdalla x = 0. Y-akselin kanssa ei ole leikkauspisteitä.

Havaitaan, että kasvuvälejä ei ole edes hyppäämällä miinuksesta plus äärettömyyteen x = 0: lla.

Vähennysväli on

ID: (-∞; o) U (0, ∞)

Tehtävä 1.2

Havaitaan 2 polynomia kuten alkuperäisessä määritelmässä, joten jatkamme vakiintuneiden vaiheiden mukaisesti.

Löydetty juuri on x = 7/2, mikä johtuu toiminnon asettamisesta nollaksi.

Pystysuora asymptootti on kohdassa x = - 4, mikä on arvo, jonka rationaalinen funktioehto sulkee pois alueesta.

Vaakasuora asymptootti on arvossa y = 2, tämän jakamisen 2/1 jälkeen asteen 1 muuttujien kertoimet.

Sillä on y-leikkaus = - 7/4. Löydetty arvo, kun x on nollattu.

Toiminto kasvaa jatkuvasti, siirtymällä plus-miinus-äärettömyyteen juurin ympäri x = -4.

Sen kasvuväli on (-∞, - 4) U (- 4, ∞).

Kun x: n arvo lähestyy miinus äärettömyyttä, funktio ottaa arvot lähellä arvoa 2. Sama tapahtuu, kun x lähestyy enemmän äärettömyyttä.

Lause lähestyy plus äärettömyyttä arvioitaessa - 4 vasemmalta ja miinus äärettömyyttä arvioitaessa - 4 oikealta.

Harjoitus 2

Seuraavan homografisen funktion kuvaaja havaitaan:

Kuvaile sen käyttäytymistä, juuria, pysty- ja vaaka-asymptoteja, kasvu- ja laskuvälejä sekä leikkausta ordinaattiakselin kanssa.

Lausekkeen nimittäjä kertoo meille tekijätekijöiden neliöiden (x + 1) (x - 1) erotuksen avulla. Tällä tavalla molemmat pystysuorat asymptootit voidaan määritellä:

x = -1 ja x = 1

Vaakasuora asymptootti vastaa abskissa-akselia, koska suurin teho on nimittäjessä.

Sen ainoan juuren määrittelee x = -1/3.

Lauseke pienenee aina vasemmalta oikealle. Se lähestyy nollaa lähestyessään äärettömyyttä. Miinus ääretön lähestyessäsi -1 vasemmalta. Plus ääretön lähestyessään -1 oikealta. Vähemmän ääretön lähestyessä yhtä vasemmalta ja enemmän ääretöntä lähestyessä yhtä oikealta.

Viitteet

1. Lähestyminen rationaalisten toimintojen kanssa. Donald J. Newman. American Mathematical Soc., 31. joulukuuta. 1979
2. Ortogonaaliset rationaalitoiminnot. UNIVERSIDAD DE LA LAGUNA TENERIFE ADHEMAR BULTHEEL, Adhemar Bultheel, Pablo Gonzalez-Vera, Erik Hendriksen, Olav Njastad. Cambridge University Press, 13. helmikuuta. 1999
3. Oikeiden toimintojen rationaalinen lähentäminen. PP Petrušev, Vasil Atanasov Popov. Cambridge University Press, 3. maaliskuuta. 2011
4. Algebralliset toiminnot. Gilbert Ames Bliss. Courier Corporation, 1. tammikuuta 2004
5. Espanjan matemaattisen seuran lehti, volyymit 5–6. Espanjan matemaattinen yhdistys, Madrid 1916