RINNAKKAISVEKTORIT: OMINAISUUDET, ESIMERKIT JA HARJOITUKSET - MATEMATIIKKA - 2026

Samanaikainen vektorit ovat vektoreita ryhmiä, joiden akselit yhtyvät yhdessä pisteessä, joka muodostaa kunkin parin väliin sisäisen ja ulkoisen toisesta kulmasta. Selvä esimerkki näkyy alla olevassa kuvassa, jossa A, B ja C ovat vektorit samanaikaisesti.

D ja E toisin kuin muut eivät ole. Samanaikaisten vektorien AB, AC ja CB väliin on muodostettu kulmia. Niitä kutsutaan vektorien välisiksi suhdekulmiksi.

ominaisuudet

-Neillä on yhteinen piste, joka osuu niiden alkuperään: kaikkien samanaikaisten vektorien suuruudet alkavat yhteisestä pisteestä niiden vastaaviin päihin.

-Asemaa pidetään vektorin toimintapisteenä: on määritettävä toimintapiste, johon kukin samanaikaisesti vaikuttava vektori vaikuttaa suoraan.

-Its verkkotunnuksen tasossa ja tila on R ² ja R ³ vastaavasti: samanaikainen vektorit ovat vapaasti kattamaan koko geometrinen tila.

-Mahdollistaa eri merkinnät samassa vektoriryhmässä. Tutkimusalojen mukaan vektoreissa tapahtuvissa operaatioissa on erilaisia ​​merkintöjä.

Vektorityypit

Vektorien haaralla on useita alajakoja, joista joistakin voidaan nimetä: yhdensuuntainen, kohtisuora, tasomainen, vastaava, vastakkainen ja yhtenäinen. Samanaikaiset vektorit luetellaan tässä, ja kuten kaikilla edellä mainituilla, niillä on monia sovelluksia eri tieteillä.

Ne ovat hyvin yleisiä vektorien tutkimuksessa, koska ne edustavat hyödyllistä yleistystä operaatioissa niiden kanssa. Sekä tasossa että avaruudessa samanaikaisia ​​vektoreita käytetään yleisesti edustamaan erilaisia ​​elementtejä ja tutkimaan niiden vaikutusta tiettyyn järjestelmään.

Vector-merkintä

Vektorielementtiä voidaan esittää usealla tavalla. Tärkeimmät ja tunnetuimmat ovat:

karteesinen

Saman matemaattisen lähestymistavan ehdottama, se merkitsee vektoreita kolmoisilla, jotka vastaavat kunkin akselin suuruuksia (x, y, z)

V: (1, 1, -1) Tila A: (1, 1) Taso

polaarinen

Ne palvelevat vain vektorien kuvaamista tasossa, vaikka integroidussa laskussa sille on annettu syvyyskomponentti. Se koostuu lineaarisella suuruudella r ja kulmalla napa-akseliin Ɵ nähden .

A: (3, 45 ⁰) Taso A: (2, 45 ⁰, 3) Tila

analyyttinen

Ne määrittelevät vektorin suuruudet versoreilla. Versoreet (i + j + k) edustavat yksikkövektoreita, jotka vastaavat akseleita X, Y ja

A: 3i + 2j - 3k

pallon muotoinen

Ne ovat samanlaisia ​​kuin polaarimerkinnät, mutta lisättynä toinen kulma, joka pyyhkäisee xy- tason yli, jota merkitsee δ.

A: (4, 60 ^tai, π / 4)

Samanaikaiset vektorioperaatiot

Rinnakkaisvektoreita käytetään useimmiten vektorien välisten operaatioiden määrittämiseen, koska vektorien elementtejä on helpompi vertailla, kun ne esitetään samanaikaisesti.

Summa (A + B)

Samanaikaisten vektorien summalla pyritään löytämään tuloksena oleva vektori V _r. Mikä opinto-osan mukaan vastaa viimeistä toimenpidettä

Esimerkiksi: 3 jouset {A, B, C} on sidottu laatikkoon, merkkijonon kummassakin päässä on yksi ala. Jokaisen kolmesta aiheesta on vedettävä köysi eri suuntaan kuin muut 2.

A: (ax, ay, ats) B: (bx, by, bz) C: (cx, cy, cz)

A + B + C = (ax + bx + cx; ay + + syllä; ats + bz + cz) = V _r

Laatikko pystyy liikkumaan vain yhteen suuntaan, joten V _r ilmaisee laatikon liikesuunnan ja -suunnan.

Ero (A - B)

Vektoreiden erotukseen liittyy monia kriteerejä, monet kirjoittajat päättävät sulkea sen pois ja toteavat, että vain vektoreiden välinen summa on määritelty, jolloin ero on suunnilleen vastakkaisen vektorin summa. Totuus on, että vektorit voidaan vähentää algebralla.

A: (ax, ay, ats) B: (bx, by, bz)

A - B = A + (-B) = (ax-bx; ay-by; ats-bz) =

Skalaarituote (A. B)

Se tunnetaan myös pistetuotteena ja tuottaa skalaariarvon, joka voidaan liittää eri suuruuksiin tutkimuksen haarasta riippuen.

Geometriaa varten ilmoitetaan samansuuntaisen vektorin parin muodostaman suuntakuvan pinta-ala rinnansuuntaisella menetelmällä. Mekaanisessa fysiikassa se määrittelee voiman F tekemän työn liikuttaessa vartaloa etäisyydellä Δr.

ѡ = F. Ar

Kuten nimensä osoittaa, se tuottaa skalaariarvon ja määritetään seuraavasti:

Olkoon vektorit A ja B

A: (ax, ay, ats) B: (bx, by, bz)

-Analyyttinen muoto:

(A.B) = -A -.- B-.Cos θ

Missä θ on molempien vektorien välinen sisäkulma

-Algebrallinen muoto:

(A. B) = (ax.bx + ay.by + az.bz)

Ristituote (A x B)

Kahden vektorin välinen vektorituote tai pistetuote määrittelee kolmannen vektorin C, jonka laatu on kohtisuora B: hen ja C: hen. Fysiikassa vääntömomenttivektori τ on pyörimisdynamiikan peruselementti.

-Analyyttinen muoto:

- A x B - = -A -.- B-.Sen θ

-Algebrallinen muoto:

(A x B) = = (ax. By-ay. Bx) - (ax. Bz - ats. Bx) j + (ax. By-ay. Bx) k

- Suhteellinen liike: r _{A / B}

Relatiivisyyden perusta on suhteellinen liike ja samanaikaiset vektorit ovat suhteellisen liikkeen perusta. Suhteelliset sijainnit, nopeudet ja kiihtyvyydet voidaan päätellä soveltamalla seuraavaa ideajärjestystä.

r _{A / B} = r - r _B; A: n suhteellinen sijainti suhteessa B: hen

v _{A / B} = v - v _B; A: n suhteellinen nopeus suhteessa B: hen

a _{A / B} = a _A - a _B; A: n suhteellinen kiihtyvyys suhteessa B: hen

Esimerkkejä: ratkaistuja harjoituksia

Harjoitus 1

Olkoon A, B ja C samanaikaiset vektorit.

A = (-1, 3, 5) B = (3, 5, -2) C = (-4, -2, 1)

-Määritä saatu vektori V _r = 2A - 3B + C

2A = (2 (-1), 2 (3), 2 (5)) = (-2, 6, 10)

-3B = (-3 (3), -3 (5), -3 (-2)) = (-9, -15, 6)

V _r = 2A + (-3B) + C = (-2, 6, 10) + (-9, -15, 6) + (-4, -2, 1)

V _r = (;; (10 + 6 + 1))

V _r = (-15, -11, 17)

-Määritä pistetuote (A. C)

(A.C) = (-1, 3, 5). (-4, -2, 1) = (-1) (-4) + 3 (-2) + 5 (1) = 4 - 6 + 5

(A. C) = 3

- Laske kulma A: n ja C: n välillä

(A. C) = -A -.- C-. Cos θ missä θ on lyhin kulma vektorien välillä

θ = 88,63 ⁰

- Löydä vektori, joka on kohtisuora A: n ja B: n kanssa

Tätä varten on välttämätöntä määritellä vektorituote väliltä (-1, 3, 5) ja (3, 5, -2). Kuten aiemmin selitettiin, rakennetaan 3 x 3 -matriisi, jossa ensimmäinen rivi koostuu kolmiyksikkövektoreista (i, j, k). Sitten toinen ja kolmas rivi koostuvat vektoreista, jotka toimivat, toimintajärjestystä noudattaen.

(A x B) = = i - j + k

(A x B) = (-5 - 9) I - (2-15) j + (-5 - 9) k

(A x B) = - 14 I + 13 j - 14 k

Harjoitus 2

Olkoon V ja V _{b olla} nopeusvektorit A ja B, vastaavasti. Laske B: n nopeus pisteestä A.

V _a = (3, -1, 5) V _b = (2, 5, -3)

Tässä tapauksessa vaaditaan B: n suhteellista nopeutta suhteessa A V _{B / A: iin}

V _{B / A} = V _B - V _A

V _{B / A} = (2, 5, -3) - (3, -1, 5) = (-1, 6, -8)

Tämä on B: n nopeusvektori, joka on nähty A: sta. Missä kuvataan uusi B: n nopeuden vektori ottaen huomioon A-pisteeseen sijoitettu tarkkailija, joka liikkuu A: n nopeudella.

Ehdotetut harjoitukset

1-Konstruoi 3 vektoria A, B ja C, jotka ovat samanaikaisia ​​ja liittyvät 3 operaatiota niiden välillä käytännön harjoituksen avulla.

2-Let vektorit A: (-2, 4, -11), B: (1, -6, 9) ja C: (-2, -1, 10). Etsi vektoreita kohtisuorassa: A ja B, C ja B, summa A + B + C.

4 - Määritä 3 vektoreita, jotka ovat kohtisuorassa toisiinsa, ottamatta huomioon koordinaattiakselit.

5 - Määritä työ, joka tehdään voimalla, joka nostaa 5 kg painoisen lohkon 20 m syvän kaivon pohjalta.

6 - Näytä algebralla, että vektorien vähennys on yhtä suuri kuin vastakkaisten vektorien summa. Perustele perusteltuja postulaattejasi.

7 - Merkitse vektori kaikissa tässä artikkelissa kehitetyissä merkinnöissä. (Kartesilainen, polaarinen, analyyttinen ja pallomainen).

8 - Seuraavat vektorit antavat magneettisen voiman, joka kohdistuu pöydällä olevalle magneetille: V: (5, 3, -2), T: (4, 7, 9), H: (-3, 5, -4). Määritä, mihin suuntaan magneetti liikkuu, jos kaikki magneettiset voimat toimivat samanaikaisesti.

Viitteet

1. Euklidinen geometria ja muutokset. Clayton W. Dodge. Courier Corporation, 1. tammikuuta 2004
2. Kuinka ratkaista sovelletut matematiikan ongelmat L. Moiseiwitsch. Courier Corporation, 10. huhtikuuta 2013
3. Geometrian peruskäsitteet. Walter Prenowitz, Meyer Jordania. Rowman & Littlefield, 4. lokakuuta. 2012
4. Vektoreita. Rocío Navarro Lacoba, 7. kesäkuuta. 2014
5. Lineaarialgebra. Bernard Kolman, David R. Hill. Pearson Education, 2006