- Esittely
- Sininen ja kosinus
- Perusidentiteetti
- Tangentin akseli
- Tangentin Pythagoralainen identiteetti
- esimerkki
- Ratkaistuja harjoituksia
- Harjoitus 1
- Harjoitus 2
- Viitteet
Pythagoralaiset identiteetit ovat kaikkia trigonometrisia yhtälöitä, jotka pitävät yllä mitä tahansa kulman arvoa ja perustuvat Pythagoran lauseeseen. Kuuluisin Pythagoralaisista identiteetteistä on perustavanlaatuinen trigonometrinen identiteetti:
Sin 2 (a) + Cos 2 (a) = 1

Kuva 1. Pythagoran trigonometriset identiteetit.
Seuraava tärkeys ja käytän tangentin ja sekantin Pythagora-identiteettiä:
Tan 2 (α) + 1 = Sec 2 (α)
Ja Pythagoran trigonometrinen identiteetti, johon liittyy kasvitti ja koosekantti:
1 + CTG 2 (α) = Csc 2 (α)
Esittely
Trigonometriset suhteet sini ja kosini esitetään yhden säteen ympyrällä (1), jota kutsutaan trigonometriseksi ympyräksi. Sanotun ympyrän keskipiste on koordinaattien O lähteessä.
Kulmat mitataan X: n positiiviselta puoliakselilta, esimerkiksi kulma a kuvassa 2 (katso alla). Vastapäivään, jos kulma on positiivinen, ja myötäpäivään, jos se on negatiivinen kulma.
Rajataan säteily, jolla on lähtökohta O ja kulma α, joka katkaisee yksikköympyrän pisteessä P. Piste P projisoidaan kohtisuoraan vaaka-akselille X, jolloin syntyy piste C. Samoin P projisoidaan kohtisuorassa pystyakselille Y antaen paikka kohtaan S.
Meillä on oikea kolmio OCP lämpötilassa C.
Sininen ja kosinus
On muistettava, että trigonometrinen suhde sini on määritelty oikeassa kolmiossa seuraavasti:
Kolmion kulman sini on kulmaa vastapäätä olevan jalan ja kolmion hypoteenuksen välinen suhde tai osamäärä.
Kuvion 2 kolmioon OCP nähtynä se näyttää tältä:
Sen (a) = CP / OP
mutta CP = OS ja OP = 1, joten:
Sen (a) = OS
Mikä tarkoittaa, että Y-akselin projektio-OS: lla on arvo, joka on yhtä suuri kuin näytetyn kulman sini. On huomattava, että kulman (+1) siniaalin enimmäisarvo tapahtuu, kun α = 90º ja pienin (-1), kun α = -90º tai α = 270º.

Kuva 2. Trigonometrinen ympyrä, joka näyttää Pythagoran lauseen ja perustason trigonometrisen identiteetin välisen suhteen. (Oma suunnittelu)
Samoin kulman kosini on kulman vieressä olevan jalan ja kolmion hypoteenuksen välinen osamäärä.
Kuvion 2 kolmioon OCP nähtynä se näyttää tältä:
Cos (a) = OC / OP
mutta OP = 1, niin että:
Cos (a) = OC
Tämä tarkoittaa, että projektiolla OC X-akselilla on arvo, joka on yhtä suuri kuin esitetyn kulman sini. On huomattava, että kosinin maksimiarvo (+1) tapahtuu, kun α = 0º tai α = 360º, kun taas kosinin minimiarvo on (-1), kun α = 180º.
Perusidentiteetti
Oikeanpuoleisessa kolmion OCP kohdalla C käytetään Pythagoran lausetta, jonka mukaan jalkojen neliön summa on yhtä suuri kuin hypoteenuksen neliö:
CP 2 + OC 2 = OP 2
Mutta on jo sanottu, että CP = OS = Sen (α), että OC = Cos (α) ja että OP = 1, joten edellinen lauseke voidaan kirjoittaa uudelleen kulman siniaalin ja kosinin funktiona:
Sin 2 (a) + Cos 2 (a) = 1
Tangentin akseli
Aivan kuten trigonometrisen ympyrän X-akseli on kosinin akseli ja Y-akseli on siniakseli, samalla tavalla on tangenttiakseli (katso kuva 3), joka on tarkalleen tangenttiviiva yksikköympyrälle pisteessä B koordinaattien (1, 0).
Jos haluat tietää kulman tangentin arvon, kulma vedetään X: n positiivisesta puoliakselista, kulman leikkaus tangentin akseliin määrittää pisteen Q, segmentin OQ pituus on kulma.
Tämä johtuu siitä, että määritelmän mukaan kulman a tangentti on vastakkaisen osan QB viereisen osan OB välillä. Eli Tan (a) = QB / OB = QB / 1 = QB.

Kuva 3. Trigonometrinen ympyrä, joka näyttää tangentin akselin ja tangentin Pythagora-identiteetin. (Oma suunnittelu)
Tangentin Pythagoralainen identiteetti
Tangentin Pythagora-identiteetti voidaan todistaa ottamalla huomioon oikea kolmio OBQ pisteessä B (kuva 3). Sovellettaessa Pythagoran lauseen tähän kolmioon meillä on, että BQ 2 + OB 2 = OQ 2. Mutta on jo sanottu, että BQ = Tan (α), että OB = 1 ja että OQ = Sec (α), joten korvaamalla Pythagoran tasa-arvo oikealla kolmion OBQ kanssa, meillä on:
Tan 2 (a) + 1 = Sec 2 (a).
esimerkki
Tarkista, täyttyvätkö Pythagora-identiteetit jalkojen oikeassa kolmiossa AB = 4 ja BC = 3.
Ratkaisu: Jalat tunnetaan, hypotenuse on määritettävä, mikä on:
AC = √ (AB ^ 2 + BC ^ 2) = √ (4 ^ 2 + 3 ^ 2) = √ (16 + 9) = √ (25) = 5.
Kulmaa ∡BAC kutsutaan α, ∡BAC = α. Nyt trigonometriset suhteet määritetään:
Sen α = BC / AC = 3/5
Cos α = AB / AC = 4/5
Joten α = BC / AB = 3/4
Cotan a = AB / BC = 4/3
Sec α = AC / AB = 5/4
Csc α = AC / BC = 5/3
Se alkaa perustavanlaatuisella trigonometrisellä identiteetillä:
Sin 2 (a) + Cos 2 (a) = 1
(3/5) ^ 2 + (4/5) ^ 2 = 9/25 + 16/25 = (9 + 16) / 25 = 25/25 = 1
Johtopäätöksenä on, että se täyttyy.
- Seuraava Pythagoralainen identiteetti on tangentti:
Tan 2 (α) + 1 = Sec 2 (α)
(3/4) ^ 2 + 1 = 9/16 + 16/16 = (9 + 16) / 16 = 25/16 = (5/4) ^ 2
Ja päätellään, että tangentin identiteetti varmennetaan.
- Samalla tavoin kuin kasvagentti:
1 + CTG 2 (α) = Csc 2 (α)
1 + (4/3) ^ 2 = 1 + 16/9 = 25/9 = (5/3) ^ 2
Johtopäätöksenä on, että se on myös toteutunut, jolla tehtävän tarkistaa annetun kolmion Pythagora-identiteetit on saatu päätökseen.
Ratkaistuja harjoituksia
Todista seuraavat identiteetit perustuen trigonometristen suhteiden ja Pythagora-identiteettien määritelmiin.
Harjoitus 1
Osoita, että Cos 2 x = (1 + Sin x) (1 - Sin x).
Ratkaisu: Oikealla puolella tunnustamme binomiaalin kertolaskun merkittävän tuloksen sen konjugaatilla, joka, kuten tiedämme, on neliöiden ero:
Cos 2 x = 1 2 - Sin 2 x
Sitten termi oikealla puolella siniaalillä siirtyy vasemmalle merkin ollessa muuttunut:
Cos 2 x + Sen 2 x = 1
Huomaa, että perustason trigonometrinen identiteetti on saavutettu, joten päätellään, että annettu lauseke on identiteetti, eli se pätee mihin tahansa x: n arvoon.
Harjoitus 2
Aloita perustason trigonometrisesta identiteetistä ja käytä trigonometristen suhteiden määritelmiä osoittaen, että liitosaine on Pythagoralainen.
Ratkaisu: Perusidentiteetti on:
Sin 2 (x) + Cos 2 (x) = 1
Molemmat jäsenet jaetaan Sen 2: lla (x) ja nimittäjä jaetaan ensimmäisessä jäsenessä:
Sin 2 (x) / Sin 2 (x) + Cos 2 (x) / Sin 2 (x) = 1 / Sin 2 (x)
Sitä on yksinkertaistettu:
1 + (Cos (x) / Sen (x)) ^ 2 = (1 / Sen (x)) ^ 2
Cos (x) / Sen (x) = Cotan (x) on (ei-Pythagoralainen) identiteetti, joka varmennetaan itse trigonometristen suhteiden määritelmällä. Sama tapahtuu seuraavan identiteetin kanssa: 1 / Sen (x) = Csc (x).
Lopuksi sinun on:
1 + CTG 2 (x) = Csc 2 (x)
Viitteet
- Baldor J. (1973). Taso- ja avaruusgeometria johdannolla trigonometriaan. Keski-Amerikan kulttuuri. AC
- CEA (2003). Geometriaelementit: harjoituksilla ja kompassigeometrialla. Medellinin yliopisto.
- Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Matematiikka 2. Grupo Editorial Patria.
- Iger. (SF). Matematiikan ensimmäinen lukukausi Tacaná. Iger.
- Jr. geometria. (2014). Polygoneja. Lulu Press, Inc.
- Miller, Heeren ja Hornsby. (2006). Matematiikka: päättely ja sovellukset (kymmenes painos). Pearson koulutus.
- Patiño, M. (2006). Matematiikka 5. Toimitusprogreso.
- Wikipedia. Trigonometriaidentiteetit ja kaavat. Palautettu osoitteesta: es.wikipedia.com
