Bayesin Lause on menettely, jonka avulla voimme on ilmaista ehdollinen todennäköisyys on satunnainen tapahtuma Tietty B suhteen todennäköisyysjakauman tapahtuman A ja B, koska todennäköisyysjakauma vain A.
Tämä lause on erittäin hyödyllinen, koska sen ansiosta voimme verrata todennäköisyyttä, että tapahtuma A tapahtuu tietäen, että B tapahtui, todennäköisyydellä, että tapahtuu päinvastainen, ts. Että B tapahtuu annetulla A.
Bayesin lause oli hopeaesitys, jonka antoi kunnioittaja Thomas Bayes, 1700-luvun englantilainen teologi, joka oli myös matemaatikko. Hän oli kirjoittanut useita teologisia teoksia, mutta nykyään hän tunnetaan parilla matemaattisilla tutkielmilla, joiden joukossa edellä mainittu Bayes-lause erottuu päätuloksena.
Bayes käsitteli tätä teoriaa julkaisussa "Essee ongelman ratkaisemiseksi mahdollisuuksien oppissa", julkaistu vuonna 1763, ja jota varten on kehitetty suurta määrää. opiskelu sovelluksilla eri tiedon alueilla.
Selitys
Ensinnäkin, tämän lauseen ymmärtämiseksi tarvitaan joitain todennäköisyyden teorian peruskäsitteitä, etenkin ehdollisen todennäköisyyden kertolaskua, jonka mukaan
E- ja A-mielivaltaisille tapahtumille näytetilassa S.
Ja osioiden määritelmä, joka kertoo meille, että jos meillä on näytetilassa S A 1, A 2,…, A n -tapahtumia, nämä muodostavat osion S: stä, jos A i ovat toisiaan poissulkevia ja niiden liitto on S.
Tämän vuoksi olkoon B toinen tapahtuma. Joten voimme nähdä B: n
Missä A i risteytetään B: n kanssa, ovat toisiaan poissulkevia tapahtumia.
Ja seurauksena
Sitten soveltamalla kertolaskua
Toisaalta, A: n ehdollinen todennäköisyys määritetään B: llä
Korvaamalla asianmukaisesti meillä on tämä jokaiselle i: lle
Bayes-lauseen sovellukset
Tuloksen ansiosta tutkimusryhmät ja erilaiset yritykset ovat onnistuneet parantamaan tietoon perustuvia järjestelmiä.
Esimerkiksi tautien tutkinnassa Bayesin lause voi auttaa havaitsemaan todennäköisyyden, että sairaus löytyy ihmisryhmästä, jolla on tietty ominaisuus, ottaen tietoiksi taudin yleiset määrät ja mainittujen ominaisuuksien esiintyvyys sekä terveitä että sairaita ihmisiä.
Toisaalta korkean teknologian maailmassa se on vaikuttanut suuriin yrityksiin, jotka ovat tämän tuloksen ansiosta kehittäneet ”tietopohjaisen” ohjelmiston.
Päivittäisenä esimerkkinä meillä on Microsoft Office -apulainen. Bayesin lause auttaa ohjelmistoa arvioimaan käyttäjän esittämiä ongelmia ja määrittämään, mitä neuvoja hänelle antaa ja siten pystyä tarjoamaan parempaa palvelua käyttäjän tapojen mukaan.
Erityisesti tätä kaavaa ei otettu huomioon viime aikoihin asti, mikä johtuu pääasiassa siitä, että kun tätä tulosta kehitettiin 200 vuotta sitten, heille ei ollut juurikaan käytännöllistä käyttöä. Aikanaan tutkijat ovat kuitenkin löytäneet tapoja toteuttaa tämä tulos käytännössä suuren teknologisen kehityksen ansiosta.
Ratkaistuja harjoituksia
Harjoitus 1
Matkapuhelinyhtiöllä on kaksi konetta A ja B. 54% valmistetuista matkapuhelimista on kone A: n ja loput koneella B. Kaikki tuotetut matkapuhelimet eivät ole hyvässä kunnossa.
A: n valmistamien viallisten matkapuhelimien osuus on 0,2 ja B: n on 0,5. Mikä on todennäköisyys, että kyseisen tehtaan matkapuhelin on viallinen? Mikä on todennäköisyys, että tietäen matkapuhelimen viallisen, se tulee koneelta A?
Ratkaisu
Tässä on kokeilu, joka tehdään kahdesta osasta; ensimmäisessä osassa tapahtumia tapahtuu:
A: koneen A valmistama kenno
B: koneen B valmistama kenno
Koska kone A tuottaa 54% matkapuhelimista ja loput tuotetaan koneella B, seuraa, että kone B tuottaa 46% matkapuhelimista. Näiden tapahtumien todennäköisyydet on annettu, nimittäin:
P (A) = 0,54.
P (B) = 0,46.
Kokeen toisen osan tapahtumat ovat:
D: viallinen matkapuhelin.
E: viallinen matkapuhelin.
Kuten lausunnossa todetaan, näiden tapahtumien todennäköisyydet riippuvat ensimmäisessä osassa saadusta tuloksesta:
P (DA) = 0,2.
P (DB) = 0,5.
Näitä arvoja käyttämällä voidaan myös määrittää näiden tapahtumien komplementtien todennäköisyydet, toisin sanoen:
P (EA) = 1 - P (DA)
= 1 - 0,2
= 0,8
ja
p (EB) = 1 - P (DB)
= 1 - 0,5
= 0,5.
Nyt tapahtuma D voidaan kirjoittaa seuraavasti:
Kertolaskelman käyttäminen ehdollisen todennäköisyyden tuloksille:
Ensimmäiseen kysymykseen vastataan.
Nyt meidän on laskettava vain P (AD), jolle Bayes-lause on sovellettu:
Bayesin lauseen ansiosta voidaan todeta, että todennäköisyys, että kone A teki matkapuhelimen tietäen, että matkapuhelin on viallinen, on 0,319.
Harjoitus 2
Kolme laatikkoa sisältää mustavalkoisia palloja. Jokaisen koostumus on seuraava: U1 = {3B, 1N}, U2 = {2B, 2N}, U3 = {1B, 3N}.
Yksi laatikoista valitaan satunnaisesti ja pallo piirretään satunnaisesti, mikä osoittautuu valkoiseksi. Mikä ruutu on todennäköisimmin valittu?
Ratkaisu
Käyttämällä U1, U2 ja U3, me edustamme myös valittua ruutua.
Nämä tapahtumat muodostavat osion S: stä ja varmistetaan, että P (U1) = P (U2) = P (U3) = 1/3, koska ruutu valitaan satunnaisesti.
Jos B = {piirretty pallo on valkoinen}, meillä on P (B-U1) = 3/4, P (B-U2) = 2/4, P (B-U3) = 1/4.
Mitä haluamme saada, on todennäköisyys, että pallo on otettu pois laatikosta Ui tietäen, että mainittu pallo oli valkoinen, ts. P (Ui -B), ja katso mikä kolmesta arvosta oli korkein tietää mikä laatikko on todennäköisesti lippupallon uutto.
Bayes-lauseen soveltaminen ensimmäiseen ruutuun:
Ja kahdelle muulle:
P (U2-B) = 2/6 ja P (U3-B) = 1/6.
Sitten ensimmäinen laatikosta on sellainen, jolla on suurin todennäköisyys, että se on valittu lippupallon uuttamiseen.
Viitteet
- Kai Lai Chung. Alkuperäisen todennäköisyyden teoria stokastisilla prosesseilla. Springer-Verlag New York Inc.
- Kenneth.H. Diskreetti matematiikka ja sen sovellukset. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
- Paul L. Meyer. Todennäköisyys ja tilastolliset sovellukset. SA ALHAMBRA MEXICANA.
- Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 ratkaistua diskreetin matematiikan ongelmat. McGraw-Hill.
- Seymour Lipschutz Ph.D. Teoria ja todennäköisyysongelmat. McGraw-Hill.