KUUSIKULMAINEN PYRAMIDI: MÄÄRITELMÄ, OMINAISUUDET JA ESIMERKIT - MATEMATIIKKA - 2025

Kuusikulmainen pyramidi on polyhedron muodostettu kuusikulmio, joka on perusta, ja kuusi kolmiota, jotka alkavat kärkipisteet kuusikulmion ja kohtaavat pisteessä tason ulkopuolella, joka sisältää emäksen. Tätä samanaikaisuuspistettä kutsutaan pyramidin kärkiksi tai kärkiksi.

Moniarvoinen on suljettu kolmiulotteinen geometrinen kappale, jonka pinnat ovat tasomaisia ​​lukuja. Kuusikulma on suljettu tasokuva (monikulmio), joka koostuu kuudesta sivusta. Jos kaikki kuusi sivua ovat samanpituisia ja muodostavat tasaiset kulmat, sen sanotaan olevan säännöllinen; muuten se on epäsäännöllinen.

Määritelmä

Kuusikulmainen pyramidi sisältää seitsemän pintaa, pohjan ja kuusi sivuttaista kolmiota, joista pohja on ainoa, joka ei kosketa kärkeä.

Pyramidin sanotaan olevan suora, jos kaikki sivuttaiset kolmiot ovat yhdensuuntaisia. Tässä tapauksessa pyramidin korkeus on segmentti, joka menee kärkipisteestä kuusikulmion keskikohtaan.

Yleensä pyramidin korkeus on etäisyys kärjen ja pohjan tason välillä. Pyramidin sanotaan olevan vinossa, elleivät kaikki sivuttaiset kolmiot ole yhtäläisiä.

Jos kuusikulma on säännöllinen ja pyramidi on myös suora, sen sanotaan olevan säännöllinen kuusikulmainen pyramidi. Samoin, jos kuusikulmio on epäsäännöllinen tai pyramidi on vino, sen sanotaan olevan epäsäännöllinen kuusikulmainen pyramidi.

ominaisuudet

Kovera tai kupera

Monikulmio on kupera, jos kaikkien sisäkulmien mitta on alle 180 astetta. Geometrisesti tämä vastaa sanomista, että kun otetaan huomioon pari pisteitä monikulmion sisällä, niitä yhdistävä viivaosa sisältyy monikulmioon. Muutoin monikulmion sanotaan olevan kovera.

Jos kuusikulmio on kupera, pyramidin sanotaan olevan kupera kuusikulmainen pyramidi. Muutoin sen sanotaan olevan kovera kuusikulmainen pyramidi.

reunat

Pyramidin reunat ovat sen muodostavien kuuden kolmion sivut.

apoteema

Pyramidin apoteemi on etäisyys kärkipisteen ja pyramidin pohjan sivujen välillä. Tämä määritelmä on järkevä vain silloin, kun pyramidi on säännöllinen, koska jos se on epäsäännöllinen, tämä etäisyys vaihtelee tarkasteltavana olevan kolmion mukaan.

Toisaalta säännöllisissä pyramideissa apoteemi vastaa kunkin kolmion korkeutta (koska kukin on yhtäsuuntainen) ja se on sama kaikissa kolmioissa.

Pohjan apoteemi on pohjan yhden sivun ja sen keskipisteen välinen etäisyys. Pohjan apoteemia on määriteltynä myös siinä mielessä, että se on järkevä vain tavanomaisissa pyramidissa.

merkinnöillä on

Kuusikulmaisen pyramidin korkeutta merkitään h: lla, kannan apoteemia (tavallisessa tapauksessa) APb: llä ja pyramidin apoteemia (myös tavallisessa tapauksessa) AP: llä.

Säännöllisille kuusikulmaisille pyramidille on ominaista, että h, APb ja AP muodostavat suorakulmaisen kolmion, jossa hypotenuusi AP ja jalat h ja APb. Pythagoran lauseen mukaan meillä on AP = √ (h ^ 2 + APb ^ 2).

Yllä oleva kuva edustaa säännöllistä pyramidiä.

Kuinka laskea pinta-ala? kaavat

Harkitse säännöllistä kuusikulmaista pyramidiä. Olkoon A kuusikulmion kummankin sivun mitta. Sitten A vastaa pyramidin kunkin kolmion pohjan mittaa ja siten pohjan reunoja.

Monikulmion pinta-ala on kehän (sivujen summa) ja pohjan apoteemin tuote, jaettuna kahdella. Kuusikulmion tapauksessa se olisi 3 * A * APb.

Voidaan nähdä, että säännöllisen kuusikulmaisen pyramidin pinta-ala on yhtä suuri kuin kuusi kertaa pyramidin kunkin kolmion pinta-ala plus pohjan pinta-ala. Kuten aiemmin mainittiin, kunkin kolmion korkeus vastaa pyramidin apoteemia AP.

Siksi pyramidin kunkin kolmion pinta-ala annetaan A * AP / 2: lla. Siten säännöllisen kuusikulmaisen pyramidin ala on 3 * A * (APb + AP), missä A on kannan reuna, APb on kannan apoteemi ja AP on pyramidin apoteemi.

Laskenta epäsäännöllisissä kuusikulmaisissa pyramidissa

Epäsäännöllisen kuusikulmaisen pyramidin tapauksessa ei ole suoraa kaavaa alueen laskemiseksi kuten edellisessä tapauksessa. Tämä johtuu siitä, että jokaisella pyramidin kolmiolla on eri alue.

Tässä tapauksessa kunkin kolmion pinta-ala on laskettava erikseen ja alustan pinta-ala. Sitten pyramidin pinta-ala on kaikkien aiemmin laskettujen alueiden summa.

Kuinka laskea tilavuus? kaavat

Säännöllisen kuusikulmaisen pyramidin tilavuus on pyramidin korkeuden ja alustan pinta-alan jakauma kolmella. Siten säännöllisen kuusikulmaisen pyramidin tilavuus annetaan A * APb * h: lla, missä A on pohjan reuna, APb on pohjan apoteemi ja h on pyramidin korkeus.

Laskenta epäsäännöllisissä kuusikulmaisissa pyramidissa

Analogisesti alueen kanssa epäsäännöllisen kuusikulmaisen pyramidin tapauksessa ei ole suoraa kaavaa tilavuuden laskemiseksi, koska pohjan reunoilla ei ole samaa mittausta, koska se on epäsäännöllinen monikulmio.

Alustan pinta-ala on tässä tapauksessa laskettava erikseen ja tilavuus on (h * alustan pinta-ala) / 3.

esimerkki

Löydä säännöllisen kuusikulmaisen pyramidin, jonka korkeus on 3 cm, pinta-ala ja tilavuus, jonka pohja on 2 cm: n säännöllinen kuusikulmio molemmilla puolilla ja pohjan apoteemi on 4 cm.

Ratkaisu

Ensin on laskettava pyramidin (AP) apoteemi, joka on ainoa puuttuva tieto. Yllä olevaa kuvaa tarkasteltuna voidaan nähdä, että pyramidin korkeus (3 cm) ja pohjan apoteemi (4 cm) muodostavat oikean kolmion; Siksi pyramidin apoteemin laskemiseksi käytetään Pythagoran lauseen:

AP = √ (3 ^ 2 + 9 ^ 2) = √ (25) = 5.

Siten, käyttämällä yllä kirjoitettua kaavaa, seuraa, että pinta-ala on yhtä suuri kuin 3 * 2 * (4 + 5) = 54 cm ^ 2.

Toisaalta, käyttämällä tilavuuskaavaa saadaan, että annetun pyramidin tilavuus on 2 * 4 * 3 = 24 cm ^ 3.

Viitteet

1. Billstein, R., Libeskind, S., & Lott, JW (2013). Matematiikka: ongelmanratkaisumenetelmä ala-asteen opettajille. López Mateos Toimittajat.
2. Fregoso, RS, ja Carrera, SA (2005). Matematiikka 3. Toimitusprogreso.
3. Gallardo, G., ja Pilar, PM (2005). Matematiikka 6. Toimitusprogreso.
4. Gutiérrez, CT, ja Cisneros, MP (2005). 3. matematiikan kurssi. Toimituksellinen progreso.
5. Kinsey, L., ja Moore, TE (2006). Symmetria, muoto ja avaruus: Johdatus matematiikkaan geometrian avulla (kuvitettu, uusintapainos ed.). Springer Science & Business Media.
6. Mitchell, C. (1999). Häikäisevät Math Line -mallit (kuvitettu toim.). Scholastic Inc.
7. R., MP (2005). Piirrän kuudennen. Toimituksellinen progreso.