Sääntö Sarrus käytetään laskettaessa tulos 3 x 3 taustatekijöihin. Niitä käytetään ratkaisemaan lineaariset yhtälöt ja selvittämään ovatko ne yhteensopivia.
Yhteensopivat järjestelmät helpottavat ratkaisun hankkimista. Niitä käytetään myös määrittämään, ovatko vektorijoukot lineaarisesti riippumattomia, ja muodostamaan vektoriavaruuden perusta.
Nämä sovellukset perustuvat matriisien kääntyvyyteen. Jos matriisi on säännöllinen, sen determinantti eroaa nollasta. Jos se on singulaarinen, sen determinantti on yhtä suuri kuin 0. Determinantit voidaan laskea vain neliömatriiseissa.
Minkä tahansa luokan matriisien laskemiseksi voidaan käyttää Laplasen lausea. Tämän lauseen avulla voimme yksinkertaistaa korkeiden ulottuvuuksien matriiseja pieninä determinanteina, jotka hajomme päämatriisista.
Siinä todetaan, että matriisin determinantti on yhtä suuri kuin kunkin rivin tai sarakkeen tulojen summa, joka on kerrottu sen vierematriisin determinantista.
Tämä vähentää determinantteja siten, että asteen n determinantista tulee n-1: n determinantti. Jos sovellamme tätä sääntöä peräkkäin, voimme saada mitat 2 (2 × 2) tai 3 (3 × 3), missä sen laskenta on paljon helpompaa.
Sarrus-sääntö
Pierre Frederic Sarrus oli 1800-luvun ranskalainen matemaatikko. Suurin osa hänen matemaattisista traktaateistaan perustuu yhtälöiden ratkaisumenetelmiin ja variaatioiden laskentaan numeeristen yhtälöiden sisällä.
Yhdessä tutkielmassaan hän ratkaisi yhden mekaniikan monimutkaisimmista arvoituksista. Niveltyjen kappaleiden ongelmien ratkaisemiseksi Sarrus esitteli vaihtoehtoisten suoraviivaisten liikkeiden muuntamisen yhtenäisinä ympyräliikkeinä. Tämä uusi järjestelmä tunnetaan Sarrus-mekanismina.
Tutkimus, joka antoi tälle matemaatikolle eniten mainetta, oli se, jossa hän esitteli uuden determinanttilaskentamenetelmän artikkelissa "Nouvelles méthodes pour la résolution des équations" (uusi menetelmä yhtälöiden ratkaisemiseksi), joka julkaistiin vuosi 1833. Tämä tapa lineaaristen yhtälöiden ratkaisemiseksi tunnetaan Sarruksen sääntönä.
Sarrusin säännön avulla voimme laskea 3 × 3 -matriisin determinantin ilman tarvetta käyttää Laplasen lausea, ottaen käyttöön paljon yksinkertaisempi ja intuitiivisempi menetelmä. Sarruksen säännön arvon tarkistamiseksi otamme kaikki mitat 3 matriisin:
Sen determinantin laskenta suoritettaisiin sen pää diagonaalien tulosta vähentämällä käänteisten diagonaalien tulos. Tämä olisi seuraava:
Sarrus-säännön avulla voimme saada paljon helpomman kuvan laskettaessa determinantin diagonaaleja. Sitä yksinkertaistettaisiin lisäämällä kaksi ensimmäistä saraketta matriisin takaosaan. Tällä tavalla on selkeämmin nähtävissä, mitkä ovat sen tärkeimmät diagonaalit ja mitkä ovat käänteisiä tuotteen laskennassa.
Tämän kuvan kautta näemme Sarrusin säännön soveltamisen, sisällytämällä rivit 1 ja 2 alkuperäisen matriisin graafisen esityksen alle. Tällä tavoin päädiagnoalit ovat kolme diagonaalia, jotka ilmestyvät ensin.
Kolme käänteistä diagonaalia puolestaan ovat ne, jotka ilmestyvät ensin takana.
Tällä tavalla diagonaalit ilmestyvät visuaalisemmin, mutkistamatta determinantin resoluutiota yrittäen selvittää, mitkä matriisin elementit kuuluvat kullekin diagonaalille.
Kuten kuvassa näkyy, valitsemme diagonaalit ja laskemme kunkin funktion tuloksen. Sinisenä olevat diagonaalit lisäävät yhteen. Näiden summaan vähennämme punaisella näkyvien diagonaalien arvon.
Pakkaamisen helpottamiseksi voimme käyttää numeerista esimerkkiä, sen sijaan, että käyttäisimme algebralia termejä ja alatermejä.
Jos otetaan esimerkiksi 3 × 3 -matriisi:
Sarrusin säännön soveltamiseksi ja sen ratkaisemiseksi visuaalisemmalla tavalla meidän tulisi sisällyttää rivi 1 ja 2 riviksi 4 ja 5. On tärkeää pitää rivi 1 4. asennossa ja rivi 2 5. asennossa. Koska vaihtamalla ne, Sarrus-sääntö ei tule olemaan tehokas.
Determinantin laskemiseksi matriisi olisi seuraava:
Jatkamme laskutoimitusta kertomalla pää diagonaalien elementit. Vasemmalta lähtöisillä jälkeläisillä on positiivinen merkki; taas käänteisdiagnoaleilla, jotka alkavat oikealta, on negatiivinen merkki.
Tässä esimerkissä sinisillä olisi positiivinen merkki ja punaisilla negatiivinen merkki. Sarrus-säännön lopullinen laskelma näyttää tältä:
Tyypit determinantit
Mitat 1
Jos matriisin mitta on 1, matriisi näyttää tältä: A = (a)
Siksi sen determinantti olisi seuraava: det (A) = -A- = a
Yhteenvetona voidaan todeta, että matriisin A determinantti on yhtä suuri kuin matriisin A absoluuttinen arvo, joka tässä tapauksessa on a.
Mitat 2 determinantti
Jos siirrymme ulottuvuuden 2 matriiseihin, saadaan tyypin matriiseja:
Kun sen determinantti määritellään:
Tämän determinantin resoluutio perustuu sen pää diagonaalin kertolaskuun vähentämällä käänteisen diagonaalin tulo.
Muistikirjana voimme käyttää seuraavaa kaaviota muistaaksesi sen determinantin:
Mitta 3: n determinantti
Jos matriisin mitta on 3, tuloksena oleva matriisi olisi tämän tyyppinen:
Tämän matriisin determinantti ratkaistaan Sarrusin säännön avulla tällä tavalla:
Viitteet
- Jenny Olive (1998) Matematiikka: Opiskelijan selviytymisopas. Cambridge University Press.
- Richard J. Brown (2012) 30 sekunnin matematiikka: Matematiikan 50 eniten mieltä laajentavaa teoriaa. Ivy Press Limited.
- Dave Kirkby (2004) Maths Connect. Heinemann.
- Awol Assen (2013) Tutkimus 3 × 3 -matriisin determinanttien laskennasta. Lap Lambert akateeminen julkaisu.
- Anthony Nicolaides (1994) determinantit ja matriisit. Pass-julkaisu.
- Jesse Russell (2012) Sarrus-sääntö.
- M. Casteleiro Villalba (2004) Johdatus lineaariseen algebraan. ESIC Toimitus.