KOLMIOT: HISTORIA, ELEMENTIT, LUOKITTELU, OMINAISUUDET - TIEDE - 2025

Kolmiot ovat litteitä ja suljettu geometrinen luvut, joka koostuu kolme sivua. Kolmio määritetään kolmella viivalla, jotka leikkaavat kaksi kahdella, muodostaen kolme kulmaa toistensa kanssa. Kolmionmuotoinen muoto, täynnä symboliikkaa, on läsnä lukemattomissa kohteissa ja rakennusosana.

Kolmion alkuperä on kadonnut historiaan. Arkeologisten todisteiden perusteella tiedetään, että alkeellinen ihmiskunta tiesi sen hyvin, koska arkeologiset jäännökset vahvistavat sen käyttäneen työkaluissa ja aseissa.

Kuva 1. Kolmiot. Lähde: Publicdomain kuvia.

On myös selvää, että muinaisilla egyptiläisillä oli vankat tiedot geometriasta ja erityisesti kolmionmuodosta. Ne heijastuivat sen monumentaalisten rakennusten arkkitehtonisiin osiin.

Rhind-papyruksesta löydät kaavat kolmioiden ja trapetsoidien pinta-alojen laskemiseksi, samoin kuin joitain tilavuuksia ja muita alkeellisen trigonometrian käsitteitä.

Omasta puolestaan ​​tiedetään, että babylonialaiset pystyivät laskemaan kolmion pinta-alan ja muut geometriset hahmot, joita he käyttivät käytännön tarkoituksiin, kuten maan jaot. He olivat myös perehtyneitä kolmioiden monista ominaisuuksista.

Muinaiset kreikkalaiset systematisoivat kuitenkin monet nykyään vallitsevat geometriset käsitteet, vaikka suuri osa tästä tiedosta ei ollutkaan yksinoikeutta, koska se varmasti jaettiin näiden muiden muinaisten sivilisaatioiden kanssa.

Kolmioelementit

Minkä tahansa kolmion elementit on esitetty seuraavassa kuvassa. Niitä on kolme: huiput, sivut ja kulmat.

Kuva 2. Kolmiot ja niiden elementit. Lähde: Wikimedia Commons, muokattu F. Zapata

-Vertices: ovat niiden linjojen leikkauspisteitä, joiden segmentit määrittävät kolmion. Esimerkiksi yllä olevassa kuvassa linja L _AC, joka sisältää segmentin AC, leikkaa linjan L _AB, joka sisältää segmentin AB tarkasti pisteessä A.

- Sivut: kunkin kärkiparin väliin piirretään linjaosa, joka muodostaa kolmion yhden sivun. Tätä segmenttiä voidaan merkitä päättömillä kirjaimilla tai käyttämällä tiettyä kirjainta sen kutsumiseksi. Kuvion 2 esimerkissä sivua AB kutsutaan myös "c".

- Kulmat: Kummankin sivun välillä, jolla on yhteinen kärkipiste, tulee kulma, jonka kärki on samanlainen kuin kolmion. Yleensä kulmaa merkitään kreikkalaisella kirjaimella, kuten alussa todettiin.

Tietyn kolmion muodostamiseksi, jolla on tietty muoto ja koko, on vain yksi seuraavista tietojoukoista:

- Kolme puolta, melko selvä kolmion tapauksessa.

-Kaksi sivua ja niiden välinen kulma, ja loput sivut vedetään välittömästi.

-Kaksi (sisäistä) kulmaa ja niiden välinen puoli. Laajennuksen perusteella kaksi puuttuvaa puolta piirretään ja kolmio on valmis.

merkintätapa

Yleensä kolmiomerkinnässä käytetään seuraavia tapoja: kärkipisteet merkitään latinalaisilla isoilla kirjaimilla, sivut pienillä latinalaisilla kirjaimilla ja kulmat kreikkalaisilla kirjaimilla (katso kuva 2).

Tällä tavalla kolmio nimetään sen kärkien mukaan. Esimerkiksi kuvan 2 vasemmalla puolella oleva kolmio on kolmio ABC ja oikealla oleva kolmio A'B'C.

On myös mahdollista käyttää muita merkintöjä; esimerkiksi kuvassa 2 oleva kulma a on merkitty BAC: ksi. Huomaa, että kärjen kirjain menee keskelle ja kirjaimet kirjoitetaan vastapäivään.

Muina aikoina caretia käytetään kulman osoittamiseen:

α = ∠A

Kolmityypit

Kolmioiden luokittelulle on useita kriteerejä. Yleisin asia on luokitella ne sivujensa mittojen tai kulmien mittojen mukaan. Riippuen niiden sivujen mitasta, kolmiot voivat olla: skaleeneja, tasakylkisiä tai tasasivuisia:

-Scaleno: Sen kolme puolta ovat erilaisia.

-Isósceles: siinä on kaksi tasa-arvoista puolta ja yksi erilainen sivu.

-Equilátero: kolme puolta ovat tasa-arvoiset.

Kuva 3. Kolmioiden luokittelu niiden sivujen mukaan. Lähde: F. Zapata

Kolmot nimetään kulmiensa mittojen mukaan seuraavasti:

- Tukos, jos jokin sisäkulmista on suurempi kuin 90º.

- Akuutti kulma, kun kolmion kolme sisäkulmaa ovat akuutteja, toisin sanoen alle 90º

- Suorakulma, jos jonkin sen sisäkulmista kannattaa olla 90º. Sivuja, jotka muodostavat 90º, kutsutaan jaloiksi ja suoraa kulmaa vastapäätä olevaa puolta on hypotenuse.

Kuva 4. Kolmioiden luokittelu niiden sisäkulmien perusteella. Lähde: F. Zapata.

Kolmioiden kokoonpano

Kun kahdella kolmiolla on sama muoto ja samankokoiset, niiden sanotaan olevan yhteneviä. Tietenkin yhtenevyys liittyy tasa-arvoon, joten miksi puhutaan geometriassa "kahdesta yhdenmukaisesta kolmiosta" "kahden samanlaisen kolmion" sijasta?

No, on suositeltavaa käyttää termiä "yhtenevyys" totuuteen pysymiseen, koska kahdella kolmiolla voi olla sama muoto ja koko, mutta ne voivat olla suunnattu eri tavalla tasossa (katso kuva 3). Geometrian kannalta ne eivät enää olisi tiukasti samat.

Kuva 5. Kokoonpaneva kolmio, mutta ei välttämättä sama, koska niiden suunta tasossa on erilainen. Lähde: F. Zapata.

Kokoonpanon kriteerit

Kaksi kolmiota ovat yhdenmukaisia, jos tapahtuu jokin seuraavista:

-Kolme puolta mittaavat saman (jälleen tämä on ilmeisin).

-Neillä on kaksi identtistä sivua ja samalla kulmalla niiden välillä.

-Mulla on kaksi identtistä sisäkulmaa ja näiden kulmien välinen puoli on sama.

Kuten voidaan nähdä, kyse on kahdesta kolmiosta, jotka täyttävät vaadittavat ehdot niin, että kun ne rakennetaan, niiden muoto ja koko ovat täsmälleen samat.

Yhteensovittamiskriteerit ovat erittäin hyödyllisiä, koska käytännössä lukemattomia kappaleita ja mekaanisia osia on valmistettava sarjassa siten, että niiden mitat ja muoto ovat täsmälleen samat.

Kolmioiden samankaltaisuus

Kolmio on samanlainen kuin toinen, jos niillä on sama muoto, vaikka ne olisivat erikokoisia. Saman muodon varmistamiseksi vaaditaan, että sisäisillä kulmilla on sama arvo ja että sivut ovat suhteessa toisiinsa.

Kuva 6. Kaksi samanlaista kolmiota: niiden koot eroavat toisistaan, mutta niiden mittasuhteet ovat samat. Lähde: F. Zapata.

Kuvan 2 kolmiot ovat myös samanlaisia, kuten kuvassa 6. Näin:

Mitä tulee sivuihin, seuraavat samankaltaisuussuhteet pätevät:

ominaisuudet

Kolmioiden perusominaisuudet ovat seuraavat:

- Minkä tahansa kolmion sisäkulmien summa on aina 180º.

-Mikä tahansa kolmion kohdalla sen ulkoisten kulmien summa on yhtä suuri kuin 360 °.

- Kolmion ulkoinen kulma on yhtä suuri kuin niiden kahden sisäkulman summa, jotka eivät ole mainitun kulman vieressä.

lauseet

Thalesin ensimmäinen lause

Ne omistavat kreikkalaisen filosofin ja matemaatikon Thales of Miletusin, joka kehitti useita geometriaan liittyviä lauseita. Ensimmäisessä niistä todetaan seuraavaa:

Kuva 7. Thalesin lause. Lähde: F. Zapata.

Toisin sanoen:

a / a´ = b / b´ = c / c´

Thalesin ensimmäinen lause on sovellettavissa kolmioon, esimerkiksi vasemmalla on sininen kolmio ABC, jota leikkaa oikealla olevat punaiset suuntaukset:

Kuva 8. Thalesin lause ja vastaavat kolmiot.

Violetti kolmio AB'C 'on samanlainen kuin sininen kolmio ABC, siksi Thalesin lauseen mukaan voidaan kirjoittaa seuraava:

AB´ / AC´ = AB / AC

Ja se on yhdenmukainen sen kanssa, mitä aiemmin selitettiin kolmioiden samankaltaisuuden segmentissä. Muuten, rinnakkaisviivat voivat olla myös pystysuoria tai suuntaisia ​​hypoteenuksen kanssa ja samanlaiset kolmiot saadaan samalla tavalla.

Thalesin toinen lause

Tämä lause viittaa myös alla esitettyyn kolmioon ja ympyrään, jonka keskipiste on O, kuten. Tässä kuviossa AC on kehän halkaisija ja B on piste siinä, B on erilainen kuin A ja B.

Thalesin toisessa lauseessa todetaan seuraavaa:

Kuva 9. Thalesin toinen lause. Lähde: Wikimedia Commons. Inductiveload.

Pythagoran lause

Tämä on yksi historian tunnetuimmista lauseista. Se johtuu kreikkalaisesta Samosin kreikkalaisesta matemaatikosta Pythagorasista (569 - 475 eKr.), Ja sitä voidaan käyttää suorakulmaiseen kolmioon. Sanoo niin:

Jos otamme esimerkkinä kuvan 8 sinisen kolmion tai violetin kolmion, koska molemmat ovat suorakulmioita, voidaan todeta seuraavaa:

AC ² = AB ² + BC ² (sininen kolmio)

AC´ ² = AB´ ² + BC´ ² (violetti kolmio)

Kolmion pinta-ala

Kolmion pinta-ala saadaan sen pohjan a ja korkeuden h tuloksesta, jaettuna luvulla 2. Ja trigonometrialla tämä korkeus voidaan kirjoittaa muodossa h = b sinθ.

Kuva 10. Kolmion alue. Lähde: Wikimedia Commons.

Esimerkkejä kolmioista

Esimerkki 1

Sanotaan, että ensimmäisen lauseensa avulla Thales onnistui mittaamaan Egyptin suuren pyramidin korkeuden, joka on yksi muinaisen maailman 7 ihmeestä, mittaamalla varjo, jonka se projisoi maahan, ja varjo, jonka projisoi maassa ajettu vaarna.

Tämä on Talesin noudattaman menettelyn kuvaus:

Kuva 11. Kaavio suuren pyramidin korkeuden mittaamiseksi kolmioiden samankaltaisuudesta. Lähde: Wikimedia Commons. Dake

Thales oletti oikein, että auringonsäteet lyövät samansuuntaisesti. Tätä silmällä pitäen hän kuvasi oikean suuren oikean kolmion.

Siellä D on pyramidin korkeus ja C on etäisyys maanpinnasta mitattuna keskustasta varjoon, jonka pyramidi heittää autiomaassa. C: n mittaaminen voi olla vaivalloista, mutta se on varmasti helpompaa kuin pyramidin korkeuden mittaus.

Vasemmalla puolella on pieni kolmio, jossa jalat A ja B, missä A on vaakakorkeuden pystysuoraan maahan ajama ja B on varjo, jonka se heittää. Molemmat pituudet ovat mitattavissa, kuten myös C (C on yhtä suuri kuin varjon pituus + puolet pyramidin pituudesta).

Joten kolmioiden samankaltaisuudesta:

A / B = D / C

Ja Ison Pyramidin korkeus osoittautuu: D = C. (A / B)

Esimerkki 2

Siviilirakennuksen ristikot ovat ristikkäin ristikkäin ristikkäin tehdyistä ohuista suorasta puusta tai metallista varustettuja rakenteita, joita käytetään tukena monissa rakennuksissa. Niitä kutsutaan myös ristikoiksi, ristikoiksi tai ristikoiksi.

Niissä kolmioita on aina läsnä, koska tangot on kytketty toisiinsa pisteissä, joita kutsutaan solmuiksi, jotka voidaan kiinnittää tai nivellä.

Kuva 12. Kolmio on läsnä tämän sillan kehyksessä. Lähde: PxHere.

Esimerkki 3

Triangulaatioksi kutsuttu menetelmä sallii pääsyn saavuttamattomien pisteiden sijainnin tuntemalla muut etäisyydet, joita on helpompi mitata, edellyttäen että muodostuu kolmio, joka sisältää halutun sijainnin sen kärkien välillä.

Esimerkiksi seuraavassa kuvassa haluamme tietää missä alus on meressä, merkitty tähdellä B.

Kuva 13. Triangulaatiokaavio laivan paikantamiseksi. Lähde: Wikimedia Commons. Colette

Ensin mitataan kahden rannikon pisteen välinen etäisyys, jotka kuvassa ovat A ja C. Seuraavaksi kulmat α ja β on määritettävä teodoliitin avulla, laite, jota käytetään pystysuorien ja vaakasuuntaisten kulmien mittaamiseen.

Kaikilla näillä tiedoilla on rakennettu kolmio, jonka yläosa on alus. Aluksen sijainti meressä on vielä laskettava kulma γ käyttämällä kolmioiden ominaisuuksia ja etäisyyksiä AB ja CB trigonometrian avulla.

Harjoitukset

Harjoitus 1

Esitetyssä kuvassa auringonsäteet ovat yhdensuuntaiset. Tällä tavoin 5 metrin korkuinen puu heittää 6 metrin varjon maahan. Samanaikaisesti rakennuksen varjo on 40 metriä. Seuraa Thalesin ensimmäisen lauseen mukaan rakennuksen korkeus.

Kuva 14. Kaavio ratkaistuun harjoitukseen 1. Lähde: F. Zapata.

Ratkaisu

Punaisen kolmion sivut ovat 5 ja 6 metriä, kun taas sinisen korkeus on H - rakennuksen korkeus - ja pohjan 40 metriä. Molemmat kolmiot ovat siis samankaltaisia:

Harjoitus 2

Sinun on tiedettävä kahden pisteen A ja B välinen vaakasuora etäisyys, mutta ne sijaitsevat hyvin epätasaisella maalla.

Noin mainitun maaston keskipisteessä (P _m) näkyy 1,75 metriä korkea näkyvyys. Jos mittanauhan pituus on 26 metriä mitattuna A: sta näkyvyyteen ja 27 metriä B: stä samaan pisteeseen, etsi etäisyys AB.

Kuva 15. Kaavio ratkaistua harjoitusta varten 2. Lähde: Jiménez, R. Matematiikka II. Geometria ja trigonometria.

Ratkaisu

Pythagoran lause on sovellettu yhteen kuvion kahdesta oikeasta kolmiosta. Alkaen vasemmalla olevasta:

Hypotenuse = c = 26 metriä

Korkeus = a = 1,75 metriä

AP _m = (26 ² - 1,75 ²) ^1/2 = 25,94 m

Aseta Pythagoras nyt oikeassa olevaan kolmioon, tällä kertaa c = 27 metriä, a = 1,75 metriä. Näillä arvoilla:

BP _m = (27 ² - 1,75 ²) ^1/2 = 26,94 m

Etäisyys AB saadaan lisäämällä nämä tulokset:

AB = 25,94 m + 26,94 m = 52,88 m.

Viitteet

1. Baldor, JA 1973. Plane and Space Geometry. Keski-Amerikan kulttuuri.
2. Barredo, D. Kolmion geometria. Palautettu: ficus.pntic.mec.es.
3. Jiménez, R. 2010. Matematiikka II. Geometria ja trigonometria. Toinen painos. Pearson.
4. Wentworth, G. Lentokonegeometria. Palautettu osoitteesta: gutenberg.org.
5. Wikipedia. Kolmio. Takaisin: es. wikipedia.org.