VEKTORIALGEBRA: PERUSTEET, SUURUUDET, VEKTORIT - MATEMATIIKKA

Vektorialgebran on matematiikan joka tutkii lineaarisia yhtälöitä, vektorit, matriisit, vektori tilat ja lineaarisia muutoksia. Se liittyy muun muassa tekniikkaan, differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseen, toimintaanalyysiin, operatiiviseen tutkimukseen, tietokonegrafiikkaan.

Toinen alue, jonka lineaarinen algebra on omaksunut, on fysiikka, koska sen kautta on ollut mahdollista kehittää fysikaalisten ilmiöiden tutkimusta kuvaamalla niitä vektorien avulla. Tämä on mahdollistanut maailmankaikkeuden ymmärtämisen paremmin.

perusteet

Vektorialgebra on peräisin kvaternerioiden (reaalilukujen laajennus) 1, i, j ja k tutkimuksesta, samoin kuin Cartesian geometriasta, jota Gibbs ja Heaviside ovat edistäneet. He ymmärsivät, että vektorit toimisivat välineenä edustavat erilaisia fyysisiä ilmiöitä.

Vektorialgebraa tutkitaan kolmella perusteella:

geometrisesti

Vektorit esitetään viivoilla, joilla on suunta, ja toiminnot, kuten summaaminen, vähentäminen ja kertoaminen reaalilukuilla, määritetään geometrisillä menetelmillä.

analyyttisesti

Vektorien ja niiden toimintojen kuvaus tehdään numeroilla, joita kutsutaan komponenteiksi. Tämäntyyppinen kuvaus on geometrisen esityksen tulos, koska käytetään koordinaattijärjestelmää.

aksiomaattisesti

Vektorit kuvataan, riippumatta koordinaattijärjestelmästä tai mistä tahansa geometrisen esityksen tyypistä.

Avaruushahmojen tutkimus tehdään niiden esittämisen avulla referenssijärjestelmässä, joka voi olla yhdessä tai useammassa ulottuvuudessa. Tärkeimpiä järjestelmiä ovat:

- Yksiulotteinen järjestelmä, joka on linja, jossa piste (O) edustaa alkuperää ja toinen piste (P) määrittää asteikon (pituuden) ja sen suunnan:

- suorakulmainen koordinaattijärjestelmä (kaksiulotteinen), joka koostuu kahdesta kohtisuorasta linjasta, joita kutsutaan x-akseliksi ja y-akseliksi ja jotka kulkevat pisteen (O) lähtökohdan läpi; tällä tavalla kone on jaettu neljään alueeseen, joita kutsutaan kvadranteiksi. Tässä tapauksessa piste (P) tasossa annetaan akselien ja P: n välisillä etäisyyksillä.

- Polaarinen koordinaattijärjestelmä (kaksiulotteinen). Tässä tapauksessa järjestelmä koostuu pisteestä O (lähtökohta), jota kutsutaan napaksi, ja sädestä, jonka lähtökohta on O: ssa, nimeltään napa-akseliksi. Tässä tapauksessa tason piste P, suhteessa napaan ja napa-akseliin, annetaan kulmalla (Ɵ), joka muodostuu lähtöpisteen ja pisteen P välisestä etäisyydestä.

- Suorakulmainen kolmiulotteinen järjestelmä, joka muodostuu kolmesta kohtisuorasta viivalta (x, y, z), joiden lähtökohta on piste O avaruudessa. Muodostetaan kolme koordinaattitasoa: xy, xz ja yz; tila jaetaan kahdeksaan alueeseen, joita kutsutaan oktanteiksi. Pisteen P viite avaruudessa annetaan tasojen ja P: n välisillä etäisyyksillä.

suuruudet

Suuruus on fyysinen määrä, joka voidaan laskea tai mitata numeerisen arvon avulla, kuten joidenkin fysikaalisten ilmiöiden tapauksessa; monta kertaa on kuitenkin välttämätöntä kuvata nämä ilmiöt muilla tekijöillä kuin numeerisilla tekijöillä. Siksi magnitudit luokitellaan kahteen tyyppiin:

Skaalaarinen suuruus

Ne ovat määriä, jotka on määritelty ja esitetty numeerisesti; toisin sanoen moduulilla yhdessä mittayksikön kanssa. Esimerkiksi:

a) Aika: 5 sekuntia.

b) massa: 10 kg.

c) Tilavuus: 40 ml.

d) Lämpötila: 40 ºC.

Vektorin suuruus

Ne ovat määriä, jotka määrittelee ja edustaa moduuli yhdessä yksikön kanssa, samoin kuin miele ja suunta. Esimerkiksi:

a) Nopeus: (5-3-3) m / s.

b) kiihtyvyys: 13 m / s ²; S 45º E.

c) Voima: 280 N, 120 °.

d) Paino: -40 ĵ kg-f.

Vektorimäärät esitetään graafisesti vektorien avulla.

Mitä vektorit ovat?

Vektorit ovat vektorimäärän graafisia esityksiä; toisin sanoen ne ovat rivisegmenttejä, joissa niiden lopullinen pää on nuolen kärki.

Nämä määräytyvät sen moduulin tai segmentin pituuden perusteella, sen suunta, jota osoittaa nuolen kärki, ja suunta sen linjan mukaan, johon se kuuluu. Vektorin alkuperä tunnetaan myös käyttökohtana.

Vektorin elementit ovat seuraavat:

Moduuli

Se on etäisyys vektorin alkuperästä loppuun, jota edustaa reaaliluku yhdessä yksikön kanssa. Esimerkiksi:

-OM- = -A- = A = 6 cm

Osoite

Se on kulman mitta, joka on x-akselin (positiivisesta) ja vektorin välillä, samoin kuin kardinaalipisteiden (pohjoinen, etelä, itä ja länsi) välillä.

tunne

Sen antaa vektorin lopussa oleva nuolenpää osoittaen mihin se menee.

Vektoreiden luokittelu

Yleensä vektorit luokitellaan:

Kiinteä vektori

Se on sellainen, jonka käyttökohta (lähtökohta) on kiinteä; eli se pysyy kytkettynä avaruuspisteeseen, joten se ei voi liikkua siinä.

Vapaa vektori

Se voi liikkua vapaasti avaruudessa, koska sen lähtö siirtyy mihin tahansa kohtaan muuttamatta moduulia, suuntaa tai suuntaa.

Liukusäädin vektori

Se voi siirtää alkuperänsä toimintalinjaa muuttamatta moduulia, suuntaa tai suuntaa.

Vektorien ominaisuudet

Vektoreiden pääominaisuuksista ovat seuraavat:

Vektorien tiimikokoelmat

Ne ovat vapaita vektoreita, joilla on sama moduuli, suunta (tai ne ovat yhdensuuntaisia) ja merkitys kuin liukuvalla vektorilla tai kiinteällä vektorilla.

Vastaavat vektorit

Se tapahtuu, kun kahdella vektorilla on sama suunta (tai ovat samansuuntaiset), sama tarkoitus, ja huolimatta siitä, että niillä on erilaisia moduuleja ja sovelluskohtia, ne aiheuttavat samat vaikutukset.

Vektori-tasa-arvo

Niillä on sama moduuli, suunta ja merkitys, vaikka niiden lähtöpisteet ovat erilaiset, mikä sallii rinnakkaisvektorin kääntää itsensä vaikuttamatta siihen.

Vastakkaiset vektorit

Heillä on sama moduuli ja suunta, mutta niiden merkitys on päinvastainen.

Yksikkövektori

Siinä moduuli on yhtä suuri kuin yksikkö (1). Tämä saadaan jakamalla vektori sen moduulilla, ja sitä käytetään vektorin suunnan ja tunteen määrittämiseen joko tasossa tai avaruudessa käyttämällä perus- tai normalisoituja yksikkövektoreita, jotka ovat:

Nollavektori

Se on moduuli, jonka moduuli on 0; ts. sen lähtö- ja päätepisteet ovat samat.

Vektorin komponentit

Vektorin komponentit ovat vektorin projektioiden arvoja referenssijärjestelmän akseleilla; Riippuen vektorin hajoamisesta, joka voi olla kahdella tai kolmiulotteisella akselilla, saadaan vastaavasti kaksi tai kolme komponenttia.

Vektorin komponentit ovat reaalilukuja, jotka voivat olla positiivisia, negatiivisia tai jopa nollia (0).

Siten, jos meillä on vektori Ā, jonka lähtökohtana on suorakulmainen koordinaattijärjestelmä xy-tasolla (kaksiulotteinen), projektio x-akselilla on Āx ja projektio y-akselilla on Āy. Siten vektori ilmaistaan sen komponenttivektorien summana.

esimerkit

Ensimmäinen esimerkki

Meillä on vektori Â, joka alkaa alkuperästä ja sen päiden koordinaatit annetaan. Siten vektori A = (Ā _x, A _y) = (4, 5) cm.

Jos vektori Â toimii kolmiulotteisen kolmion koordinaattijärjestelmän (avaruudessa) lähteessä (avaruudessa) toiseen pisteeseen (P) saakka, sen akselien projektiot ovat Āx, Āy ja Āz; siten vektori ilmaistaan sen kolmen komponenttivektorin summana.

Toinen esimerkki

Meillä on vektori Â, joka alkaa alkuperästä ja sen päiden koordinaatit annetaan. Siten vektori A = (A _x A _y, _z) = (4, 6, -3) cm.

Vektorit, joilla on suorakulmaiset koordinaatit, voidaan ilmaista niiden perusvektoreina. Sitä varten kukin koordinaatti on kerrottava vain vastaavalla yksikkövektorillaan siten, että tasolle ja avaruudelle ne ovat seuraavat:

Tasoon: Ā = A _x i + A _y j.

Tila: Â = A _x i + A _y j + A _z k.

Vektoritoiminnot

On monia määriä, joilla on moduuli, aisti ja suunta, kuten kiihtyvyys, nopeus, siirtymä, voima muun muassa.

Niitä käytetään useilla tieteen aloilla, ja niiden soveltamiseksi on joissain tapauksissa välttämätöntä suorittaa operaatioita, kuten vektoreiden ja skalaarien summaaminen, vähentäminen, kertolasku ja jakaminen.

vektorien summaus ja vähennys

Vektorien lisäämistä ja vähentämistä pidetään yhtenä algebrallisena operaationa, koska vähennys voidaan kirjoittaa summana; Esimerkiksi vektoreiden Ā ja Ē vähentäminen voidaan ilmaista:

Ā - Ē = Ā + (-Ē)

Vektoreiden summaamisen ja vähentämisen suorittamiseen on olemassa erilaisia menetelmiä: ne voivat olla graafisia tai analyyttisiä.

Graafiset menetelmät

Käytetään, kun vektorilla on moduuli, suunta ja suunta. Tätä varten piirretään viivat, jotka muodostavat kuvan, joka myöhemmin auttaa määrittämään tuloksen. Tunnetuimpia ovat seuraavat:

Parallelogram-menetelmä

Kahden vektorin summaamiseksi tai vähentämiseksi koordinaattiakselille valitaan yhteinen piste, joka edustaa vektorien lähtöpistettä, pitäen sen moduuli, suunta ja suunta.

Sitten viivat vedetään vektorien suuntaisesti suuntakuvan muodostamiseksi. Tulokseksi saatu vektori on diagonaali, joka kulkee molempien vektorien lähtöpisteestä rinnan suuntaan:

Kolmion menetelmä

Tässä menetelmässä vektorit sijoitetaan peräkkäin pitäen moduulit, suunnat ja suunnat. Tuloksena oleva vektori on ensimmäisen vektorin alkuperän liitto toisen vektorin lopun kanssa:

analyyttiset metodit

Kaksi tai useampia vektoreita voidaan lisätä tai vähentää geometrisella tai vektorimenetelmällä:

Geometrinen menetelmä

Kun kaksi vektoria muodostavat kolmion tai suuntakuvan, m).push ({});

- Skalaarijakaumaominaisuus: jos vektori kerrotaan kahden skalaarin summalla, se on yhtä suuri kuin vektorin kertolasku jokaiselle skalaarille.

Vektorien kertolasku

Vektoreiden kertolasku tai tulo voitaisiin tehdä lisäämällä tai vähentämällä, mutta tekemällä niin, se menettää fyysisen merkityksen, eikä sitä milloinkaan löydy sovelluksista. Tästä syystä yleisimmin käytettyjä tuotetyyppejä ovat skalaari- ja vektorituotteet.

Skaalaarinen tuote

Se tunnetaan myös kahden vektorin pistetuotteena. Kun kahden vektorin moduulit kerrotaan niiden välille muodostetun pienimmän kulman kosinuksella, saadaan skalaari. Skaalaarisen tuotteen ilmaisemiseksi kahden vektorin välillä, niiden välille sijoitetaan piste, joka voidaan määritellä seuraavasti:

Kahden vektorin välisen kulman arvo riippuu siitä, ovatko ne yhdensuuntaisia vai kohtisuoraan; siis sinun on:

- Jos vektorit ovat yhdensuuntaisia ja joilla on sama tarkoitus, kosinus 0º = 1.

- Jos vektorit ovat yhdensuuntaisia ja niiden vastakkaiset suunnat ovat, kosini 180º = -1.

- Jos vektorit ovat kohtisuorassa, kosini 90º = 0.

Tämä kulma voidaan myös laskea tietäen, että:

Pistetuotteella on seuraavat ominaisuudet:

- Kommutatiivinen ominaisuus: vektorien järjestys ei muuta skalaaria.

-Jakaumainen ominaisuus: jos skalaari kerrotaan kahden vektorin summalla, se on yhtä suuri kuin kunkin vektorin skalaari.

Vektori tuote

Vektorien kertolasku tai kahden vektorin A ja B ristitulos johtaa uuteen vektoriin C, ja se ilmaistaan vektorien välistä ristiä käyttämällä:

Uudella vektorilla on omat piirteensä. Siten:

- Suunta: tämä uusi vektori on kohtisuorassa tasoon nähden, jonka alkuperäiset vektorit määrittävät.

- Suunta: tämä määritetään oikean käden säännöllä, jossa vektori A kiertyy suuntaan B osoittaen pyörimissuunnan sormilla ja vektorin suunta on merkitty peukalolla.

- Moduuli: määritetään kerrottamalla vektoreiden AxB moduulit pienimmän kulman sinillä, joka on näiden vektorien välillä. Se ilmaistaan:

Näiden kahden vektorin välisen kulman arvo riippuu siitä, ovatko ne yhdensuuntaisia vai kohtisuoraan. Joten on mahdollista todeta seuraava:

- Jos vektorit ovat yhdensuuntaisia ja joilla on sama merkitys, sini 0º = 0.

- Jos vektorit ovat yhdensuuntaisia ja päinvastaisessa suunnassa, sini 180º = 0.

- Jos vektorit ovat kohtisuorassa, sini 90º = 1.

Kun vektorituote ilmaistaan sen emävektoreina, meillä on: