INJEKTIOTOIMINTO: MIKÄ SE ON, MISTÄ SE ON JA ESIMERKKEJÄ - MATEMATIIKKA - 2026

Injektio on mikä tahansa suhde elementtejä domeenin, jossa on yksi osa maalijoukko. Ne tunnetaan myös nimellä yksi-yhteen- funktio (1 - 1), ja ne ovat osa funktioiden luokittelua suhteessa niiden elementteihin.

Codomain-elementti voi olla vain verkkotunnuksen yksittäisen elementin kuva, tällä tavoin riippuvaisen muuttujan arvoja ei voida toistaa.

Lähde: Kirjailija.

Selkeä esimerkki olisi miesten ryhmitteleminen työhön ryhmässä A ja ryhmässä B kaikki pomot. Toiminto F yhdistää jokaisen työntekijän pomoonsa. Jos kukin työntekijä liittyy F: n kautta eri pomoon, F on injektiotoiminto.

Jotta voidaan pitää injektiotoimintoa, seuraavien on täytyttävä:

∀ x ₁ ≠ x ₂ ⇒ F (x ₁) ≠ F (x ₂)

Tämä on algebrallinen tapa sanoa . Jokaisella x _{1: llä, joka} eroaa x _{2: sta,} meillä on F (x ₁), joka on erilainen kuin F (x ₂).

Mihin injektiotoiminnot ovat?

Injektiivisuus on jatkuvien toimintojen ominaisuus, koska ne varmistavat kuvien osoittamisen jokaiselle verkkotunnuksen elementille, mikä on olennainen osa toiminnan jatkuvuutta.

Kun piirrät linjaa X- akselin suuntaisesti injektiofunktion kuvaajalle, kuvaajaa tulisi koskea vain yhdessä pisteessä riippumatta siitä, millä Y- korkeudella tai -suurella viiva piirretään. Tämä on graafinen tapa testata funktion injektoitavuus.

Toinen tapa testata, onko funktio injektoiva, on ratkaista riippumaton muuttuja X riippuvaisen muuttujan Y perusteella. Sitten on tarkistettava, sisältääkö tämän uuden lausekkeen toimialue todelliset numerot, samaan aikaan kuin jokaiselle Y: n arvolle X: llä on yksi arvo.

Toiminnot tai järjestyssuhteet noudattavat muun muassa merkintää F: D _f → C _f

Mitä luetaan F, joka siirtyy _Df: stä _{Cf: ään}

Kun funktio F liittyy joukkoihin Domain ja Comain. Tunnetaan myös nimellä aloitus- ja viimeistelyjoukko.

Verkkotunnus D _f sisältää riippumattoman muuttujan sallitut arvot. Maalijoukko C _f koostuu kaikki arvot käytettävissä riippuva muuttuja. Elementit C _f liittyvät D- _f tunnetaan valikoima funktion (R _f).

Toiminnan vakiointi

Joskus toiminnolle, joka ei ole injektiota, voidaan kohdistaa tietyt olosuhteet. Nämä uudet olosuhteet voivat tehdä siitä injektiotoiminnon. Kaikenlaiset modifikaatiot funktion verkkotunnukseen ja kodomainiin ovat kelvollisia, kun tavoitteena on täyttää injektiokykyominaisuudet vastaavassa suhteessa.

Esimerkkejä injektiotoiminnoista ratkaistujen harjoitusten kanssa

Esimerkki 1

Olkoon funktio F: R → R määritetty viivalla F (x) = 2x - 3

V:

Lähde: Kirjailija.

Havaitaan, että jokaisessa verkkotunnuksen arvossa on kuva kodidomeen. Tämä kuva on ainutlaatuinen, mikä tekee F: stä injektiotoiminnon. Tämä koskee kaikkia lineaarifunktioita (funktiot, joiden muuttujan korkein aste on yksi).

Lähde: Kirjailija.

Esimerkki 2

Olkoon funktio F: R → R määritelty F (x) = x ² +1: lla

Lähde: Kirjailija

Piirrettäessä vaakatasoa havaitaan, että kuvaaja löytyy useammasta kuin yhdestä tilanteesta. Tästä syystä funktio F ei ole injektoiva niin kauan kuin R → R on määritelty

Edellytämme funktion verkkotunnusta:

F: R ⁺ U {0} → R

Lähde: Kirjailija

Nyt itsenäinen muuttuja ei ota negatiivisia arvoja, tällä tavoin vältetään tulosten toistaminen ja F: n (⁺ ) = x ² + 1 määrittelemä funktio F: R ⁺ U {0} → R on injektio.

Toinen homologinen ratkaisu olisi rajoittaa domeeni vasemmalle, ts. Rajoittaa funktio ottamaan vain negatiiviset ja nolla-arvot.

Jatkamme funktion verkkotunnuksen ehtoa

F: R ^- U {0} → R

Lähde: Kirjailija

Nyt riippumaton muuttuja ei ole negatiivisia arvoja, tällä tavalla toistamalla tulokset on vältettävä ja funktio F: R ^- U {0} → R on määritelty F (x) = x ² + 1 on injektio.

Trigonometrisillä funktioilla on aaltomainen käyttäytyminen, missä on hyvin yleistä löytää arvojen toistoja riippuvasta muuttujasta. Erityisellä ilmastoinnilla, joka perustuu näiden toimintojen aikaisempaan tuntemiseen, voimme kaventaa aluetta injektiokyvyn ehtojen täyttämiseksi.

Esimerkki 3

Olkoon funktio F: → R määritetty F: llä (x) = Cos (x)

Aikavälin kosini-funktio vaihtaa tulokset nollan ja yhden välillä.

Lähde: Kirjailija.

Kuten kaaviosta voidaan nähdä. Se alkaa nollasta x = - π / 2, sitten saavuttaa maksimiarvon nollassa. Se on x = 0: n jälkeen, että arvot alkavat toistua, kunnes ne palaavat nollaan kohdassa x = π / 2. Tällä tavalla tiedetään, että F (x) = Cos (x) ei ole injektoiva määrätyn ajanjakson ajan.

Kun tutkitaan funktion F (x) = Cos (x) kuvaajaa, havaitaan välejä, joissa käyrän käyttäytyminen mukautuu injektiokriteereihin. Kuten aikaväli

Jos funktio vaihtelee, tulokset ovat 1 - -1, toistamatta mitään arvoa riippuvassa muuttujassa.

Tällä tavoin toiminto F: → R määrittelee F (x) = Cos (x). Se on injektiota

On epälineaarisia toimintoja, joissa esiintyy samanlaisia ​​tapauksia. Ratsionaalityyppisten lausekkeiden tapauksessa, joissa nimittäjä sisältää ainakin yhden muuttujan, on rajoituksia, jotka estävät suhteen injektoitavuuden.

Esimerkki 4

Olkoon funktio F: R → R määritettävä F (x) = 10 / x

Toiminto määritetään kaikille todellisille numeroille paitsi {0}, jolla ei ole määritystä (sitä ei voida jakaa nollalla) .

Kun riippuvainen muuttuja lähestyy nollaa vasemmalta, se ottaa erittäin suuret negatiiviset arvot, ja heti nollan jälkeen, riippuvaisen muuttujan arvot saavat suuria positiivisia lukuja.

Tämä häiriö saa lausekkeen F: R → R määrittelemään F (x) = 10 / x

Älä ole injektiota.

Kuten edellisistä esimerkeistä nähtiin, arvojen poissulkeminen verkkotunnuksella auttaa "korjaamaan" nämä epämääräisyydet. Jatkamme nollan sulkemista pois verkkotunnuksesta, jolloin lähtö- ja viimeistelyjoukot määritetään seuraavasti:

R - {0} → R

Missä R - {0} symboloi toistoja lukuun ottamatta sarjaa, jonka ainoa elementti on nolla.

Tällä tavalla lauseke F: R - {0} → R, jonka määrittelee F (x) = 10 / x, on injektoiva.

Esimerkki 5

Olkoon funktio F: → R määritelty F (x) = Sen (x)

Siinä välillä sinifunktio vaihtelee tuloksesta nollan ja yhden välillä.

Lähde: Kirjailija.

Kuten kaaviosta voidaan nähdä. Se alkaa nollasta pisteellä x = 0 ja saavuttaa sitten maksimiarvon x = π / 2. Se on x = π / 2: n jälkeen, että arvot alkavat toistua, kunnes ne palaavat nollaan kohdassa x = π. Tällä tavoin tiedetään, että F (x) = Sen (x) ei ole injektoiva kyseisen ajanjakson ajan.

Kun tutkitaan funktion F (x) = Sen (x) kuvaajaa, havaitaan välejä, joissa käyrän käyttäytyminen mukautuu injektiokriteereihin. Kuten aikaväli

Jos funktio vaihtelee, tulokset ovat 1 - -1, toistamatta mitään arvoa riippuvassa muuttujassa.

Tällä tavoin toiminto F: → R määrittelee F (x) = Sen (x). Se on injektiota

Esimerkki 6

Tarkista, onko funktio F: → R määritelty F (x) = Tan (x)

F: → R määrittelee F (x) = Cos (x + 1)

F: R → R määritetään viivalla F (x) = 7x + 2

Viitteet

1. Johdanto logiikkaan ja kriittiseen ajatteluun. Merrilee H. Salmon. Pittsburghin yliopisto
2. Matemaattisen analyysin ongelmat. Piotr Biler, Alfred Witkowski. Wrocławin yliopisto. Puola.
3. Abstraktin analyysin elementit. Mícheál O'Searcoid PhD. Matematiikan laitos. Yliopisto Dublin, Beldfield, Dublind 4.
4. Johdatus logiikkaan ja johdattavien tieteiden metodologiaan. Alfred Tarski, New York Oxford. Oxford University lehdistö.
5. Matemaattisen analyysin periaatteet. Enrique Linés Escardó. Toimituksellinen Reverté S. A 1991. Barcelona Espanja.