KUUTIOIDEN ERO: KAAVAT, YHTÄLÖT, ESIMERKIT, HARJOITUKSET - MATEMATIIKKA - 2025

Ero kuutiot on binomimallia algebrallinen lauseke on muotoa a ³ - b ³, joissa ehdot a ja b voivat olla reaalilukuja tai algebralausekkeissa erilaisia. Esimerkki kuutioiden erosta on: 8 - x ³, koska 8 voidaan kirjoittaa 2 ^{3: na}.

Geometrisesti voimme ajatella suurta kuutiota, jonka sivu on a, josta pieni kuutio, jonka sivu b on vähennetty, kuten kuvassa 1 esitetään:

Kuva 1. Kuutioiden ero. Lähde: F. Zapata.

Tuloksena olevan luvun tilavuus on tarkalleen kuutioiden ero:

V = a ³ - b ³

Vaihtoehtoisen lausekkeen löytämiseksi havaitaan, että tämä luku voidaan hajottaa kolmeen prismaan, kuten alla esitetään:

Kuva 2. Kuutioiden ero (tasa-arvon vasemmalla puolella) on yhtä suuri kuin osatilavuuksien summa (oikea). Lähde: F. Zapata.

Prisman tilavuus saadaan tuotteen kolmesta ulottuvuudesta: leveys x korkeus x syvyys. Tällä tavoin saatu tilavuus on:

V = a ³ - b ³ = a ².b + b ³ + ab ²

Tekijä b on yhteinen oikealla. Lisäksi yllä esitetyssä kuvassa on erityisen totta, että:

b = (a / 2) ⇒ a = b + b

Siksi voidaan sanoa, että: b = a - b. Täten:

Tämä tapa kuutioiden eron ilmaisemiseksi osoittautuu erittäin hyödylliseksi monissa sovelluksissa ja se olisi saatu samalla tavalla, vaikka puuttuvan kuution puoli nurkassa olisi erilainen kuin b = a / 2.

Huomaa, että toiset sulkeet muistuttavat läheisesti summan neliön huomattavaa tulosta, mutta ristitermiä ei kerrota kahdella. Lukija voi laajentaa oikeaa puolta varmistaakseen, että ³ - b ³ todellakin saadaan.

esimerkit

Kuutioissa on useita eroja:

1 - m ⁶

a ⁶ b ³ - 8 z ¹² ja ⁶

(1/125).x ⁶ - 27. vuotta ⁹

Analysoidaan jokainen niistä. Ensimmäisessä esimerkissä 1 voidaan kirjoittaa muodossa 1 = 1 ³ ja termi m ⁶ muuttuu: (m ²) ³. Molemmat termit ovat täydellisiä kuutioita, joten niiden ero on:

1 - m ⁶ = 1 ³ - (m ²) ³

Toisessa esimerkissä termit kirjoitetaan uudelleen:

a ⁶ b ³ = (a ² b) ³

8z ¹² y ⁶ = 2 ³ (z ⁴) ³ (y ²) ³ = (2z ⁴ y ²) ³

Näiden kuutioiden ero on: (a ² b) ³ - (2z ⁴ y ²) ³.

Lopuksi, osa (1/125) on (1/5 ³), x ⁶ = (x ²) ³, 27 = 3 ^3, ja y ⁹ = (y ³) ³. Korvaamalla kaiken tämän alkuperäisessä lausekkeessa saat:

(1/125).x ⁶ - 27y ⁹ = ³ - (3 y ³) ³

Faktorointi ero kuutiot

Kuutioiden eron huomioonottaminen yksinkertaistaa monia algebrallisia toimintoja. Voit tehdä tämän vain käyttämällä edellä johdettua kaavaa:

Kuva 3. Kuutioiden eron tekijänmuutos ja merkittävän osamäärän ilmaiseminen. Lähde: F. Zapata.

Nyt menettely tämän kaavan soveltamiseksi koostuu kolmesta vaiheesta:

- Ensinnäkin saadaan kunkin eroeron kuutiojuuri.

- Sitten rakennetaan binomi ja trinomi, jotka ilmestyvät kaavan oikealle puolelle.

- Lopuksi binomiaali ja trinomi korvataan, jotta saadaan lopullinen tekijä.

Kuvaillaan näiden vaiheiden käyttöä jokaisella edellä ehdotetulla kuutioero-esimerkillä ja saadaan siten sen tosiasiallinen ekvivalentti.

Esimerkki 1

Kerro lauseke 1 - m ⁶ kuvattujen vaiheiden mukaisesti. Aloitamme kirjoittamalla lauseke siten, että se on 1 - m ⁶ = 1 ³ - (m ²) ³ kutakin termiä vastaavien kuutiojuurten purkamiseksi:

Seuraavaksi rakennetaan binomi ja trinomi:

a = 1

b = m ²

Niin:

a - b = 1 - m ²

(a ² + ab + b ²) = 1 ² + 1.m ² + (m ²) ² = 1 + m ² + m ⁴

Lopuksi se korvataan kaavassa a ³ - b ³ = (ab) (a ² + ab + b ²):

1 - m ⁶ = (1 - m ²) (1 + m ² + m ⁴)

Esimerkki 2

tekijöihin:

a ⁶ b ³ -8z ¹² y ⁶ = (a ² b) ³ - (2z ⁴ y ²) ³

Koska nämä ovat täydellisiä kuutioita, kuution juuret ovat välittömiä: a ² b ja 2z ⁴ ja ², joten seuraa, että:

- Binomial: a ² b - 2z ⁴ ja ²

- Kolminaisuus: (a ² b) ² + a ² b. 2z ⁴ y ² + (a ² b + 2z ⁴ y ²) ²

Ja nyt haluttu factorization on rakennettu:

a ⁶ b ³ -8z ¹² y ⁶ = (a ² b - 2z ⁴ y ²). =

= (a ² b - 2z ⁴ y ²).

Faktoring on periaatteessa valmis, mutta usein on tarpeen yksinkertaistaa kutakin termiä. Sitten kehitetään lopussa näkyvä huomattava tuote - kosmetiikka summasta - ja sitten lisätään samoja termejä. Muistaen, että summan neliö on:

Oikealla oleva merkittävä tuote on kehitetty seuraavasti:

(a ² b + 2z ⁴ ja ²) ² = a ⁴ b ² + 4a ² b.z ⁴ ja ² + 4z ⁸ ja ⁴

Korvataan saatu laajennus kuutioiden eron tekijänmuodostuksessa:

a ⁶ b ³ -8z ¹² y ⁶ = (a ² b - 2z ⁴ y ²). =

Lopuksi, ryhmittelemällä samanlaiset termit ja tekniset lukukertoimet, jotka ovat kaikki tasaisia, saadaan:

(a ² b - 2z ⁴ y ²). = 2 (a ² b - 2z ⁴ y ²).

Esimerkki 3

Faktorointi (1/125) x ⁶ - 27 v ⁹ on paljon helpompaa kuin edellinen tapaus. Ensin tunnistetaan a ja b: n ekvivalentit:

a = (1/5) x ²

b = 3y ³

Sitten ne korvataan suoraan kaavassa:

(1/125).x ⁶ - 27y ⁹ =.

Harjoitus ratkaistu

Kuten olemme sanoneet, kuutioiden erolla on useita sovelluksia Algebralla. Katsotaanpa joitain:

Harjoitus 1

Ratkaise seuraavat yhtälöt:

a) x ⁵ - 125 x ² = 0

b) 64 - 729 x ³ = 0

Ratkaisu

Ensin yhtälö otetaan huomioon tällä tavalla:

x ² (x ³ - 125) = 0

Koska 125 on täydellinen kuutio, sulkut kirjoitetaan kuutioiden erona:

x ². (x ³ - 5 ³) = 0

Ensimmäinen ratkaisu on x = 0, mutta löydämme enemmän, jos teemme x ³ - 5 ³ = 0, sitten:

x ³ = 5 ³ → x = 5

Ratkaisu b

Yhtälön vasen puoli kirjoitetaan uudelleen 64 - 729 x ³ = 4 ³ - (9x) ³. Täten:

4 ³ - (9x) ³ = 0

Koska eksponentti on sama:

9x = 4 → x = 9/4

Harjoitus 2

Tekijä lauseke:

(x + y) ³ - (x - y) ³

Ratkaisu

Tämä lauseke on ero kuutioina, jos faktorointikaavassa huomioidaan, että:

a = x + y

b = x- y

Sitten binomiumi rakennetaan ensin:

a - b = x + y - (x- y) = 2 vuotta

Ja nyt kolminaisuus:

a ² + ab + b ² = (x + y) ² + (x + y) (xy) + (xy) ²

Merkittäviä tuotteita kehitetään:

Seuraavaksi sinun on korvattava ja pienennettävä samanlaisia ​​termejä:

a ² + ab + b ² = x ² + 2xy + y ² + x ² - y ² + x ² - 2xy + y ² = 3x ² + y ²

Faktoroinnin tulokset:

(x + y) ³ - (x - y) ³ = 2 vuotta. (3x ² + y ²)

Viitteet

1. Baldor, A. 1974. Algebra. Toimituksellinen Cultural Venezolana SA
2. CK-12-säätiö. Kuutioiden summa ja ero. Palautettu: ck12.org.
3. Khan-akatemia. Kuutioiden erojen huomioonottaminen. Palautettu osoitteesta: es.khanacademy.org.
4. Matematiikka on hauskaa. Kahden kuution ero. Palautettu osoitteesta: mathsisfun.com
5. UNAM. Faktorointi ero kuutiot. Palautettu osoitteesta: dcb.fi-c.unam.mx.