Green 's lause, on laskentamenetelmä, jota käytetään yhteyden viivaintegraalit kaksinkertainen integrals tai pinta-ala. Mukana olevat toiminnot on nimettävä vektorikentiksi ja määritettävä polulla C.
Esimerkiksi rivien integraalilauseke voi olla erittäin vaikea ratkaista; kaksoisintegraaleista tulee kuitenkin varsin perustietoja toteuttamalla Greenin lause. Aina on tärkeää kunnioittaa suuntausta, tämä viittaa vastapäivään.
Greenin lause on erityinen tapaus Stokesin lauseesta, jossa vektorifunktion projektio suoritetaan xy-tasolla.
Määritelmä
Greenin lause ilmaistaan seuraavasti:
Ensimmäinen termi näyttää linjaintegraalin, jonka määrittelee polun “C”, skalaarituotteen vektorifunktion “F” ja vektorin “r” välillä.
C: Se on määritelty polku, jolla vektorifunktio projisoidaan niin kauan kuin se on määritetty kyseiselle tasolle.
F: Vektorifunktio, jossa jokainen sen komponentti on määritelty funktiona sellaisenaan (f, g).
r: Se on vektori, joka on tangentti alueelle R, jonka yli integraali on määritelty. Tässä tapauksessa toimimme tämän vektorin differentiaalilla.
Toisella aikavälillä näemme kehitetyn Greenin lauseen, jossa havaitaan g: n ja f: n osajohdannaisten eron alueella R määritelty kaksinkertainen integraali suhteessa x: iin ja y: iin. Alue-erolla, joka ei ole muuta kuin kummankin kaksiulotteisen differentiaalin (dx.dy) tuote.
Tämä lause soveltuu täydellisesti avaruuden ja pinnan integraaleihin.
Esittely
Greenin lauseen todistamiseksi yksinkertaisella tavalla tämä tehtävä jaetaan kahteen osaan. Ensinnäkin oletetaan, että vektorifunktiolla F on vain määritelmä versorissa i. Vaikka toimijaa j vastaava funktio "g" on nolla.
kirjailija
F = f (x, y) i + g (x, y) j = f (x, y) i + 0
r = x i + y j
dr = dx i + dy j
Ensin kehitämme linjan integraalin polun C yli, jolle polku on jaettu kahteen osaan, jotka menevät ensin a: sta b: een ja sitten b: stä a: han.
Laskennan peruslauseen määritelmää sovelletaan määriteltyyn integraaliin.
Lauseke järjestetään uudelleen yhdeksi integraaliksi, negatiivisesta tehdään yhteinen tekijä ja tekijöiden järjestys käännetään.
Tarkasteltaessa tätä lauseketta yksityiskohtaisesti käy ilmi, että primitiivisiä funktiokriteerejä sovellettaessa olemme f: stä johdetun lausekkeen integraalin läsnä ollessa y: n suhteen. Arvioidaan parametreina
Nyt riittää olettamaan, että vektorifunktio F on määritelty vain g (x, y) j: lle. Kun toimitaan samalla tavalla kuin edellisessä tapauksessa, saadaan seuraava:
Lopuksi otetaan kaksi todistusta ja yhdistetään siinä tapauksessa, että vektorifunktio ottaa arvot molemmille versoreille. Tällä tavalla osoitetaan, kuinka linjaintegraali, joka on määritelty ja pidetty yhden ulottuvuuden radalla, voidaan täysin kehittää tasolle ja avaruudelle.
F = f (x, y) i + g (x, y) j
Tällä tavalla Greenin lause todistetaan.
Sovellukset
Greenin lauseen sovellukset ovat laajat fysiikan ja matematiikan aloilla. Ne ulottuvat mihin tahansa sovellukseen tai käyttöön, joka voidaan antaa linjaintegraatioon.
Voiman F suorittama mekaaninen työ polun C läpi voidaan kehittää linjaintegraalilla, joka ilmaistaan alueen kaksoisintegraalina Greenin lauseen avulla.
Monien ulkoisten voimien alaisina olevien kappaleiden hitausmomentit eri sovelluspisteissä reagoivat myös linjaintegraaleihin, joita voidaan kehittää Greenin lauseen avulla.
Tällä on useita toiminnallisuuksia käytettyjen materiaalien kestävyystutkimuksissa. Missä ulkoiset arvot voidaan kvantifioida ja ottaa huomioon ennen eri elementtien kehittämistä.
Yleisesti ottaen Greenin lause helpottaa niiden alueiden ymmärtämistä ja määrittelemistä, joilla vektorifunktiot on määritelty suhteessa tien varrella olevaan alueeseen.
Historia
Se julkaistiin vuonna 1828 brittiläisen matemaatikon George Greenin kirjoittamassa sähkömagneettisten teorioiden matemaattisessa analyysissä. Siinä tutkitaan melko ratkaisevia osia laskennan soveltamisessa fysiikassa, kuten potentiaalisten funktioiden käsite, Greenin funktiot ja hänen itsensä nimittämän lauseen sovellukset.
George Green virallisti opiskelijauransa 40-vuotiaana, oltuaan tähän mennessä täysin itseoppinut matemaatikko. Opiskeltuaan Cambridgen yliopistossa hän jatkoi tutkimustaan tekemällä panoksia akustiikkaan, optiikkaan ja hydrodynamiikkaan, jotka ovat edelleen voimassa.
Suhde muihin lauseisiin
Greenin lause on erityistapaus, ja se johtuu kahdesta muusta erittäin tärkeästä lauseesta laskennan alalla. Nämä ovat Kelvin-Stokes-lause ja divergenssi- tai Gauss Ostrogradski -lause.
Kummastakin lauseesta alkaen voi päästä Greenin lauseeseen. Tietyt määritelmät ja ehdotukset ovat tarpeen tällaisten todisteiden kehittämiseksi.
Harjoitukset
- Seuraava harjoitus osoittaa, kuinka muuttaa linjan integraali kaksinkertaiseksi integraaliksi suhteessa alueeseen R.
Alkuperäinen lauseke on seuraava:
Mistä vastaavat funktiot af ja g otetaan
f (x, y) = x 3 g (x, y) = yx
df / dy = 0 dg / dx = y
Ei ole yhtä tapaa määritellä integraation rajoituksia Greenin lauseen soveltamisessa. Mutta on olemassa tapoja, joilla integraalit määriteltyäänään voivat olla yksinkertaisempia. Joten integraatiorajojen optimointi ansaitsee huomion.
Mistä integraaleja ratkaistaessa saamme:
Tämä arvo vastaa kuutioyksikköinä vektorifunktion alapuolella olevaa aluetta ja C: n määrittämää kolmion muotoista aluetta.
Sellaisen linjaintegraalin tapauksessa, jossa ei suoriteta Greenin menetelmää, olisi ollut tarpeen parametroida alueen jokaisessa osassa olevat toiminnot. Toisin sanoen suorita 3 parametrisoitua integraalia resoluutiolle. Tämä on riittävä todiste tehokkuudesta, jonka Robert Green toi lauseellaan laskentaan.
Viitteet
- Johdanto jatkumomekaniikkaan. W Michael Lai, David H. Rubin, Erhard Krempl, David Rubin Butterworth-Heinemann, 23. heinäkuuta. 2009
- Monimuuttujalaskenta. James Stewart. Cengage Learning, 22. maaliskuuta 2011
- Epävirallinen historia Greenin lauseesta ja siihen liittyvistä ideoista. James Joseph Cross. Matematiikan laitos, Melbournen yliopisto, 1975
- Lämmönjohtavuus vihreiden toimintojen avulla. Kevin D. Cole, James V. Beck, A. Haji-Sheikh, Bahman Litkouhi. Taylor & Francis, 16. heinäkuuta 2010
- Greenin lauseen soveltaminen lineaaristen integraalien rajoituksiin. Puolustustekniikan tekninen tietokeskus, 1961