- Esimerkkejä polynomin asteesta
- Taulukko 1. Esimerkkejä polynomeista ja niiden asteista
- Menettely polynomien kanssa työskentelemiseksi
- Tilaa, pienennä ja suorita polynomi
- Polynomin asteen merkitys lisäyksessä ja vähennyksessä
- Ratkaistuja harjoituksia
- - Harjoitus ratkaistu 1
- Ratkaisu
- - Harjoitus ratkaistu 2
- Ratkaisu
- Viitteet
Asteen polynomia muuttujaan saadaan termi, joka on suurin eksponentti, ja jos polynomin on kaksi tai useampaa muuttujaa, niin aste määritetään summa eksponentit kunkin termin, sitä suurempi summa on aste polynomista.
Katsotaan kuinka määrittää polynomin aste käytännöllisellä tavalla.
Kuva 1. Einsteinin kuuluisa energian E yhtälö on muuttuvan massan absoluuttisen asteen 1 monomi, jota merkitään m: llä, koska valon nopeutta c pidetään vakiona. Lähde: Piqsels.
Oletetaan, että polynomi P (x) = -5x + 8x 3 + 7 - 4x 2. Tämä polynomi on yksi muuttuja, tässä tapauksessa se on muuttuja x. Tämä polynomi koostuu useista termeistä, jotka ovat seuraavat:
Ja mikä on eksponentti? Vastaus on 3. Siksi P (x) on asteen 3 polynomi.
Jos kyseessä olevassa polynomissa on enemmän kuin yksi muuttuja, aste voi olla:
-Absolute
-Suhteessa muuttujaan
Absoluuttinen aste löytyy alussa selitetyllä tavalla: lisäämällä kunkin termin eksponentit ja valitsemalla suurin.
Sen sijaan polynomin aste suhteessa yhteen muuttujista tai kirjaimista on mainitun kirjaimen eksponentin suurin arvo. Kohta selkeytyy seuraavien osien esimerkkien ja ratkaistujen tehtävien avulla.
Esimerkkejä polynomin asteesta
Polynomit voidaan luokitella tutkinnon perusteella, ja ne voivat olla ensimmäisen asteen, toisen asteen, kolmannen asteen ja niin edelleen. Kuvion 1 esimerkissä energia on massan ensimmäisen asteen monomi.
On myös tärkeää huomata, että polynomilla olevien termien lukumäärä on yhtä suuri kuin aste plus 1. Siten:
-Ensimmäisen asteen polynomilla on 2 termeä: a 1 x + a o
-Toisen asteen polynomilla on 3 termeä: a 2 x 2 + a 1 x + a o
- Kolmannen asteen polynomilla on 4 termeä: 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a tai
Ja niin edelleen. Huolellinen lukija on huomannut, että edellisissä esimerkeissä olevat polynomit on kirjoitettu laskevassa muodossa, toisin sanoen asettamalla termi etusijalle ensin.
Seuraava taulukko näyttää erilaisia polynomeja, sekä yhden että useamman muuttujan ja niiden vastaavat absoluuttiset asteet:
Taulukko 1. Esimerkkejä polynomeista ja niiden asteista
| polynomi | aste |
|---|---|
| 3x 4 + 5x 3 -2x + 3 | 4 |
| 7x 3 -2x 2 + 3x-6 | 3 |
| 6 | 0 |
| X-1 | yksi |
| x 5 -x 4 + abx 3 + ab 3 x 2 | 6 |
| 3x 3 ja 5 + 5x 2 ja 4 - 7xy 2 + 6 | 8 |
Kahdessa viimeisessä polynomissa on enemmän kuin yksi muuttuja. Niistä termi, jolla on korkein absoluuttinen aste, on korostettu lihavoituna, jotta lukija voi nopeasti tarkistaa tutkinnon. On tärkeää muistaa, että kun muuttujalla ei ole kirjoitettua eksponenttia, ymmärretään, että mainittu eksponentti on yhtä suuri kuin 1.
Esimerkiksi korostetussa terässä ab 3 x 2 on kolme muuttujaa, nimittäin: a, b ja x. Tällä aikavälillä a nostetaan arvoon 1, toisin sanoen:
a = a 1
Siksi ab 3 x 2 = a 1 b 3 x 2
Koska b: n eksponentti on 3 ja x: n on 2, seuraa heti, että tämän termin aste on:
1 + 3 + 2 = 6
Y on polynomin absoluuttinen aste, koska millään muulla termillä ei ole korkeampaa astetta.
Menettely polynomien kanssa työskentelemiseksi
Polynomien kanssa työskennellessä on tärkeää kiinnittää huomiota tutkinnon asteeseen, koska ensin ja ennen minkään toimenpiteen suorittamista on kätevää noudattaa näitä vaiheita, joissa tutkinto tarjoaa erittäin tärkeätä tietoa:
-Tila etuuspolynomi alenevassa suunnassa. Siten termi, jolla on korkein aste, on vasemmalla ja termi, jolla on alhaisin aste, on oikealla.
- Vähennä samanlaisia termejä, menettelytapa, joka koostuu algebralla kaikki lausekkeessa olevan saman muuttujan ja asteen termit lisääminen.
-Polynomit suoritetaan tarvittaessa lisäämällä termejä, joiden kerroin on 0, jos eksponentista puuttuu termejä.
Tilaa, pienennä ja suorita polynomi
Koska polynomi P (x) = 6x 2 - 5x 4 - 2x + 3x + 7 + 2x 5 - 3x 3 + x 7 -12, sitä pyydetään tilaamaan alenevassa järjestyksessä, vähentämään vastaavia termejä, jos sellaisia on, ja täydentämään puuttuvat termit jos tarkka.
Ensimmäinen asia, jota etsitään, on termi, jolla on suurin eksponentti, joka on polynomin aste, joka osoittautuu:
x 7
Siksi P (x) on aste 7. Sitten polynomi määrätään, aloittaen tällä vasemmalla olevalla termällä:
P (x) = x 7 + 2x 5 - 5x 4 - 3x 3 + 6x 2 - 2x + 3x + 7-12
Nyt samanlaisia termejä vähennetään, jotka ovat seuraavat: - toisaalta 2x ja 3x. Ja toisaalta 7 ja -12. Niiden pienentämiseksi kertoimet lisätään algebralla ja muuttuja jätetään muuttumattomaksi (jos muuttuja ei tule kertoimen viereen, muista, että x 0 = 1):
-2x + 3x = x
7 -12 = -5
Korvaa nämä tulokset P (x):
P (x) = x 7 + 2x 5 - 5 x 4 - 3 x 3 + 6 x 2 + x-5
Ja lopuksi polynomi tutkitaan, onko joku eksponentti puuttuva, ja todellakin, termi, jonka eksponentti on 6, puuttuu, siksi se täydennetään nollalla seuraavasti:
P (x) = x 7 + 0x 6 + 2x 5 - 5x 4 - 3x 3 + 6x 2 + x - 5
Nyt on havaittu, että polynomilla oli 8 termeä, koska kuten aiemmin sanottiin, termien lukumäärä on yhtä suuri kuin + 1.
Polynomin asteen merkitys lisäyksessä ja vähennyksessä
Polynomien avulla voit suorittaa summaus- ja vähennysoperaatioita, joissa vain samanlaisia termejä lisätään tai vähennetään, koska niillä on sama muuttuja ja sama aste. Jos samanlaisia termejä ei ole, summaus tai vähennys ilmoitetaan yksinkertaisesti.
Kun summaus tai vähennys on suoritettu, jälkimmäisen ollessa vastakkaisten summa, tuloksena olevan polynomin aste on aina yhtä suuri tai pienempi kuin korkeimman asteen lisäävän polynomin aste.
Ratkaistuja harjoituksia
- Harjoitus ratkaistu 1
Löydä seuraava summa ja määritä sen absoluuttinen aste:
a 3 - 8ax 2 + x 3 + 5a 2 x - 6ax 2 - x 3 + 3a 3 - 5a 2 x - x 3 + a 3 + 14ax 2 - x 3
Ratkaisu
Se on polynomi, jolla on kaksi muuttujaa, joten on kätevää pienentää samankaltaisia termejä:
a 3 - 8ax 2 + x 3 + 5a 2 x - 6ax 2 - x 3 + 3a 3 - 5a 2 x - x 3 + a 3 + 14ax 2 - x 3 =
= a 3 + 3a 3 + a 3 - 8ax 2 - 6ax 2 + 14ax 2 + 5a 2 x - 5a 2 x + x 3 - x 3 - x 3 - x 3 =
= 5 a 3 - 2x 3
Molemmat termit ovat astetta 3 kussakin muuttujassa. Siksi polynomin absoluuttinen aste on 3.
- Harjoitus ratkaistu 2
Ilmoita seuraavan geometrisen tason pinta-ala polynomina (kuva 2 vasemmalla). Mikä on tuloksena olevan polynomin aste?
Kuva 2. Vasemmalla oleva kuva ratkaistua harjoitusta 2 varten ja oikealla sama kuva jakautui kolmeen alueeseen, joiden ilmaisu on tiedossa. Lähde: F. Zapata.
Ratkaisu
Koska se on alue, tuloksena olevan polynomin on oltava asteella 2 muuttujassa x. Alueelle sopivan lausekkeen määrittämiseksi luku hajotetaan tunnetuille alueille:
Suorakulmion ja kolmion pinta-ala ovat vastaavasti: pohja x korkeus ja pohja x korkeus / 2
A 1 = x. 3x = 3x 2; A 2 = 5. x = 5x; A 3 = 5. (2x / 2) = 5x
Huomaa: kolmion kanta on 3x - x = 2x ja korkeus 5.
Nyt lisätään kolme saatua lauseketta, jolloin meillä on kuvan ala x: n funktiona:
3x 2 + 5x + 5x = 3x 2 + 10x
Viitteet
- Baldor, A. 1974. Elementary Algebra. Cultural Venezolana SA
- Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
- Wikikirjasto. Polynomit. Takaisin: es. wikibooks.org.
- Wikipedia. Aste (polynomi). Palautettu osoitteesta: es.wikipedia.org.
- Zill, D. 1984. Algebra ja trigonometria. Mac Graw Hill.