Logaritminen funktio on matemaattinen suhde, joka liittää jokaiseen positiivinen reaaliluku x sen logaritmi y, että alustan päälle. Tämä suhde täyttää toiminnon vaatimukset: jokaisella toimialueeseen kuuluvalla elementillä x on ainutlaatuinen kuva.
Täten:
Koska lukuun x perustuva logaritmi on numero y, johon pohja a on nostettava x: n saamiseksi.
- Kannan logaritmi on aina 1. Siten graafi f (x) = log a x leikkaa aina x-akselin pisteessä (1,0)
- Logaritminen funktio on transsendentti, eikä sitä voida ilmaista polynomina tai näiden osamääränä. Tämä ryhmä sisältää logaritmin lisäksi muun muassa trigonometriset funktiot ja eksponentiaalin.
esimerkit
Logaritminen funktio voidaan määrittää useilla emäksillä, mutta eniten käytettyjä ovat 10 ja e, missä e on Euler-luku, joka on yhtä suuri kuin 2,71828….
Kun emästä 10 käytetään, logaritmia kutsutaan desimaalilgaritmiksi, tavalliseksi logaritmiksi, Briggsin tai yksinkertaiseksi logaritmiksi.
Ja jos käytetään lukua e, niin sitä kutsutaan luonnolliseksi logaritmiksi, skotlantilaisen matemaatikon John Napierin jälkeen, joka löysi logaritmit.
Jokaisessa käytetään seuraavaa merkintää:
-Deimaalinen logaritmi: log 10 x = log x
-Neperian logaritmi: ln x
Kun aiot käyttää toista tukiasemaa, on ehdottoman välttämätöntä ilmoittaa se alaindeksinä, koska jokaisen luvun logaritmi on erilainen käytettävän kannan mukaan. Esimerkiksi, jos se on logaritmeja perustassa 2, kirjoita:
y = log 2 x
Tarkastellaan luvun 10 logaritmia kolmella erilaisella emäksellä havainnollistaaksesi tätä kohtaa:
log 10 = 1
ln 10 = 2,30259
log 2 10 = 3,332193
Yleiset laskimet tuovat vain desimaaliloggamitit (lokifunktio) ja luonnolliset logaritmit (lnfunktio). Internetissä on laskimia muilla emäksillä. Joka tapauksessa lukija voi varmistaa sen avulla, että aikaisemmat arvot täyttyvät:
10 1 = 10
e 2,3026 = 10 0001
2 3,332193 = 10,0000
Pienet desimaalierot johtuvat desimaalien määrästä, joka otetaan logaritmin laskennassa.
Logaritmien edut
Logaritmien käytön etuna on myös helppous, jonka ne tarjoavat työskennellessään suurten lukujen kanssa, käyttämällä logaritmiaan suoraan luvun sijasta.
Tämä on mahdollista, koska logaritmifunktio kasvaa hitaammin, kun luvut suurenevat, kuten kaaviosta näemme.
Joten jopa erittäin suurilla lukuilla, niiden logaritmit ovat paljon pienempiä, ja pienten lukujen käsitteleminen on aina helpompaa.
Lisäksi logaritmeilla on seuraavat ominaisuudet:
- Tuote: loki (ab) = loki + loki b
- Määrä: loki (a / b) = loki a - loki b
- Virta: kirjaa a b = b.logi a
Ja tällä tavalla tuotteista ja kertoimista tulee pienempien lukujen lisäyksiä ja vähennyksiä, kun taas voimaantumisesta tulee yksinkertainen tuote, vaikka teho on suuri.
Siksi logaritmit antavat meille mahdollisuuden ilmaista lukuja, jotka vaihtelevat erittäin suurilla arvoalueilla, kuten äänen voimakkuus, liuoksen pH, tähtien kirkkaus, sähkövastus ja maanjäristysten voimakkuus Richterin asteikolla.
Kuva 2. Logaritmeja käytetään Richterin asteikolla maanjäristysten voimakkuuden määrittämiseen. Kuvassa on romahtanut rakennus Concepciónissa, Chilessä, maanjäristyksen aikana vuonna 2010. Lähde: Wikimedia Commons.
Katsotaan esimerkki logaritmien ominaisuuksien käsittelystä:
esimerkki
Löydä x: n arvo seuraavasta lausekkeesta:
Vastaa
Meillä on tässä logaritminen yhtälö, koska tuntematon on logaritmin argumentissa. Se ratkaistaan jättämällä yksi logaritmi tasa-arvon kummallekin puolelle.
Aloitamme asettamalla kaikki termit, jotka sisältävät "x" tasa-arvon vasemmalle puolelle, ja ne, jotka sisältävät vain numerot oikealle:
loki (5x + 1) - log (2x-1) = 1
Vasemmalla puolella on vähennys kahdesta logaritmista, jotka voidaan kirjoittaa osamäärän logaritmina:
log = 1
Oikealla puolella on kuitenkin numero 1, jonka voimme ilmaista log 10: nä, kuten aiemmin näimme. Niin:
log = log 10
Jotta tasa-arvo olisi totta, logaritmien argumenttien on oltava yhtä suuret:
(5x + 1) / (2x-1) = 10
5x + 1 = 10 (2x - 1)
5x + 1 = 20 x - 10
-15 x = -11
x = 11/15
Sovellusharjoitus: Richterin asteikko
Vuonna 1957 Meksikossa tapahtui maanjäristys, jonka voimakkuus oli 7,7 Richterin asteikolla. Vuonna 1960 Chilessä tapahtui toinen suurempi maanjäristys, 9,5.
Laske kuinka monta kertaa Chilen maanjäristys oli voimakkaampaa kuin Meksikossa, tietäen, että Richterin asteikon voimakkuus M R saadaan kaavasta:
M R = log (10 4 I)
Ratkaisu
Maanjäristyksen Richterin asteikon voimakkuus on logaritminen funktio. Aiomme laskea kunkin maanjäristyksen voimakkuuden, koska meillä on Richterin voimakkuudet. Tehdään se askel askeleelta:
- Meksiko: 7,7 = log (10 4 I)
Koska logaritmifunktion käänteinen arvo on eksponentiaalinen, sovellamme tätä tasa-arvon molemmille puolille tarkoituksella ratkaista I, joka löytyy logaritmin perusteesta.
Koska ne ovat desimaalin logaritmeja, emäs on 10. Sitten:
10 7,7 = 10 4 I
Meksikon maanjäristyksen voimakkuus oli:
I M = 10 7,7 / 10 4 = 10 3,7
- Chile: 9,5 = log (10 4 I)
Sama menettely johtaa meidät Chilen I Ch- maanjäristyksen voimakkuuteen:
I Ch = 10 9,5 / 10 4 = 10 5,5
Nyt voimme verrata molempia intensiteettejä:
I Ch / I M = 10 5,5 / 10 3,7 = 10 1,8 = 63,1
I Ch = 63,1. Minä M
Chilen maanjäristys oli noin 63 kertaa voimakkaampi kuin Meksikossa. Koska suuruusluokka on logaritminen, se kasvaa hitaammin kuin voimakkuus, joten erotus 1: n voimakkuudessa tarkoittaa seismisen aallon 10-kertaista suurempaa amplitudia.
Ero molempien maanjäristysten voimakkuuksien välillä on 1,8, joten voimme odottaa erojen voimakkuuden olevan lähempänä 100: ta kuin 10: tä, kuten se todella tapahtui.
Itse asiassa, jos ero olisi ollut tarkalleen 2, Chilen maanjäristys olisi ollut 100 kertaa voimakkaampi kuin Meksikon.
Viitteet
- Carena, M. 2019. Yliopistoa edeltävä matematiikan käsikirja. Litoralin kansallinen yliopisto.
- Figuera, J. 2000. Matematiikka 1.. Monipuolinen vuosi. CO-BO-lehdet.
- Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
- Larson, R. 2010. Muuttujan laskeminen. 9. päivänä. Painos. McGraw Hill.
- Stewart, J. 2006. Precalculus: Matematiikka laskennalle. 5th. Painos. Cengagen oppiminen.