EKSPONENTTIEN LAIT (ESIMERKKEJÄ JA RATKAISTUJA TEHTÄVIÄ) - MATEMATIIKKA - 2026

Lait eksponentit ovat ne, jotka koskevat kyseiseen numeroon, joka ilmaisee, kuinka monta kertaa emäsluku on kerrottava itse. Eksponentit tunnetaan myös voimina. Voimaantuminen on matemaattinen toimenpide, jonka muodostavat kanta (a), eksponentti (m) ja teho (b), joka on operaation tulos.

Eksponentteja käytetään yleensä, kun käytetään erittäin suuria määriä, koska nämä eivät ole muuta kuin lyhenteitä, jotka edustavat saman luvun kertomista tietyn määrän kertoja. Eksponentit voivat olla sekä positiivisia että negatiivisia.

Eksponenttien lakien selitys

Kuten aiemmin todettiin, eksponentit ovat lyhennekuvamuoto, joka edustaa kertomalla numeroita itsestään useita kertoja, jolloin eksponentti liittyy vain vasemmalla olevaan numeroon. Esimerkiksi:

2 ³ = 2 * 2 * 2 = 8

Tällöin numero 2 on tehon kanta, joka kerrotaan 3 kertaa eksponentin osoittamalla, joka sijaitsee kannan oikeassa yläkulmassa. Lauseketta voidaan lukea eri tavoin: 2 korotettuna 3: ksi tai myös 2 korotettuna kuutioon.

Eksponentit osoittavat myös, kuinka monta kertaa ne voidaan jakaa, ja tämän operaation erottamiseksi kertolaskusta eksponentin edessä on miinusmerkki (-) (se on negatiivinen), mikä tarkoittaa, että eksponentti on nimittäjän jae. Esimerkiksi:

2 ^{- 4} = 1/2 * 2 * 2 * 2 = 1/16

Tätä ei pidä sekoittaa tapaukseen, jossa kanta on negatiivinen, koska sen määrittämiseksi, onko teho positiivinen vai negatiivinen, riippuu siitä, onko eksponentti parillinen vai pariton. Joten sinun on

- Jos eksponentti on tasainen, teho on positiivinen. Esimerkiksi:

(-7) ² = -7 _* -7 = 49.

- Jos eksponentti on pariton, teho on negatiivinen. Esimerkiksi:

(- 2) ⁵ = (-2) * (- 2) * (- 2) * (- 2) * (- 2) = - 32.

On erityistapaus, jossa eksponentti on yhtä suuri kuin 0, teho on yhtä suuri. On myös mahdollista, että kanta on 0; tällöin eksponentista riippuen teho on määrittelemätön tai ei.

Matemaattisten operaatioiden suorittamiseksi eksponenteilla on tarpeen noudattaa useita sääntöjä tai normeja, jotka helpottavat ratkaisun löytämistä näihin operaatioihin.

Ensimmäinen laki: eksponentin voima on yhtä suuri kuin 1

Kun eksponentti on 1, tulos on sama kannan arvo: a ¹ = a.

esimerkit

9 ¹ = 9.

22 ¹ = 22.

895 ¹ = 895.

Toinen laki: eksponentin teho on yhtä suuri kuin 0

Kun eksponentti on 0, jos kanta on nolla, tulos on: a ⁰ = 1.

esimerkit

1 ⁰ = 1.

323 ⁰ = 1.

1095 ⁰ = 1.

Kolmas laki: negatiivinen eksponentti

Koska eksponentti on negatiivinen, tulos on murto, jossa teho on nimittäjä. Esimerkiksi, jos m on positiivinen, niin a ^-m = 1 / a ^m.

esimerkit

- 3 ^-1 = 1/3.

- 6 ^-2 = 1/6 ² = 1/36.

- 8 ^-3 = 1/8 ³ = 1/512.

Neljäs laki: valtuuksien kertominen yhtä suurella pohjalla

Tehojen kertomiseksi, kun emäkset ovat yhtä suuret kuin 0 ja ne eroavat, emäs pysyy ja eksponentit lisätään: a ^m _* a ⁿ = a ^{m + n}.

esimerkit

- 4 ⁴ _* 4 ³ = 4 ^{4 + 3} = 4 ⁷

- 8 ¹ _* 8 ⁴ = 8 ^{1 + 4} = 8 ⁵

- 2 ² _* 2 ⁹ = 2 ^{2 + 9} = 2 ¹¹

Viides laki: vallanjako tasavertaisella pohjalla

Jotta voimat voidaan jakaa niin, että emäkset ovat yhtä suuria kuin 0 ja eroavat niistä, emästä pidetään ja eksponentit vähennetään seuraavasti: a ^m / a ⁿ = a ^m-n.

esimerkit

- 9 ² /9 ¹ = 9 ^(2-1) = 9 ¹.

- 6 ¹⁵ /6 ^{päivänä lokakuuta} = 6 ^(15-10) = 6 ⁵.

- 49. ^joulukuuta / 49 ⁶ = 49 ^(12-6) = 49 ⁶.

Kuudes laki: valtuuksien moninkertaistaminen erilaisilla perusteilla

Tällä lailla on päinvastainen kuin mitä neljännessä ilmaistaan; ts. jos sinulla on erilaisia ​​emäksiä, mutta samoilla eksponenteilla, emäkset kerrotaan ja eksponentti pidetään: a ^m _* b ^m = (a _* b) ^m.

esimerkit

- 10 ² _* 20 ² = (10 _* 20) ² = 200 ².

- 45 ¹¹ _* 9 ¹¹ = (45 * 9) ^{11 =} 405 ¹¹.

Toinen tapa edustaa tätä lakia on, kun kertolasku nostetaan valtaan. Siten eksponentti kuuluu jokaiseen termiin: (a _* b) ^m = a ^m _* b ^m.

esimerkit

- (5 _* 8) ⁴ = 5 ⁴ _* 8 ⁴ = 40 ⁴.

- (23 * 7) ⁶ = 23 ⁶ _* 7 ⁶ = 161 ⁶.

Seitsemäs laki: vallanjako erilaisella pohjalla

Jos sinulla on erilaisia ​​emäksiä, mutta samoilla eksponenteillä, jaa emäkset ja pidä eksponentti: a ^m / b ^m = (a / b) ^m.

esimerkit

- 30 ³ /2 ³ = (2/30) ³ = 15 ³.

- 440 ⁴ /80 ⁴ = (440/80) ⁴ = 5,5 ⁴.

Samoin, kun jako nostetaan voimaksi, eksponentti kuuluu kumpaankin termiin: (a / b) ^m = a ^m / b ^m.

esimerkit

- (8/4) ⁸ = 8 ⁸ /4 ⁸ = 2 ⁸.

- (25/5) ² = 25 ² /5 ² = 5 ².

Eräässä tapauksessa eksponentti on negatiivinen. Sitten, positiiviseksi, osoittimen arvo käännetään nimittäjän arvoon seuraavasti:

- (a / b) ^-n = (b / a) ⁿ = b ⁿ / a ⁿ.

- (4/5) ^-9 = (5/4) ⁹ = 5 ⁹ /4 ⁴.

Kahdeksas laki: vallan voima

Kun sinulla on teho, joka nostetaan toiseen voimaan - eli kahteen eksponenttiin samanaikaisesti -, pohja ylläpidetään ja eksponentit kerrotaan: (a ^m) ⁿ = a ^{m * n}.

esimerkit

- (8 ³) ² = 8 ^{(3 * 2)} = 8 ⁶.

- (13 ⁹) ³ = 13 ^{(9 * 3)} = 13 ²⁷.

- (238 ¹⁰) ¹² = 238 ^{(10 * 12)} = 238 ¹²⁰.

Yhdeksäs laki: murto-osa

Jos voimalla on murto-osa eksponendina, tämä ratkaistaan ​​muuttamalla se n: nneksi juureksi, jossa osoittaja pysyy eksponendina ja nimittäjä edustaa juuren indeksiä:

esimerkki

Ratkaistuja harjoituksia

Harjoitus 1

Laske operaatiot sellaisten voimien välillä, joilla on erilaiset emäkset:

2 ⁴ _* 4 ⁴ /8 ².

Ratkaisu

Eksponenttien sääntöjä soveltaen, emäkset kerrotaan osoittimessa ja eksponentti ylläpidetään seuraavasti:

2 ⁴ _* 4 ⁴ /8 ² = (2 _* 4) ⁴ /8 ² = 8 ⁴ /8 ²

Nyt, koska meillä on samat emäkset, mutta eri eksponenteilla, emäs pidetään ja eksponentit vähennetään:

8 ⁴ /8 ² = 8 ^(4-2) = 8 ²

Harjoitus 2

Laske toiseen valtaan nostettujen voimien väliset toimenpiteet:

(3 ²) ³ _* (2 _* 6 ⁵) ^-2 _* (2 ²) ³

Ratkaisu

Lakeja noudattaen sinun on:

(3 ²) ³ _* (2 _* 6 ⁵) ^-2 _* (2 ²) ³

= 3 ⁶ _* 2 ^-2 _* 2 ^-10 _* 2 ⁶

= 3 ⁶ _* 2 ^{(-2) + (- 10)} _* 2 ⁶

= 3 ⁶ _* 2 - ¹² _* 2 ⁶

= 3 ⁶ _* 2 ^{(-12) + (6)}

= 3 ⁶ _* 2 ⁶

= (3 _* 2) ⁶

= 6 ⁶

= 46 656

Viitteet

1. Aponte, G. (1998). Matematiikan perusteet. Pearson koulutus.
2. Corbalán, F. (1997). Matematiikka soveltuu jokapäiväiseen elämään.
3. Jiménez, JR (2009). Matematiikka 1 syyskuu.
4. Max Peters, WL (1972). Algebra ja trigonometria.
5. Rees, PK (1986). Reverte.