HEPTADECAGON: OMINAISUUDET, DIAGONAALIT, KEHÄ, ALUE - MATEMATIIKKA - 2026

Heptadecagon on säännöllinen monikulmio 17 sivut ja 17 kärjet. Sen rakentaminen voidaan tehdä euklidisella tyylillä, ts. Käyttämällä vain viivainta ja kompassia. Se oli mahtava matemaattis-nero, tuskin 18-vuotias Carl Friedrich Gauss (1777-1855), joka löysi menetelmän sen rakentamiseksi vuonna 1796.

Ilmeisesti Gauss oli aina hyvin taipuvainen tähän geometriseen hahmoon, siinä määrin, että päivästä, jolloin hän löysi sen rakenteen, hän päätti olla matemaatikko. Sanotaan myös, että hän halusi heptadekagonin kaivertavan hautakiviinsä.

Kuva 1. Heptadekagon on säännöllinen monikulmio, jolla on 17 sivua ja 17 kärkeä. Lähde: F. Zapata.

Gauss löysi myös kaavan sen määrittämiseksi, mitkä säännölliset monikulmut on mahdollista rakentaa viivaimen ja kompassin avulla, koska joillakin ei ole tarkkaa euklidista rakennetta.

Heptadekagonin ominaisuudet

Mitä tulee ominaisuuksiin, kuten minkä tahansa monikulmion kanssa, sen sisäisten kulmien summa on tärkeä. Säännöllisessä polygonissa, jossa on n puolta, summa lasketaan seuraavalla tavalla:

Radiaanina ilmaistuna tämä summa näyttää tältä:

Edellä esitetyistä kaavoista voidaan helposti päätellä, että heptadekagonin jokaisella sisäkulmalla on tarkka mitta α:

Tästä seuraa, että sisäinen kulma on karkeasti:

Diagonaalit ja kehä

Diagonaalit ja kehä ovat muut tärkeät näkökohdat. Missä tahansa polygonissa diagonaalien lukumäärä on:

D = n (n - 3) / 2 ja heptadekagonin tapauksessa, kuten n = 17, meillä on silloin D = 119 diagonaalia.

Toisaalta, jos heptadekagonin kummankin sivun pituus tunnetaan, tavallisen heptadecagonin kehä saadaan yksinkertaisesti lisäämällä 17-kertainen pituus tai mikä vastaa 17-kertaista kummankin sivun pituutta d:

P = 17 d

Heptadekagonin kehä

Joskus vain heptadekagonin säde r tunnetaan, joten on tarpeen kehittää kaava tälle tapaukselle.

Tätä varten otetaan käyttöön apoteemin käsite. Apoteemi on segmentti, joka kulkee säännöllisen monikulmion keskustasta yhden sivun keskipisteeseen. Yhden sivun apoteemi on kohtisuora kyseiseen puoleen nähden (katso kuva 2).

Kuva 2. Säännöllisen monikulmion osat, joiden säde on r, ja sen apoteemi esitetään. (Oma suunnittelu)

Lisäksi apoteemi on kulman puolija, jonka keskipisteet ja sivut ovat monikulmion kahdessa peräkkäisessä kärjessä, tämä sallii suhteen löytämisen säteen r ja sivun d välillä.

Jos keskikulma DOE on nimeltään β ja ottaen huomioon, että apoteeminen OJ on puolittaja, meillä on EJ = d / 2 = r Sen (β / 2), josta meillä on suhde löytääksesi monikulmion sivun pituus d tunnettu sen säde r ja keskikulma β:

d = 2 r Sen (β / 2)

Heptadekagonin β = 360º / 17 tapauksessa meillä on:

d = 2 r Sen (180º / 17) ≈ 0,3675 r

Lopuksi saadaan kaava heptadekagonin kehälle, tunnettu sen säde:

P = 34 r Sen (180º / 17) ≈ 6,2475 r

Heptadekagonin kehä on lähellä sitä ympäröivän kehän kehää, mutta sen arvo on pienempi, ts. Piirretyn ympyrän kehä on Pcir = 2π r ≈ 6,2832 r.

alue

Heptadekagonin alueen määrittämiseksi viitataan kuvioon 2, joka näyttää säännöllisen monikulmion sivut ja apoteemin, jolla on n puolta. Tässä kuviossa kolmion EOD pinta-ala on yhtä suuri kuin kanta d (monikulmion sivu) ja korkeus a (monikulmion apoteemi) jaettuna 2: lla:

EOD-alue = (dxa) / 2

Joten, tietäen heptadekagonin apoteemin a ja saman sivun d, sen ala on:

Kuusikulmion pinta-ala = (17/2) (dxa)

Pinta-ala sivulle

Jotta voidaan saada kaava heptakadjagonin alueelle, joka tietää sen seitsemäntoista sivun pituuden, on välttämätöntä saada suhde apoteemin a pituuden ja sivun d välille.

Kuvioon 2 viitaten saadaan seuraava trigonometrinen suhde:

Tan (β / 2) = EJ / OJ = (d / 2) / a, missä β on keskikulma DOE. Joten apoteemi a voidaan laskea, jos monikulmion sivun pituus d ja keskikulma β tunnetaan:

a = (d / 2) Cotan (β / 2)

Jos tämä lauseke korvataan nyt apoteemilla, edellisessä osassa saadussa heptadekagonin alueen kaavassa meillä on:

Heptadekagonin pinta-ala = (17/4) (d ²) Cotan (β / 2)

Koska heptadekagonilla on β = 360º / 17, niin meillä on vihdoin haluttu kaava:

Heptadekagonin pinta-ala = (17/4) (d ²) Cotan (180º / 17)

Pinta-ala säteen perusteella

Aikaisemmissa osioissa oli löydetty yhteys säännöllisen monikulmion sivun d ja säteen r välillä, tämä suhde on seuraava:

d = 2 r Sen (β / 2)

Tämä lauseke d: lle lisätään lausekkeeseen, joka saatiin edellisestä osasta kyseistä aluetta varten. Jos vastaavat korvaukset ja yksinkertaistukset tehdään, saadaan kaava, jonka avulla voidaan laskea heptadekagonin pinta-ala:

Heptadekagonin pinta-ala = (17/2) (r ²) Sen (β) = (17/2) (r ²) Sen (360º / 17)

Arvioitu lauseke alueelle on:

Heptadekagonin pinta-ala = 3,0706 (r ²)

Kuten odotettua, tämä alue on hieman pienempi kuin pinta-ala ympyrästä heptadecagon _pi = π r ² ≈ 3,1416 r ². Tarkemmin sanottuna se on 2% pienempi kuin sen ympäröimä ympyrä.

esimerkit

Esimerkki 1

Kysymykseen vastaamiseksi on muistettava normaalin n-puolisen monikulmion sivun ja säteen välinen suhde:

d = 2 r Sen (180º / n)

Heptadekagonille n = 17, niin että d = 0,3675 r, ts. Heptadekagonin säde on r = 2 cm / 0,3675 = 5,4423 cm tai

10,8844 cm halkaisijaltaan.

2 cm: n sivukappaleen kehä on P = 17 * 2 cm = 34 cm.

Esimerkki 2

Meidän on viitattava edellisessä osassa esitettyyn kaavaan, jonka avulla voimme löytää heptadekagonin alueen, kun sen sivun pituus on d:

Heptadekagonin pinta-ala = (17/4) (d ²) / Tan (180º / 17)

Korvaamalla d = 2 cm edellisessä kaavassa, saadaan:

Pinta-ala = 90,94 cm

Viitteet

1. CEA (2003). Geometriaelementit: harjoituksilla ja kompassigeometrialla. Medellinin yliopisto.
2. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Matematiikka 2. Grupo Editorial Patria.
3. Freed, K. (2007). Tutustu monikulmioihin. Benchmark Education Company.
4. Hendrik, V. (2013). Yleistyneet monikulmiot. Birkhäuser.
5. Iger. (SF). Matematiikan ensimmäinen lukukausi Tacaná. Iger.
6. Jr. geometria. (2014). Polygoneja. Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heeren ja Hornsby. (2006). Matematiikka: päättely ja sovellukset (kymmenes painos). Pearson koulutus.
8. Patiño, M. (2006). Matematiikka 5. Toimitusprogreso.
9. Sada, M. 17-puolinen säännöllinen monikulmio, jossa viivain ja kompassi. Palautettu osoitteesta: geogebra.org
10. Wikipedia. Heptadecagon. Palautettu osoitteesta: es.wikipedia.com