BOOLEN ALGEBRA: HISTORIA, LAUSEET JA POSTULAATIT, ESIMERKIT - MATEMATIIKKA - 2026

Boolen algebran tai Boolen algebran on Algebrallisesti käytetään hoitoon binary muuttujia. Se kattaa kaikkien muuttujien tutkimukset, joilla on vain kaksi mahdollista tulosta, täydentäviä ja toisiaan poissulkevia. Esimerkiksi muuttujat, joiden ainoa mahdollisuus on totta tai vääriä, oikeita tai vääriä, päällä tai pois, ovat perustana Boolen algebran tutkimukselle.

Boolen algebra on digitaalisen elektroniikan perusta, minkä vuoksi se on melko läsnä nykyään. Sitä ohjaa logiikkaporttien käsite, jossa perinteisen algebran tunnetut toiminnot vaikuttavat huomattavasti.

Lähde: pexels.com

Historia

Boolen algebran esitteli vuonna 1854 englantilainen matemaatikko George Boole (1815 - 1864), joka oli tuolloin itseoppinut tutkija. Hänen huolensa heräsi Augustus De Morganin ja William Hamiltonin välillä käydystä kiistasta parametreista, jotka määrittelevät tämän loogisen järjestelmän.

George Boole väitti, että numeeristen arvojen 0 ja 1 määritelmä vastaa logiikan kentässä tulkintaa Ei mitään ja Universumi.

George Boolen tarkoituksena oli määritellä algebran ominaisuuksien avulla ehdotuslogiikan lausekkeet, jotka ovat tarpeen binaarityyppisten muuttujien käsittelemiseksi.

Vuonna 1854 Boolen algebran merkittävimmät kohdat julkaistiin kirjassa "Tutkimus ajattelulaista, joihin logiikan ja todennäköisyyden matemaattiset teoriat perustuvat".

Tämä utelias otsikko tiivistetään myöhemmin nimellä "Lain ajattelu" ("Lain ajatusta"). Otsikko nousi kuuluisuuteen johtuen välittömästä huomiosta, jonka se sai tuolloin matemaattiselta yhteisöltä.

Vuonna 1948 Claude Shannon sovelsi sitä bistabiilien sähkökytkentäpiirien suunnitteluun. Tämä toimi johdannona Boolen algebran soveltamiseen koko elektronisen ja digitaalisen järjestelmän sisällä.

Rakenne

Tämän tyyppisen algebran perusarvot ovat 0 ja 1, jotka vastaavat FALSE ja TRUE vastaavasti. Boolen algebran perustoiminnot ovat 3:

- JA toiminta tai yhdistäminen. Edustettu ajanjaksolla (.). Tuotteen synonyymi.

- TAI toiminta tai erottaminen. Esitetään ristillä (+). Summan synonyymi.

- EI toimi tai kieltäytyä. Edustetaan etuliitteellä EI (EI A). Se tunnetaan myös täydentäjänä.

Jos joukossa A2 määritellään sisäisen koostumuksen lait, merkitään tuotteeksi ja summaksi (. +), Kolminkertaiseksi (A. +) sanotaan olevan Boolen algebra vain silloin, kun mainittu kolmio täyttää hilan olon edellytyksen. jakelu.

Hajautushilan määrittelemiseksi jakeluedellytysten on täytyttävä annettujen toimintojen välillä:

. on jakautuva summan + a suhteen. (b + c) = (a. b) + (a. c)

+ on jakelu tuotteeseen nähden. a + (b. c) = (a + b). (a + c)

Elementit, jotka muodostavat joukon A, on oltava binaarisia, joten niillä on universumin tai tyhjiä arvoja.

Sovellukset

Sen tärkein sovellusskenaario on digitaalinen haara, jossa se toimii piirien rakenteessa, jotka muodostavat mukana olevat loogiset operaatiot. Piirien yksinkertaisuuden tekniikka prosessien optimoinnin kannalta on Boolean-algebran oikean soveltamisen ja käytännön tulosta.

Sähköpaneelien suunnittelusta, tiedonsiirron läpi, saakka eri kielillä olevaan ohjelmointiin saakka, löydämme Boolen algebraa usein kaikenlaisista digitaalisista sovelluksista.

Boolen muuttujat ovat hyvin yleisiä ohjelmoinnin rakenteessa. Käytetystä ohjelmointikielestä riippuen koodissa on rakenteellisia toimintoja, jotka käyttävät näitä muuttujia. Kunkin kielen ehdot ja argumentit sallivat Boolen muuttujat prosessien määrittelemiseksi.

postulaatit

On lauseita, jotka ohjaavat Boolen algebran rakenneloogisia lakeja. Samalla tavalla on postulaatteja, jotka tietävät mahdolliset tulokset binaarimuuttujien eri yhdistelmissä suoritetusta operaatiosta riippuen.

Summa (+)

TAI- operaattori, jonka looginen elementti on unioni (U), määritetään binaarimuuttujille seuraavasti:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 1

Tuote (.)

AND- operaattori, jonka looginen elementti on risteys (∩), määritetään binaarimuuttujille seuraavasti:

0. 0 = 0

0. 1 = 0

yksi. 0 = 0

yksi. 1 = 1

Vastapäätä (EI)

NOT- operaattori, jonka looginen elementti on komplementti (X) ', määritetään binaarimuuttujille seuraavasti:

EI 0 = 1

EI 1 = 0

Monet postulaatit eroavat vastaavista tavanomaisessa algebrassa. Tämä johtuu muuttujien alueesta. Esimerkiksi universumi-elementtien lisääminen Boolen algebraan (1 + 1) ei voi antaa tavanomaista tulosta 2, koska se ei kuulu binaarijoukon elementteihin.

lauseet

Sääntö nollasta ja yhtenäisyydestä

Jokainen yksinkertainen toimenpide, johon liittyy elementti, jossa on binäärimuuttujat, määritellään:

0 + A = A

1 + A = 1

0. A = 0

yksi. A = A

Yhtä voimat tai idempotenssi

Tasaisten muuttujien väliset operaatiot määritellään seuraavasti:

A + A = A

TO. A = A

komplementaation

Kaikki muuttujan ja sen komplementin välinen toiminta määritellään seuraavasti:

A + EI A = 1

TO. EI A = 0

Involuutio tai kaksinkertainen kieltäytyminen

Kaikkia kaksinkertaisia ​​kieltäytymisiä pidetään luonnollisina muuttujina.

EI (EI A) = A

commutative

A + B = B + A; Summan kommutatiivisuus.

TO. B = B. TO; Tuotteen kommutatiivisuus.

assosiatiiviset

A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C; Summan assosiatiivisuus.

TO. (B. C) = (A. B). C = A. B. C; Tuote-assosiatiivisuus.

Jakelupaneelit

A + (B. C) = (A + B). (A + C); Summan jakautuvuus tuotteeseen nähden.

TO. (B + C) = (A. B) + (A + C); Tuotteen jakautuvuus summaan nähden.

Imeytymislakit

Useiden viitteiden joukossa on monia absorptiolakeja, joista tunnetuimpia ovat:

TO. (A + B) = A

TO. (EI A + B) = A. B

EI A (A + B) = EI A. B

(A + B). (A + EI B) = A

A + A. B = A

A + EI A. B = A + B

EI A + A. B = EI A + B

TO. B + A. EI B = A

Morganin lause

Ne ovat muunnoslakeja, jotka käsittelevät muuttujaparia, jotka ovat vuorovaikutuksessa Boolean-algebran (+.) Määriteltyjen toimintojen välillä.

EI (A. B) = EI A + EI B

EI (A + B) = EI A. EI B

A + B = EI (EI A + EI B)

TO. B = EI (EI A. EI EI)

kaksinaisuus

Kaikilla postulaateilla ja lauseilla on kaksinaisuuden ominaisuus. Tämä tarkoittaa, että vaihtamalla muuttujat ja operaatiot tuloksena oleva väite varmennetaan. Eli kun vaihdetaan 0 arvoksi 1 ja AND arvoksi OR tai päinvastoin; luodaan lause, joka on myös täysin kelvollinen.

Esimerkiksi jos postulaatti otetaan

yksi. 0 = 0

Ja kaksinaisuutta sovelletaan

0 + 1 = 1

Saadaan toinen täysin pätevä postulaatti.

Karnaugh kartta

Karnaugh-kartta on diagrammi, jota käytetään Boolen algebrassa loogisten toimintojen yksinkertaistamiseksi. Se koostuu kaksiulotteisesta järjestelystä, joka on samanlainen kuin ehdotuslogiikan totuustaulukoita. Totuustaulukoiden tiedot voidaan tallentaa suoraan Karnaugh-karttaan.

Karnaugh-kartta mahtuu jopa 6 muuttujan prosesseihin. Jos toiminnot sisältävät enemmän muuttujia, suositellaan ohjelmiston käyttöä prosessin yksinkertaistamiseksi.

Maurice Karnaugh ehdotti vuonna 1953, että se perustettiin kiinteäksi työkaluksi Boolen algebran kentälle, koska sen toteutus synkronoi inhimilliset potentiaalit tarpeeseen yksinkertaistaa Boolean-lausekkeita, mikä on avaintekijä digitaalisten prosessien sujuvuudessa.

esimerkit

Boolen algebraa käytetään vähentämään piirin logiikkaportteja, jolloin prioriteettina on saada piirin monimutkaisuus tai taso alimpaan mahdolliseen ilmaisuun. Tämä johtuu laskennallisesta viiveestä, jonka jokainen portti olettaa.

Seuraavassa esimerkissä tarkkaillaan loogisen lausekkeen yksinkertaistamista minimiarvoonsa käyttämällä Boolen algebran lauseita ja postulaatteja.

EI (AB + A + B). EI (A + EI B)

EI. EI (A + EI B); Faktorointi A, jolla on yhteinen tekijä.

EI. EI (A + EI B); Lauseella A + 1 = 1.

EI (A + B). EI (A + EI B); kirjoittanut lause A. 1 = A

(EI A. EI B).;

Morganin lauseen mukaan EI (A + B) = EI A. EI B

(EI A. EI B). (EI A. B); Kaksoisnegaatiolauseella EI (EI A) = A

EI A. EI B. EI A. B; Algebrallinen ryhmittely.

EI A. EI A. EI B. B; Tuotteen A kommutatiivisuus B = B. TO

EI A. EI B. B; Kirjoittanut lause A. A = A

EI A. 0; Kirjoittanut lause A. EI A = 0

0; Kirjoittanut lause A. 0 = 0

TO. B. C + EI A + A. EI B. C

TO. C. (B + EI B) + EI A; Kertoimet (A. C) yhteisellä tekijällä.

TO. C. (1) + EI A; Lauseella A + EI A = 1

TO. C + EI A; Lauseen ja yhtenäisyyden säännön mukaan 1. A = A

EI A + C; Morganin A + EI A laki. B = A + B

Tätä ratkaisua varten Morganin lakia on laajennettava määrittelemään:

EI (EI A). C + EI A = EI A + C

Koska EI (EI A) = A tahdosta.

Yksinkertaista logiikkatoimintoa

EI A. EI B. EI C + EI A. EI B. C + EI A. EI C pienennettynä

EI A. EI B. (EI C + C) + EI A. EI C; Kertoimet (EI A. EI B) yhteisellä kertoimella

EI A. EI B. (1) + EI A. EI C; Lauseella A + EI A = 1

(EI A. EI B) + (EI A. EI C); Lauseen ja yhtenäisyyden säännön mukaan 1. A = A

EI A (EI B + EI C); Faktorointi EI A, jolla on yhteinen tekijä

EI A. EI (B. C); Morganin lakien mukaan EI (A. B) = EI A + EI B

EI Morganin lakien mukaan EI (A. B) = EI A + EI B

Mikä tahansa 4 lihavoidusta vaihtoehdosta edustaa mahdollista ratkaisua piirin tason alentamiseksi

Yksinkertaista looginen toiminto yksinkertaisimpaan muotoonsa

(A. EI B. C + A. EI B. B. D + EI A. EI B). C

(A. EI B. C + A. 0. D + EI A. EI B). C; Kirjoittanut lause A. EI A = 0

(A. EI B. C + 0 + EI A. EI B). C; Kirjoittanut lause A. 0 = 0

(A. EI B. C + EI A. EI B). C; Lauseella A + 0 = A

TO. EI B. C. C + EI A. EI B. C; Tuotteen jakautuvuus summaan nähden

TO. EI B. C + EI A. EI B. C; Kirjoittanut lause A. A = A

EI B. C (A + EI A) ; Faktorointi (EI B. C) yhteisellä kertoimella

EI B. C (1); Lauseella A + EI A = 1

EI B. C; Lauseen ja yhtenäisyyden säännön mukaan 1. A = A

Viitteet

1. Boolen algebra ja sen sovellukset J. Eldon Whitesitt. Continental Publishing Company, 1980.
2. Matematiikka ja tekniikka tietotekniikassa. Christopher J. Van Wyk. Tietojenkäsittelytieteen ja tekniikan instituutti. Kansallinen standarditoimisto. Washington, DC 20234
3. Tietotekniikan matematiikka. Eric Lehman. Google Inc.

   F Thomson Leighton, matematiikan laitos ja tietotekniikan ja AI-laboratorio, Massachussetts Institute of Technology; Akamai Technologies.

4. Abstraktin analyysin elementit. Mícheál O'Searcoid PhD. Matematiikan laitos. Yliopiston korkeakoulu, Beldfield, Dublind.
5. Johdatus logiikkaan ja johdattavien tieteiden metodologiaan. Alfred Tarski, New York Oxford. Oxford University lehdistö.