KONJUGAATIN SISÄISET JA ULKOISET KULMAT: ESIMERKKEJÄ, HARJOITUKSIA - MATEMATIIKKA - 2025

Kulmat konjugaatteja ovat ne lisätään tuloksiin on 360, vaikka on mainittujen kulmien ovat vierekkäisiä tai ei. Kaksi konjugaattikulmaa on esitetty kuviossa 1, merkitty a ja p.

Tässä tapauksessa kuvilla kulmilla α ja β on yhteinen kärkipiste ja niiden sivut ovat yhteisiä, joten ne ovat vierekkäin. Heidän välinen suhde ilmaistaan ​​seuraavasti:

a + β = 360º

Kuva 1. Kaksi konjugoitua keskikulmaa, summa. Lähde: Wikimedia Commons. Koneella luettavaa kirjailijaa ei toimitettu. Thiago R Ramos oletti (tekijänoikeusvaatimusten perusteella). Se on kulmien luokittelu niiden summan perusteella. Muita tärkeitä määritelmiä ovat täydentävät kulmat, joiden summa on 90º, ja lisäkulmat, jotka ovat yhteensä 180º.

Toisaalta, tarkastelkaamme nyt kahta rinnakkaista viivaa, jotka leikkaavat sekantti, joiden järjestely on esitetty alla:

Kuva 2. Secantin leikkaamat rinnakkaisviivat. Lähde: F. Zapata.

Lineaarit MN ja PQ ovat yhdensuuntaisia, kun taas viiva RS on kulmakivi, katkaiseen suuntaukset kahdessa pisteessä. Kuten voidaan nähdä, tämä kokoonpano määrittelee 8 kulman muodostumisen, jotka on merkitty pienillä kirjaimilla.

No, alussa annetun määritelmän mukaan kulmat a, b, c ja d konjugoidaan. Ja samalla tavalla e, f, g ja h ovat, koska molemmat tapaukset ovat totta:

a + b + c + d = 360º

JA

e + f + g + h = 360º

Tätä kokoonpanoa varten kaksi kulmaa konjugoidaan, jos ne ovat samalla puolella suhteessa kiinnityslinjaan RS ja molemmat ovat sisäisiä tai ulkoisia. Ensimmäisessä tapauksessa puhumme sisäisistä konjugaattikulmista, kun taas toisessa ne ovat ulkoisia konjugaattikulmia.

esimerkit

Kuviossa 2 ulkoiset kulmat ovat niitä, jotka ovat linjojen MN ja PQ rajoittaman alueen ulkopuolella, ne ovat kulmia A, B, G ja H. Vaikka kahden viivan välissä olevat kulmat ovat C, D, E ja F.

Nyt on analysoitava, mitkä kulmat ovat vasemmalle ja mitkä oikealle puolelle.

RS: n vasemmalla puolella on kulmat A, C, E ja G. Ja oikealla ovat kulmat B, D, F ja H.

Jatkamme välittömästi konjugaattikulmaparien määrittämistä edellisessä osassa annetun määritelmän mukaisesti:

-A ja G, RS: n ulkopuolella ja vasemmalla puolella.

-D ja F, sisäpuoliset ja oikealla puolella.

-B ja H, ulkoiset ja oikealla puolella RS.

-C ja E, sisäpuoliset ja vasemmalla puolella RS: tä.

Rinnakkaisviivojen välisten konjugoitujen kulmien ominaisuus

Rinnakkaisviivojen väliset konjugoidut kulmat ovat täydentäviä, toisin sanoen niiden summa on yhtä suuri kuin 180º. Tällä tavalla kuvassa 2 on totta:

A + G = 180 °

D + F = 180 °

B + H = 180 °

C + E = 180 °

Parin vastaavat kulmat yhdensuuntaisille viivoille

Ne ovat niitä, jotka sijaitsevat secant-linjan samalla puolella, ne eivät ole vierekkäin ja yksi niistä on sisäinen ja toinen ulkoinen. On tärkeää visualisoida ne, koska niiden mitta on sama, koska ne ovat kärjen vastakkaisia ​​kulmia.

Palaten kuvioon 2 vastaavat kulmaparit tunnistetaan:

-A ja E

-C ja G

-B ja F

-D ja H

Nelikulmaisen sisäkulmat

Neliskulmaiset ovat 4-puolisia monikulmioita, joista esimerkiksi neliö, suorakulmio, puolisuunnikkaan muoto, suuntaussuunta ja rombus. Muodostaan ​​riippumatta joissakin niistä on totta, että niiden sisäisten kulmien summa on 360º, joten ne täyttävät alussa annetun määritelmän.

Katsotaan joitain esimerkkejä nelikulmioista ja kuinka niiden sisäisten kulmien arvo voidaan laskea edeltävien osien tietojen perusteella:

esimerkit

a) Kolme nelikulmaisen kulmasta, joiden mitat ovat 75º, 110º ja 70º. Kuinka paljon jäljellä oleva kulma tulisi mitata?

b) Etsi kulman ∠Q arvo kuvasta 3 i.

c) Laske kulman measureA mitta kuvassa 3 ii.

Ratkaisu

Olkoon α puuttuva kulma, on vakuuttunut siitä, että:

α + 75º + 110º + 70º = 360º → α = 105º

Ratkaisu b

Kuvio 3i on puolisuunnikkaan muotoinen ja kaksi sen sisäkulmaa ovat oikein, jotka on merkitty värillisellä neliöllä kulmiin. Tälle nelikulmalle varmennetaan seuraava:

∠R + ∠S + ∠P + ∠Q = 360º; ∠S = ∠R = 90 °; ∠P = 60º

Täten:

∠ Q = 2 x 90º + 60º = 240º

Ratkaisu c

Kuvion 3 ii nelikulma on myös puolisuunnikkaan muotoinen, josta seuraa totta:

∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360º

Täten:

4x -5 + 3x + 10 +180 = 360

7x + 5 = 180

x = (180 - 5) / 7

x = 25

Lauseessa pyydetyn kulman määrittämiseksi käytämme arvoa ∠A = 4x - 5. Korvaamalla x aiemmin laskettu arvo seuraa, että ∠A = (4 × 25) -5 = 95º

Harjoitukset

- Harjoitus 1

Kun tiedät, että yksi esitetyistä kulmista on 125º, etsi seuraavasta kuvasta jäljellä olevien 7 kulman mitat ja perustele vastaukset.

Kuva 4. Harjoituksen viivat ja kulmat 1. Lähde: F. Zapata.

Ratkaisu

Kulma 6 ja kulma 125 ° ovat sisäisiä konjugaatteja, joiden summa on 180 ° konjugoitujen kulmien ominaisuuden mukaan, joten:

∠6 + 125º = 180º → ∠6 = 180º - 125º = 55º

Toisaalta ∠6 ja ∠8 ovat kärjen vastakkaisia ​​kulmia, joiden mitta on sama. Siksi ∠8 mittaa 55º.

Kulma ∠1 on myös päinvastaisessa päässä kärkipisteellä 125º, sitten voimme vakuuttaa, että ∠1 = 125º. Voimme vedota myös siihen, että vastaavilla kulmapareilla on sama mitta. Kuvassa nämä kulmat ovat:

∠7 = 125 º

∠2 = ∠6 = 55 º

∠1 = ∠5 = 125º

∠4 = ∠8 = 55 º

- Harjoitus 2

Löydä x: n arvo seuraavasta kuvasta ja kaikkien kulmien arvot:

Kuva 5. Harjoituksen viivat ja kulmat 2. Lähde: F. Zapata.

Ratkaisu

Koska ne ovat vastaavia pareja, seuraa, että F = 73º. Ja toisaalta konjugoitujen parien summa on 180º, siksi:

3x + 20º + 73º = 180º

3x = 180º - 73º -20º = 87

Lopuksi x: n arvo on:

x = 87/3 = 29

Kuten kaikki kulmat, ne on lueteltu seuraavassa kuvassa:

Kuva 6. Harjoituksesta johtuvat kulmat. Lähde: F. Zapata.

Viitteet

1. Kulmaryhmät. Lisä-, lisä- ja lisäkulmat Selitys. Palautettu osoitteesta: thisiget.com/
2. Baldor, A. 1983. Lentokone- ja avaruusgeometria ja trigonometria. Patrian kulttuuriryhmä.
3. Corral, M. Matematiikka LibreTexts: Angles. Palautettu osoitteesta: math.libretexts.org.
4. Mathmania. Kulmien luokittelu ja rakentaminen mittauksilla. Palautettu osoitteesta: mathemania.com/
5. Wentworth, G. Lentokonegeometria. Palautettu osoitteesta: gutenberg.org.
6. Wikipedia. Konjugaattikulmat. Palautettu osoitteesta: es.wikipedia.org.