EUKLIDINEN GEOMETRIA: HISTORIA, PERUSKÄSITTEET JA ESIMERKIT - MATEMATIIKKA - 2026

Euklidinen geometria vastaa ominaisuuksien tutkiminen geometristen tiloja, joissa Euklideen aksioomista täyttyvät. Vaikka tätä termiä käytetään joskus kattamaan geometriat, joilla on korkeammat mitat, joilla on samanlaiset ominaisuudet, se on yleensä synonyymi klassiselle geometrialle tai tasomaiselle geometrialle.

III vuosisadalla a. C. Euclides ja hänen opetuslapsensa kirjoittivat Elements -teoksen, työ, joka kattoi matemaattiset tiedot ajasta, jolle oli looginen-deduktiivinen rakenne. Siitä lähtien geometriasta tuli tiede, aluksi klassisten ongelmien ratkaisemiseksi, ja se on kehittynyt muotoilevaksi tieteeksi, joka auttaa järkeä.

Historia

Jotta voidaan puhua euklidisen geometrian historiasta, on välttämätöntä aloittaa Alexandrian ja Elementtien Euklidillä.

Kun Egypti jätettiin Ptolemaios I: n käsiin, Aleksanteri Suuren kuoleman jälkeen hän aloitti projektinsa koulussa Alexandriassa.

Niiden viisaiden joukossa, jotka opettivat koulussa, oli Euclid. Arvellaan, että hänen syntymänsä on noin 325 eKr. C. ja hänen kuolemansa 265 a. C. Voimme varmasti tietää, että hän meni Platonin kouluun.

Yli 30 vuoden ajan Euclid opetti Alexandriassa rakentamalla sen kuuluisia elementtejä: hän alkoi kirjoittaa tyhjentävää kuvausta aikansa matematiikasta. Euclidin opetukset tuottivat erinomaisia ​​opetuslapsia, kuten Archimedes ja Pergan Apollonius.

Euclid vastasi muinaisten kreikkalaisten erilaisten löytöjen jäsentämisestä Elementeissä, mutta toisin kuin edeltäjänsä, hän ei rajoitu vakuuttamaan, että lause on totta; Euclid tarjoaa esittelyn.

Elements on kooste kolmestatoista kirjasta. Raamatun jälkeen se on eniten julkaistu kirja, jolla on yli tuhat painosta.

Eukleidin elementit

Elementit ovat Euclidin mestariteos geometrian alalla, ja tarjoaa tarkan käsittelyn kahden ulottuvuuden (taso) ja kolmen ulottuvuuden (avaruus) geometrialle. Tämä on lähtökohta sille, jota nyt tunnetaan nimellä Euklidinen geometria..

Peruskonseptit

Elementit koostuvat määritelmistä, yleisistä käsityksistä ja postulaateista (tai aksioomeista), joita seuraavat lauseet, rakenteet ja todisteet.

- Asia on se, jolla ei ole osia.

- Viiva on pituus, jolla ei ole leveyttä.

- Suora on linja, joka on yhtä lailla suhteessa siinä oleviin pisteisiin.

- Jos kaksi viivaa leikataan niin, että vierekkäiset kulmat ovat yhtä suuret, kulmia kutsutaan suoriksi viivoiksi ja viivoja kohtisuoraksi.

- Rinnakkaisviivat ovat niitä, jotka ovat samalla tasolla, eivät koskaan leikkaudu.

Näiden ja muiden määritelmien jälkeen Euclid esittelee meille luettelon viidestä postulaatista ja viidestä käsitteestä.

Yleiset käsitteet

- Kaksi asiaa, jotka ovat yhtä suuret kuin kolmasosa, ovat samanarvoisia.

- Jos samoihin asioihin lisätään samat asiat, tulokset ovat samat.

- Jos yhtäläisistä asioista vähennetään samat asiat, tulokset ovat samat.

- Asiat, jotka vastaavat toisiaan, ovat keskenään samanlaiset.

- Kokonaismäärä on suurempi kuin osa.

Postulaatit tai aksioomat

- Yksi ja vain yksi viiva kulkee kahden eri pisteen läpi.

- Suorat viivat voidaan pidentää toistaiseksi.

- Voit piirtää ympyrän millä tahansa keskuksella ja millä tahansa säteellä.

- Kaikki suorakulmat ovat samat.

- Jos suora viiva ylittää kaksi suoraa viivaa siten, että saman sivun sisäkulmat kasvavat vähemmän kuin kaksi suoraa kulmaa, niin kaksi viivaa poikki sivulla.

Tämä viimeinen postulaatti tunnetaan rinnakkaisena postulaattina ja muotoili uudelleen seuraavalla tavalla: "Pisteelle, joka on linjan ulkopuolella, voidaan piirtää yksittäinen yhdensuuntainen annetun viivan kanssa."

esimerkit

Seuraavaksi jotkut elementtien lauseet palvelevat niiden geometristen tilojen ominaisuuksien osoittamista, joissa Euclidin viisi postulaatiota täytetään; Lisäksi ne kuvaavat tämän matemaatikon käyttämiä loogisia-deduktiivisia päättelyjä.

Ensimmäinen esimerkki

Ehdotus 1.4. (LAL)

Jos kahdella kolmiolla on kaksi sivua ja niiden välinen kulma on yhtä suuri, niin toiset sivut ja muut kulmat ovat yhtä suuret.

Esittely

Olkoot ABC ja A'B'C 'kaksi kolmiota, joissa AB = A'B', AC = A'C 'ja kulmat BAC ja B'A'C' ovat yhtä suuret. Siirretään kolmiota A'B'C 'niin, että A'B' osuu yhteen AB: n kanssa ja että kulma B'A'C 'osuu kulmaan BAC.

Joten viiva A'C 'osuu yhteen viivan AC kanssa, joten C' osuu samaan aikaan C: n kanssa. Tämän jälkeen postulaatilla 1 linjan BC on vastattava viivaa B'C '. Siksi nämä kaksi kolmiota osuvat yhteen ja siten niiden kulmat ja sivut ovat samat.

Toinen esimerkki

Ehdotus 1.5. (

Oletetaan, että kolmiolla ABC on yhtä suuret sivut AB ja AC.

Joten kolmioilla ABD ja ACD on kaksi yhtä suurta puolta ja niiden väliset kulmat ovat samat. Siten ehdotuksen 1.4 mukaan kulmat ABD ja ACD ovat yhtä suuret.

Kolmas esimerkki

Ehdotus 1.31

Voit rakentaa linjan, joka on yhdensuuntainen tietyn pisteen antaman viivan kanssa.

Rakennus

Kun viiva L ja piste P, piirretään linja M P: n läpi ja leikkaa L: n. Tämän jälkeen linja N vedetään P: n läpi, joka leikkaa L: n. Nyt piirretään linja N P: n kautta, joka leikkaa M: muodostaen saman kulman, joka L muodostuu M: n kanssa

vakuutus

N on samansuuntainen L: n kanssa.

Esittely

Oletetaan, että L ja N eivät ole yhdensuuntaiset ja leikkaavat pisteessä A. Olkoon B piste L: ssä A: n ulkopuolella. Tarkastellaan viivaa O, joka kulkee B: n ja P: n läpi. Sitten O leikkaa M: n kulmissa, jotka ovat pienempiä kuin kaksi suoraa.

Sitten 1,5 viivalla O on leikattava linja L M: n toisella puolella, joten L ja O leikkaavat kahdessa pisteessä, mikä on ristiriidassa Postulaatin 1 kanssa. Siksi L: n ja N: n on oltava yhdensuuntaiset.

Viitteet

1. Geometrian elementit. Meksikon kansallinen autonominen yliopisto
2. Euclid. Kuusi ensimmäistä kirjaa ja yhdestoista ja kahdestoistaosa Euclidin elementeistä
3. Eugenio Filloy Yague. Euklidisen geometrian didaktiikka ja historia, Grupo Editorial Iberoamericano
4. K. Ribnikov. Matematiikan historia. Mir Toimitus
5. Viloria, N., & Leal, J. (2005) Plane Analytical Geometry. Toimituksellinen Venezolana CA