KALTEVAT VIIVAT: OMINAISUUDET, YHTÄLÖT JA ESIMERKIT - MATEMATIIKKA - 2025

Vino linjat ovat ne, jotka ovat kaltevia, joko suhteessa tasaiselle pinnalle tai muu viiva, joka osoittaa tiettyyn osoitteeseen. Tarkastele esimerkiksi seuraavassa kuvassa näkyviä kolme tasoa, jotka on piirretty tasoon.

Tiedämme niiden suhteelliset sijainnit, koska vertaamme niitä vertailulinjaan, joka on yleensä vaakatasoa kuvaava x-akseli.

Kuva 1. Pysty-, vaaka- ja vinoviivat samassa tasossa. Lähde: F. Zapata.

Tällä tavoin valitsemalla vaakasuoraksi referenssinä vasemmalla oleva viiva on pystysuora, keskellä oleva vaaka on vaakasuora ja oikea oikealla on vino, koska se on kallistettu päivittäisiin vertailulinjoihin nähden.

Nyt samassa tasossa olevat viivat, kuten paperin pinta tai seula, asettuvat toisiinsa nähden eri paikoissa riippuen siitä, leikkaavatko ne. Ensimmäisessä tapauksessa ne ovat peräkkäisiä viivoja, kun taas toisessa ne ovat yhdensuuntaiset.

Toisaalta, kiinnitysviivat voivat olla vinoja tai kohtisuorat. Molemmissa tapauksissa viivojen kaltevuus on erilainen, mutta vinot viivat muodostavat kulmat α ja β toistensa kanssa, erilaiset kuin 90º, kun taas kohtisuoran viivan määrittämät kulmat ovat aina 90 astetta.

Seuraava kuva on yhteenveto näistä määritelmistä:

Kuva 2. Suhteelliset asennot viivojen välillä: yhdensuuntaiset, vinot ja kohtisuorat eroavat toisistaan ​​muodostuvassa kulmassa. Lähde: F. Zapata.

yhtälöt

Jotta suhteiden sijainti suhteessa tasoon tuntea, on tarpeen tietää niiden välinen kulma. Huomaa, että rivit ovat:

Rinnakkaiset: Jos niillä on sama kaltevuus (sama suunta) ja ne eivät koskaan leikkaa, siksi niiden pisteet ovat yhtä kaukana.

Sattumukset: kun kaikki sen pisteet ovat samat ja niiden kaltevuus on sama, mutta pisteiden välinen etäisyys on nolla.

Kuivaimet: Jos niiden kaltevuus on erilainen, pisteiden välinen etäisyys vaihtelee ja leikkauspiste on yksi piste.

Joten yksi tapa tietää, ovatko kaksi tasoa viivat tasossa tai yhdensuuntaiset, on niiden kaltevuuden kautta. Suorien suuntaisuuden ja kohtisuoran kriteerit ovat seuraavat:

Jos tiedämme kahden viivan kaltevuuden tasossa, mikään yllä olevista kriteereistä ei täyty, päättelemme, että viivat ovat vinossa. Kun tiedetään kaksi pistettä linjalla, kaltevuus lasketaan välittömästi, kuten näemme seuraavassa osassa.

Voit selvittää, onko kaksi viivaa secantti vai yhdensuuntainen etsimällä niiden leikkauspiste, ratkaisemalla niiden muodostama yhtälöjärjestelmä: jos on ratkaisu, ne ovat secant, jos ratkaisua ei ole, ne ovat yhdensuuntaiset, mutta jos ratkaisut ovat äärettömiä, viivat ovat sattumanvaraisia.

Tämä kriteeri ei kuitenkaan tiedä meille näiden viivojen välisestä kulmasta, vaikka ne leikkaavatkin.

Rivien välisen kulman tuntemiseksi tarvitsemme kaksi vektoria u ja v, jotka kuuluvat kuhunkin niistä. Siten on mahdollista tietää kulma, jonka ne muodostavat, tällä tavalla määriteltyjen vektorien skalaarituotteen avulla:

u • v = uvcos α

Tason linja tasossa

Decartesian tasossa oleva viiva voidaan esittää monella tavalla, kuten:

- Kaltevuusmuoto: jos m on viivan kaltevuus ja b on linjan leikkaus pystyakseliin, viivan yhtälö on y = mx + b.

- Linjan yleinen yhtälö: Ax + By + C = 0, missä m = A / B on kaltevuus.

Karteesia-tasolla pystysuorat ja vaakasuorat viivat ovat erityisiä tapauksia viivan yhtälöstä.

- Pystyviivat: x = a

- Vaakaviivat: y = k

Kuva 3. Vasemmalla pystysuora viiva x = 4 ja vaakasuora viiva y = 6. Oikealla esimerkki vinoviivasta. Lähde: F. Zapata.

Kuvan 3 esimerkeissä pystysuoralla punaisella viivalla on yhtälö x = 4, kun taas x-akselin (sininen) suuntaisella viivalla on yhtälö y = 6. Mitä oikealla puolella olevalle viivalle näemme, että se on vino ja sen yhtälön löytämiseksi käytämme kuvassa korostettuja pisteitä: (0,2) ja (4,0) tällä tavalla:

Tämän viivan leikkaus pystyakselilla on y = 2, kuten kaaviosta voidaan nähdä. Näiden tietojen kanssa:

Kaltevuuskulman määrittäminen suhteessa x-akseliin on helppoa. Minusta tuntuu että:

Siksi positiivinen kulma x-akselista linjaan on: 180º - 26,6º = 153,4º

Esimerkkejä vinoista viivoista

Kuva 4. Esimerkkejä vinoista viivoista. Lähde: miekkailijat Ian Patterson. Pisan kalteva torni. Pixabay.

Kaltevia linjoja esiintyy monissa paikoissa, on kiinnitettävä huomiota löytää niitä arkkitehtuurista, urheilusta, sähköjohdotuksista, putkista ja monista muista paikoista. Luonnossa myös vinoja viivoja on läsnä, kuten näemme alla:

Valonsäteet

Auringonvalo kulkee suorassa linjassa, mutta maapallon pyöreä muoto vaikuttaa siihen, kuinka auringonvalo osuu pintaan.

Alla olevassa kuvassa voimme selvästi nähdä, että auringonsäteet lyövät kohtisuoraan trooppisilla alueilla, mutta saavuttavat sen sijaan vinottain pinnan leutoalueilla ja napoilla.

Siksi auringonsäteet kulkevat pidemmän matkan ilmakehän läpi ja lämpö leviää myös suuremmalle pinnalle (ks. Kuva). Tuloksena on, että pylväiden lähellä olevat alueet ovat kylmempiä.

Kuva 5. Auringonsäteet putoavat vinoon maltillisilla alueilla ja napoilla, sen sijaan ne ovat enemmän tai vähemmän kohtisuorassa tropiikissa. Lähde: Wikimedia Commons.

Linjat, jotka eivät ole samassa tasossa

Kun kaksi viivaa eivät ole samassa tasossa, ne voivat silti olla vinoja tai vääntyneitä, koska ne myös tunnetaan. Tässä tapauksessa niiden ohjausvektorit eivät ole yhdensuuntaisia, mutta koska ne eivät kuulu samaan tasoon, nämä viivat eivät leikkaudu.

Esimerkiksi kuvion 6 oikeat viivat ovat selvästi eri tasoilla. Jos katsot niitä ylhäältä, voit nähdä, että ne leikkaavat toisiaan, mutta heillä ei ole yhteistä pistettä. Oikealla näemme polkupyörän pyörät, joiden pinnat näyttävät ylittävän edestä katsottuna.

Kuva 6. Eri tasoihin kuuluvat viistot viivat. Lähde: vasen F. Zapata, oikea Pixabay.

Viitteet

1. Geometria. Suuntavektori linjaa. Palautettu osoitteesta: juanbragado.es.
2. Larson, R. 2006. Laskelma analyyttisellä geometrialla. 8. päivä. Painos. McGraw Hill.
3. Matematiikka on peliä. Linjat ja kulmat. Palautettu osoitteesta: juntadeandalucia.es.
4. Leikkaavat suorat linjat. Palautettu osoitteesta: profesoraltuna.com.
5. Villena, M. Analyyttinen geometria R3: ssa. Palautettu osoitteesta: dspace.espol.edu.ec.