TÄYDENTÄVÄT KULMAT: MITKÄ JA KUINKA NE LASKETAAN, ESIMERKKEJÄ, HARJOITUKSIA - MATEMATIIKKA - 2025

Kaksi tai useampia kulmia ovat toisiaan täydentäviä kulmia, jos niiden mittojen summa vastaa suorakulman suuruutta. Kuten tiedetään, suorakulman mitta asteina on 90º, ja radiaaneissa se on π / 2.

Esimerkiksi, oikean kolmion hypoteenuksen vieressä olevat kaksi kulmaa ovat toisiaan täydentäviä, koska niiden mittojen summa on 90º. Seuraava kuva on hyvin kuvaava tässä suhteessa:

Kuva 1. Vasemmalla, useita kulmia, joilla on yhteinen kärki. Oikealla 60º kulma, joka täydentää kulmaa α (alfa). Lähde: F. Zapata.

Kuvassa 1 on esitetty yhteensä neljä kulmaa. a ja p ovat komplementaarisia, koska ne ovat vierekkäin ja niiden summa täydentää suorakulman. Samoin β on komplementaarinen y: lle, josta seuraa, että γ ja α ovat yhtä suuret.

Nyt, koska a ja δ: n summa on yhtä suuri kuin 90 astetta, voidaan todeta, että a ja δ ovat komplementaarisia. Lisäksi, koska p ja δ ovat samat komplementaariset a, voidaan sanoa, että p ja δ ovat samat mitat.

Esimerkkejä täydentävistä kulmista

Seuraavat esimerkit pyytävät löytämään tuntemattomia kulmia, jotka on merkitty kysymysmerkeillä kuvassa 2.

Kuva 2. Eri esimerkkejä täydentävistä kulmista. Lähde: F. Zapata.

- Esimerkit A, B ja C

Seuraavat esimerkit ovat monimutkaisuusjärjestyksessä.

Esimerkki A

Yllä olevassa kuvassa meillä on, että vierekkäiset kulmat α ja 40º lisäävät suorakulmaan. Eli α + 40º = 90º, siksi α = 90º40º = 50º.

Esimerkki B

Koska β on komplementaarinen 35º kulmaan, niin β = 90º - 35º = 55º.

Esimerkki C

Kuviosta 2C meillä on, että summa γ + 15º + 15º = 90º. Toisin sanoen γ on komplementaarinen kulmaan 30º = 15º + 15º. Jotta:

γ = 90º - 30º = 60º

- Esimerkit D, E ja F

Näissä esimerkeissä on enemmän kulmia. Tuntemattomien löytämiseksi lukijan on käytettävä täydentävän kulman käsitettä niin monta kertaa kuin tarpeen.

Esimerkki D

Koska X on komplementaarinen 72 astetta, seuraa, että X = 90º - 72º = 18º. Lisäksi Y on komplementaarinen X: lle, joten Y = 90º - 18º = 72º.

Lopuksi Z täydentää Y: tä. Kaikesta edellä esitetystä seuraa, että:

Z = 90º - 72º = 18º

Esimerkki E

Kulmat δ ja 2δ ovat komplementaarisia, joten δ + 2δ = 90º.

Eli 3δ = 90º, mikä tarkoittaa, että δ = 90º / 3 = 30º.

Esimerkki F

Jos kutsumme jonon ja 10º U: n väliseen kulmaan, niin U täydentää molempia, koska havaitaan, että niiden summa täydentää suorakulman. Mistä seuraa, että U = 80º. Koska U on komplementaarinen ω: lle, niin ω = 10º.

Harjoitukset

Jäljempänä ehdotetaan kolmea harjoitusta. Kaikissa niistä on löydettävä kulmien A ja B arvo asteina, jotta kuvassa 3 esitetyt suhteet täyttyvät.

Kuva 3. Kuvia täydentävistä kulmaharjoituksista. Lähde: F. Zapata.

- Harjoitus 1

Määritä kuvan 3 kulmien A ja B arvot osasta I).

Ratkaisu

Esitetystä kuvasta voidaan nähdä, että A ja B ovat komplementaarisia, joten A + B = 90º. Korvaamme lauseen A ja B osassa I annetulla x: n funktiona):

(x / 2 + 7) + (2x + 15) = 90

Termit ryhmitetään sitten sopivasti ja saadaan yksinkertainen lineaarinen yhtälö:

(5x / 2) + 22 = 90

Vähennetään 22 molemmissa jäsenissä:

5x / 2 = 90 - 22 = 68

Ja lopuksi x: n arvo poistetaan:

x = 2 * 68/5 = 136/5

Nyt kulma A löytyy korvaamalla X: n arvo:

A = (136/5) / 2 +7 = 103/5 = 20,6 °.

Vaikka kulma B on:

B = 2 * 136/5 + 15 = 347/5 = 69,4 °.

- Harjoitus 2

Löydä kuvan II, kuvan 3 kulmien A ja B arvot.

Ratkaisu

Koska taas A ja B ovat komplementaarikulmia, meillä on: A + B = 90º. Korvaamalla kuvan 3 osassa II annettu lauseke A: lle ja B: lle x: n funktiona, meillä on:

(2x - 10) + (4x +40) = 90

Samanlaiset termit on ryhmitelty yhteen yhtälön saamiseksi:

6 x + 30 = 90

Jakamalla molemmat jäsenet 6: lla saat:

x + 5 = 15

Mistä seuraa, että x = 10º.

Täten:

A = 2 * 10-10 = 10º

B = 4 * 10 + 40 = 80 °.

- Harjoitus 3

Määritä kulmien A ja B arvot kuvan 3 osasta III).

Ratkaisu

Lukua analysoidaan jälleen huolellisesti täydentävien kulmien löytämiseksi. Tässä tapauksessa A + B = 90 astetta. Korvaamalla kuvassa annettu lauseke A: lle ja B: lle x: n funktiona, meillä on:

(-x +45) + (4x -15) = 90

3 x + 30 = 90

Jakamalla molemmat jäsenet 3: lla saadaan seuraava:

x + 10 = 30

Mistä seuraa, että x = 20º.

Toisin sanoen, kulma A = -20 +45 = 25º. Ja puolestaan: B = 4 * 20 -15 = 65º.

Kohtisuora sivukulmat

Kahdessa kulmassa sanotaan olevan kohtisuora sivu, jos kummallakin puolella on vastaava kohtisuora toisessa. Seuraava kuva selventää käsitettä:

Kuva 4. Pystysuoran sivun kulmat. Lähde: F. Zapata.

Kuviossa 4 havaitaan esimerkiksi kulmat a ja θ. Huomaa nyt, että kullakin kulmalla on vastaava kohtisuorassa toisessa kulmassa.

On myös nähtävissä, että α: lla ja θ: llä on sama komplementaarikulma z, siksi tarkkailija päättelee välittömästi, että a: lla ja θ: lla on sama mitta. Näyttää siltä, ​​että jos kahdella kulmalla on sivut kohtisuorassa toisiinsa nähden, ne ovat yhtä suuret, mutta katsotaanpa toista tapausta.

Tarkastellaan nyt kulmia α ja ω. Näillä kahdella kulmalla on myös vastaavat kohtisuorat sivut, mutta niiden ei kuitenkaan voida sanoa olevan yhtä suuret, koska toinen on akuutti ja toinen on tylppä.

Huomaa, että ω + θ = 180º. Lisäksi θ = α. Jos korvaat tämän lausekkeen z: lla ensimmäisessä yhtälössä, saat:

δ + α = 180º, missä δ ja α ovat toistensa suhteen kohtisuorat kulmat.

Perussääntö kohtisuoran sivun kulmista

1. Baldor, JA 1973. Lento- ja avaruusgeometria. Keski-Amerikan kulttuuri.
2. Matemaattiset lait ja kaavat. Kulmanmittausjärjestelmät. Palautettu osoitteesta: ingemecanica.com.
3. Wentworth, G. Lentokonegeometria. Palautettu osoitteesta: gutenberg.org.
4. Wikipedia. Täydentävät kulmat. Palautettu osoitteesta: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Kuljetin. Palautettu osoitteesta: es.wikipedia.com
6. Zapata F. Goniómetro: historia, osat, toiminta. Palautettu sivustolta: lifeder.com