PYTHAGORALAISET IDENTITEETIT: ESITTELY, ESIMERKKI, HARJOITUKSET - MATEMATIIKKA - 2026

Pythagoralaiset identiteetit ovat kaikkia trigonometrisia yhtälöitä, jotka pitävät yllä mitä tahansa kulman arvoa ja perustuvat Pythagoran lauseeseen. Kuuluisin Pythagoralaisista identiteetteistä on perustavanlaatuinen trigonometrinen identiteetti:

Sin ² (a) + Cos ² (a) = 1

Kuva 1. Pythagoran trigonometriset identiteetit.

Seuraava tärkeys ja käytän tangentin ja sekantin Pythagora-identiteettiä:

Tan ² (α) + 1 = Sec ² (α)

Ja Pythagoran trigonometrinen identiteetti, johon liittyy kasvitti ja koosekantti:

1 + CTG ² (α) = Csc ² (α)

Esittely

Trigonometriset suhteet sini ja kosini esitetään yhden säteen ympyrällä (1), jota kutsutaan trigonometriseksi ympyräksi. Sanotun ympyrän keskipiste on koordinaattien O lähteessä.

Kulmat mitataan X: n positiiviselta puoliakselilta, esimerkiksi kulma a kuvassa 2 (katso alla). Vastapäivään, jos kulma on positiivinen, ja myötäpäivään, jos se on negatiivinen kulma.

Rajataan säteily, jolla on lähtökohta O ja kulma α, joka katkaisee yksikköympyrän pisteessä P. Piste P projisoidaan kohtisuoraan vaaka-akselille X, jolloin syntyy piste C. Samoin P projisoidaan kohtisuorassa pystyakselille Y antaen paikka kohtaan S.

Meillä on oikea kolmio OCP lämpötilassa C.

Sininen ja kosinus

On muistettava, että trigonometrinen suhde sini on määritelty oikeassa kolmiossa seuraavasti:

Kolmion kulman sini on kulmaa vastapäätä olevan jalan ja kolmion hypoteenuksen välinen suhde tai osamäärä.

Kuvion 2 kolmioon OCP nähtynä se näyttää tältä:

Sen (a) = CP / OP

mutta CP = OS ja OP = 1, joten:

Sen (a) = OS

Mikä tarkoittaa, että Y-akselin projektio-OS: lla on arvo, joka on yhtä suuri kuin näytetyn kulman sini. On huomattava, että kulman (+1) siniaalin enimmäisarvo tapahtuu, kun α = 90º ja pienin (-1), kun α = -90º tai α = 270º.

Kuva 2. Trigonometrinen ympyrä, joka näyttää Pythagoran lauseen ja perustason trigonometrisen identiteetin välisen suhteen. (Oma suunnittelu)

Samoin kulman kosini on kulman vieressä olevan jalan ja kolmion hypoteenuksen välinen osamäärä.

Kuvion 2 kolmioon OCP nähtynä se näyttää tältä:

Cos (a) = OC / OP

mutta OP = 1, niin että:

Cos (a) = OC

Tämä tarkoittaa, että projektiolla OC X-akselilla on arvo, joka on yhtä suuri kuin esitetyn kulman sini. On huomattava, että kosinin maksimiarvo (+1) tapahtuu, kun α = 0º tai α = 360º, kun taas kosinin minimiarvo on (-1), kun α = 180º.

Perusidentiteetti

Oikeanpuoleisessa kolmion OCP kohdalla C käytetään Pythagoran lausetta, jonka mukaan jalkojen neliön summa on yhtä suuri kuin hypoteenuksen neliö:

CP ² + OC ² = OP ²

Mutta on jo sanottu, että CP = OS = Sen (α), että OC = Cos (α) ja että OP = 1, joten edellinen lauseke voidaan kirjoittaa uudelleen kulman siniaalin ja kosinin funktiona:

Sin ² (a) + Cos ² (a) = 1

Tangentin akseli

Aivan kuten trigonometrisen ympyrän X-akseli on kosinin akseli ja Y-akseli on siniakseli, samalla tavalla on tangenttiakseli (katso kuva 3), joka on tarkalleen tangenttiviiva yksikköympyrälle pisteessä B koordinaattien (1, 0).

Jos haluat tietää kulman tangentin arvon, kulma vedetään X: n positiivisesta puoliakselista, kulman leikkaus tangentin akseliin määrittää pisteen Q, segmentin OQ pituus on kulma.

Tämä johtuu siitä, että määritelmän mukaan kulman a tangentti on vastakkaisen osan QB viereisen osan OB välillä. Eli Tan (a) = QB / OB = QB / 1 = QB.

Kuva 3. Trigonometrinen ympyrä, joka näyttää tangentin akselin ja tangentin Pythagora-identiteetin. (Oma suunnittelu)

Tangentin Pythagoralainen identiteetti

Tangentin Pythagora-identiteetti voidaan todistaa ottamalla huomioon oikea kolmio OBQ pisteessä B (kuva 3). Sovellettaessa Pythagoran lauseen tähän kolmioon meillä on, että BQ ² + OB ² = OQ ². Mutta on jo sanottu, että BQ = Tan (α), että OB = 1 ja että OQ = Sec (α), joten korvaamalla Pythagoran tasa-arvo oikealla kolmion OBQ kanssa, meillä on:

Tan ² (a) + 1 = Sec ² (a).

esimerkki

Tarkista, täyttyvätkö Pythagora-identiteetit jalkojen oikeassa kolmiossa AB = 4 ja BC = 3.

Ratkaisu: Jalat tunnetaan, hypotenuse on määritettävä, mikä on:

AC = √ (AB ^ 2 + BC ^ 2) = √ (4 ^ 2 + 3 ^ 2) = √ (16 + 9) = √ (25) = 5.

Kulmaa ∡BAC kutsutaan α, ∡BAC = α. Nyt trigonometriset suhteet määritetään:

Sen α = BC / AC = 3/5

Cos α = AB / AC = 4/5

Joten α = BC / AB = 3/4

Cotan a = AB / BC = 4/3

Sec α = AC / AB = 5/4

Csc α = AC / BC = 5/3

Se alkaa perustavanlaatuisella trigonometrisellä identiteetillä:

Sin ² (a) + Cos ² (a) = 1

(3/5) ^ 2 + (4/5) ^ 2 = 9/25 + 16/25 = (9 + 16) / 25 = 25/25 = 1

Johtopäätöksenä on, että se täyttyy.

- Seuraava Pythagoralainen identiteetti on tangentti:

Tan ² (α) + 1 = Sec ² (α)

(3/4) ^ 2 + 1 = 9/16 + 16/16 = (9 + 16) / 16 = 25/16 = (5/4) ^ 2

Ja päätellään, että tangentin identiteetti varmennetaan.

- Samalla tavoin kuin kasvagentti:

1 + CTG ² (α) = Csc ² (α)

1 + (4/3) ^ 2 = 1 + 16/9 = 25/9 = (5/3) ^ 2

Johtopäätöksenä on, että se on myös toteutunut, jolla tehtävän tarkistaa annetun kolmion Pythagora-identiteetit on saatu päätökseen.

Ratkaistuja harjoituksia

Todista seuraavat identiteetit perustuen trigonometristen suhteiden ja Pythagora-identiteettien määritelmiin.

Harjoitus 1

Osoita, että Cos ² x = (1 + Sin x) (1 - Sin x).

Ratkaisu: Oikealla puolella tunnustamme binomiaalin kertolaskun merkittävän tuloksen sen konjugaatilla, joka, kuten tiedämme, on neliöiden ero:

Cos ² x = 1 ² - Sin ² x

Sitten termi oikealla puolella siniaalillä siirtyy vasemmalle merkin ollessa muuttunut:

Cos ² x + Sen ² x = 1

Huomaa, että perustason trigonometrinen identiteetti on saavutettu, joten päätellään, että annettu lauseke on identiteetti, eli se pätee mihin tahansa x: n arvoon.

Harjoitus 2

Aloita perustason trigonometrisesta identiteetistä ja käytä trigonometristen suhteiden määritelmiä osoittaen, että liitosaine on Pythagoralainen.

Ratkaisu: Perusidentiteetti on:

Sin ² (x) + Cos ² (x) = 1

Molemmat jäsenet jaetaan Sen ^{2: lla} (x) ja nimittäjä jaetaan ensimmäisessä jäsenessä:

Sin ² (x) / Sin ² (x) + Cos ² (x) / Sin ² (x) = 1 / Sin ² (x)

Sitä on yksinkertaistettu:

1 + (Cos (x) / Sen (x)) ^ 2 = (1 / Sen (x)) ^ 2

Cos (x) / Sen (x) = Cotan (x) on (ei-Pythagoralainen) identiteetti, joka varmennetaan itse trigonometristen suhteiden määritelmällä. Sama tapahtuu seuraavan identiteetin kanssa: 1 / Sen (x) = Csc (x).

Lopuksi sinun on:

1 + CTG ² (x) = Csc ² (x)

Viitteet

1. Baldor J. (1973). Taso- ja avaruusgeometria johdannolla trigonometriaan. Keski-Amerikan kulttuuri. AC
2. CEA (2003). Geometriaelementit: harjoituksilla ja kompassigeometrialla. Medellinin yliopisto.
3. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Matematiikka 2. Grupo Editorial Patria.
4. Iger. (SF). Matematiikan ensimmäinen lukukausi Tacaná. Iger.
5. Jr. geometria. (2014). Polygoneja. Lulu Press, Inc.
6. Miller, Heeren ja Hornsby. (2006). Matematiikka: päättely ja sovellukset (kymmenes painos). Pearson koulutus.
7. Patiño, M. (2006). Matematiikka 5. Toimitusprogreso.
8. Wikipedia. Trigonometriaidentiteetit ja kaavat. Palautettu osoitteesta: es.wikipedia.com