TRANSSENDENTTISET TOIMINNOT: TYYPIT, MÄÄRITELMÄ, OMINAISUUDET, ESIMERKIT - MATEMATIIKKA - 2026

Alkeis transsendentaalinen toiminnot ovat eksponentiaalinen, logaritminen, trigonometriset, käänteinen trigonometriset funktiot, hyperboliset ja käänteiset hyperboliset funktiot. Toisin sanoen ne ovat niitä, joita ei voida ilmaista polynomilla, polynomien osamäärällä tai polynomien juurilla.

Ei-elementtiset transsendentit funktiot tunnetaan myös erityisfunktioina, ja niiden joukossa virhefunktio voidaan nimetä. Algebralliset funktiot (polynomit, polynomien osamäärät ja polynomien juuret) yhdessä elementtisten transsendenttisten funktioiden kanssa muodostavat sen, mitä matematiikassa kutsutaan perusfunktioiksi.

Transsendenttien toimintojen katsotaan myös olevan niitä, jotka johtuvat transsendenttien toimintojen välisistä toimista tai transsendenttien ja algebrallisten toimintojen välisistä toimista. Nämä toiminnot ovat: funktioiden summa ja ero, tuote ja funktioiden jako sekä kahden tai useamman funktion koostumus.

Määritelmä ja ominaisuudet

Eksponentti funktio

Se on muodon todellisen riippumattoman muuttujan todellinen funktio:

f (x) = a ^ x = a ^x

missä a on kiinteä positiivinen reaaliluku (a> 0), jota kutsutaan emäkseksi. Ympyräkuviota tai yläindeksiä käytetään potensoivan toiminnan kuvaamiseen.

Oletetaan a = 2, sitten funktio näyttää tältä:

f (x) = 2 ^ x = 2 ^x

Joita arvioidaan riippumattoman muuttujan x useille arvoille:

Alla on kuvaaja, jossa eksponentiaalifunktio on esitetty useille kannan arvoille, mukaan lukien kanta e (Neper-luku e ≃ 2,72). Kanta e on niin tärkeä, että yleensä puhuttaessa eksponentiaalisesta funktiosta ajattelemme e ^ x: stä, joka on myös merkitty exp (x).

Kuva 1. Eksponentiaalifunktio a ^ x, kannan eri arvoille a. (Oma suunnittelu)

Eksponentiaalisen funktion ominaisuudet

Kuviosta 1 voidaan havaita, että eksponentiaalisten funktioiden alue on todelliset numerot (Dom f = R) ja alue tai polku on positiiviset reaalit (Ran f = R ⁺).

Toisaalta, riippumatta kannan a arvosta, kaikki eksponentiaaliset toiminnot kulkevat pisteen (0, 1) ja pisteen (1, a) kautta.

Kun pohja a> 1, niin funktio kasvaa ja kun 0 <a <1, funktio laskee.

Y = a ^ x: n ja y = (1 / a) ^ x: n käyrät ovat symmetrisiä Y-akselin ympäri.

Lukuun ottamatta tapausta a = 1, eksponentiaalinen funktio on injektio, eli kuvan kukin arvo vastaa yhtä ja ainoaa lähtöarvoa.

Logaritminen funktio

Se on todellisen riippumattoman muuttujan todellinen funktio, joka perustuu luvun logaritmin määritelmään. Lukkoon x perustuva logaritmi on luku y, jolle emästä on nostettava argumentin x saamiseksi:

kirjaa _a (x) = y ⇔ a ^ y = x

Eli logaritmifunktio, joka perustuu, on eksponentiaalifunktion käänteinen funktio, joka perustuu.

Esimerkiksi:

log ₂ 1 = 0, koska 2 ^ 0 = 1

Toinen tapaus, log ₂ 4 = 2, koska 2 ^ 2 = 4

Juuren logaritmi 2 on log ₂ √2 = ½, koska 2 ^ ½ = √2

log ₂ ¼ = -2, koska 2 ^ (- 2) = ¼

Alla on kuvaaja logaritmifunktiosta eri emäksissä.

Kuva 2. Alustan eri arvojen eksponentiaalinen funktio. (Oma suunnittelu)

Logaritmifunktion ominaisuudet

Logaritmifunktion alue y (x) = log a (x) ovat positiivisia reaalilukuja R +. Ajoalueen tai ovat reaalilukuja R.

Perustasta riippumatta, logaritmifunktio kulkee aina pisteen (1,0) läpi ja piste (a, 1) kuuluu funktion kuvaajaan.

Siinä tapauksessa, että emäs a on suurempi kuin yksikkö (a> 1), logaritmifunktio kasvaa. Mutta jos (0 <a <1), se on pienenevä funktio.

Sini-, kosini- ja tangenttifunktiot

Sinifunktio antaa todellisen luvun ja jokaiselle x-arvolle, missä x edustaa kulman mittaa radiaaneina. Kulman Sen (x) arvon saamiseksi kulma esitetään yksikköympyrässä ja mainitun kulman projektio pystyakselille on kyseistä kulmaa vastaava sini.

Trigonometrinen ympyrä ja sini erilaisille kulma-arvoille X1, X2, X3 ja X4 on esitetty alla (kuvassa 3).

Kuva 3. Trigonometrinen ympyrä ja eri kulmien sini. (Oma suunnittelu)

Tällä tavalla määritelty funktion Sen (x) enimmäisarvo voi olla 1, joka tapahtuu, kun x = π / 2 + 2π n, missä n on kokonaisluku (0, ± 1, ± 2,). Minimiarvo, jonka funktio Sen (x) voi ottaa, tapahtuu, kun x = 3π / 2 + 2π n.

Kosinus-funktio y = Cos (x) määritetään samalla tavalla, mutta kulma-asentojen P1, P2 jne. Projektio suoritetaan trigonometrisen ympyrän vaaka-akselille.

Toisaalta funktio y = Tan (x) on osio sinifunktion ja kosinin funktion välillä.

Alla on graafi transssendenteistä funktioista Sen (x), Cos (x) ja Tan (x)

Kuva 4. Kaavio transsendenttisistä toiminnoista, sini, kosiini ja tangentti. (Oma suunnittelu)

Johdannaiset ja integraalit

Eksponentiaalisen funktion johdannainen

Eksponentiaalisen funktion y = a ^ x johdannainen y 'on funktio a ^ x kerrottuna kannan a luonnollisella logaritmilla:

y '= (a ^ x)' = a ^ x ln a

Emäksen e erityistapauksessa eksponentiaalisen funktion johdannainen on itse eksponentiaalinen funktio.

Eksponentiaalisen funktion integraali

^ X: n määrittelemätön integraali on itse funktio jaettuna kannan luonnollisella logaritmilla.

Kannan e erityistapauksessa eksponentiaalisen funktion integraali on itse eksponentiaalinen funktio.

Taulukko johdannaisista ja transsendenttien funktioiden integraaleista

Alla on yhteenvetotaulukko tärkeimmistä transsendentteistä toiminnoista, niiden johdannaisista ja määrittelemättömistä integraaleista (antiderivaatit):

Taulukko johdannaisista ja määrittelemättömistä integraaleista joillekin transsendenteille. (Oma suunnittelu)

esimerkit

Esimerkki 1

Etsi funktio, joka johtuu funktion f (x) = x ^ 3 koostumuksesta funktion g (x) = cos (x) kanssa:

(sumu) (x) = f (g (x)) = cos ³ (x)

Sen johdannainen ja sen määrittelemätön integraali on:

Esimerkki 2

Etsi funktion g koostumus funktion f avulla, jossa g ja f ovat edellisessä esimerkissä määritellyt funktiot:

(gof) (x) = g (f (x)) = cos (x ³)

On huomattava, että funktioiden koostumus ei ole kommutatiivinen toimenpide.

Tämän funktion johdannainen ja määrittelemätön integraali ovat vastaavasti:

Integroitu jätettiin osoittamaan, koska tulosta ei ole mahdollista kirjoittaa yhdistelmänä perusfunktioita tarkasti.

Viitteet

1. Yhden muuttujan laskenta. Ron Larson, Bruce H. Edwards. Cengage Learning, 10. marraskuuta 2008
2. Implisiittinen funktionlause: Historia, teoria ja sovellukset. Steven G. Krantz, Harold R. Parks. Springer Science & Business Media, 9. marraskuuta. 2012
3. Monimuuttuja-analyysi. Satish Shirali, Harkrishan Lal Vasudeva. Springer Science & Business Media, 13. joulukuuta. 2010
4. Järjestelmädynamiikka: Mekatronisten järjestelmien mallintaminen, simulointi ja hallinta. Dekaani C. Karnopp, Donald L. Margolis, Ronald C. Rosenberg. John Wiley & Sons, 7. maaliskuuta 2012
5. Laskenta: Matematiikka ja mallinnus. William Bauldry, Joseph R. Fiedler, Frank R. Giordano, Ed Lodi, Rick Vitray. Addison Wesley Longman, 1. tammikuuta 1999
6. wikipedia. Transsendentti toiminta. Palautettu osoitteesta: es.wikipedia.com