- Todistus laskutoimituksen perusteesta
- Ensisijaisen factorisaation ainutlaatuisuus
- Sovellukset
- Ensisijaiset numerot luonnossa
- Ensisijaiset numerot ja verkkokaupat
- Ratkaistuja harjoituksia
- - Harjoitus 1
- Ratkaisu
- - Harjoitus 2
- Ratkaisu
- Viitteet
Aritmetiikan peruslause todetaan, että mikä tahansa suurempi luonnollinen luku kuin 1, voidaan osittaa tuote alkuluvut - noin voidaan toistaa - ja tämä muoto on ainutlaatuinen, että määrä, vaikka järjestys voivat olla erilaisia.
Muista, että alkuluku p on sellainen, joka tunnustaa vain itsensä ja positiivisina jakajina 1. Seuraavat luvut ovat alkulukuja: 2, 3, 5, 7, 11, 13 ja niin edelleen, koska äärettömyyksiä on. Lukua 1 ei pidetä alkuluvuna, koska sillä on vain yksi jakaja.
Kuva 1. Euclid (vasen) todisti aritmeettisen peruslauseen kirjassaan Elements (350 eKr.), Ja ensimmäinen täydellinen todiste johtuu Carl F. Gaussista (1777-1855) (oikealla). Lähde: Wikimedia Commons.
Omasta puolestaan numeroita, jotka eivät täytä yllä olevia, kutsutaan yhdistelmälukuiksi, kuten 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14… Otetaan esimerkiksi luku 10 ja heti näemme, että se voidaan hajottaa tuotteena. 2 ja 5:
10 = 2 × 5
Sekä 2 että 5 ovat käytännössä alkuluvut. Lause väittää, että tämä on mahdollista jokaiselle luvulle n:
Missä p 1, p 2, p 3 … p r ovat alkuluvut ja k 1, k 2, k 3,… k r ovat luonnollisia lukuja. Joten alkuluvut toimivat rakennuspalikoina, joista kertomalla luonnolliset numerot rakennetaan.
Todistus laskutoimituksen perusteesta
Aloitamme osoittamalla, että jokainen luku voidaan hajottaa primaaritekijöiksi. Annetaan olla luonnollinen luku n> 1, alkuluku tai komposiitti.
Esimerkiksi, jos n = 2, se voidaan ilmaista: 2 = 1 × 2, mikä on alkuluku. Jatka samalla tavalla seuraavilla numeroilla:
3 = 1 × 3
4 = 2 × 2
5 = 1 × 5
6 = 2 × 3
7 = 1 × 7
8 = 2 × 2 × 2
Jatkamme näin, hajottamalla kaikki luonnolliset luvut, kunnes saavutamme luvun n -1. Katsotaan, voimmeko tehdä sen seuraavalla numerolla: n.
Jos n on prime, voimme hajottaa sen muodossa n = 1 × n, mutta oletetaan, että n on komposiitti ja sen jakaja d on loogisesti pienempi kuin n:
1 <d <n.
Jos n / d = p 1, p 1: llä alkuluku, niin n kirjoitetaan:
n = p 1.d
Jos d on ensisijainen, ei ole enää mitään tekemistä, mutta jos ei, niin on luku n 2, joka on d: n jakaja ja pienempi kuin tämä: n 2 <d, joten d voidaan kirjoittaa toisen tuloksena n 2: lle alkuluku p 2:
d = p 2 n 2
Se, että korvaamalla alkuperäisessä numerossa n antaisi:
n = p 1.p 2 * n 2
Oletetaan nyt, että n 2 ei myöskään ole alkuluku ja kirjoitamme sen alkuluvun p 3 tuloksena jakajalla n 3 siten, että n 3 <n 2 <n 1 <n:
n 2 = p 3 * n 3 → n = p 1 p 2 p 3 * n 3
Toistamme tämän toimenpiteen äärellisen monta kertaa, kunnes saamme:
n = p 1.p 2.p 3… p r
Tämä tarkoittaa, että on mahdollista hajottaa kaikki kokonaisluvut 2: sta lukuun n, alkulukujen tuloksena.
Ensisijaisen factorisaation ainutlaatuisuus
Nyt tarkistetaan, että lukuun ottamatta tekijöiden järjestystä, tämä hajoaminen on ainutlaatuista. Oletetaan, että n voidaan kirjoittaa kahdella tavalla:
n = p 1.p 2.p 3… p r = q 1. q 2.q 3…..q s (r ≤ s)
Tietenkin q 1, q 2, q 3… ovat myös alkulukuja. Koska p 1 jakaa (q 1. q 2.q 3 …..q s), niin p 1 on yhtä kuin ”q”, ei ole väliä kumpi, joten voidaan sanoa, että p 1 = q 1. Jaamme n p: llä 1 ja saadaan:
p 2.p 3… p r = . q 2.q 3 …..q s
Toistamme menettelytavan, kunnes jaamme kaiken p r: llä, niin saadaan:
1 = q r + 1 … q s
Mutta ei ole mahdollista saavuttaa arvoa q r + 1 … q s = 1, kun r <s, vain jos r = s. Vaikka myöntämällä, että r = s, tunnustetaan myös, että "p" ja "q" ovat samat. Siksi hajoaminen on ainutlaatuista.
Sovellukset
Kuten olemme aiemmin sanoneet, alkuluvut edustavat, jos haluat, numeroiden atomeja, niiden peruskomponentteja. Joten aritmeetian peruslauseella on useita sovelluksia, selvin: voimme työskennellä helpommin suurten numeroiden kanssa, jos ilmaistamme ne pienempien lukujen tuloksena.
Samalla tavalla voidaan löytää suurin yhteinen monikerta (LCM) ja suurin yhteinen jakaja (GCF), menetelmä, joka auttaa meitä tekemään fraktiosummia helpommin, löytämään suurten määrien juuret tai toimimaan radikaalien kanssa, rationalisoimaan ja ratkaisemaan sovellusongelmat, jotka ovat luonteeltaan hyvin erilaisia.
Lisäksi alkuluvut ovat erittäin arvoituksellisia. Niissä ei vielä tunnisteta mallia, eikä ole mahdollista tietää, kumpi tulee seuraavaksi. Toistaiseksi suurin on tietokoneiden löytämä, ja siinä on 24 862 048 numeroa, vaikka uudet alkuluvut ilmestyvätkin harvemmin.
Ensisijaiset numerot luonnossa
Yhdysvaltain koillispuolella elävät sikaat, sikadidot tai sikaat syntyvät 13 tai 17 vuoden jaksoina. Ne ovat molemmat alkuluvut.
Tällä tavalla kadukadat välttyvät sattumalta petoeläimiltä tai kilpailijoilta, joilla on muita syntymän jaksoja, eivätkä kabikadot eri lajit kilpaile keskenään, koska ne eivät ole samanlaisia saman vuoden aikana.
Kuva 2. Yhdysvaltojen itäosien Magicicada-sikada ilmestyy 13–17 vuoden välein. Lähde: Pxfuel.
Ensisijaiset numerot ja verkkokaupat
Alkunumeroita käytetään salauksessa pitämään luottokorttitiedot salassa, kun teet ostoksia Internetissä. Tällä tavalla tiedot, jotka ostaja saapuu myymälään tarkasti menettämättä tai joutumatta häikäilemättömien ihmisten käsiin.
Miten? Korttien tiedot koodataan lukumäärään N, joka voidaan ilmaista alkulukujen tulona. Nämä alkuluvut ovat avain, jonka tiedot paljastavat, mutta niitä ei tunneta yleisölle, ne voidaan dekoodata vain verkossa, johon ne on suunnattu.
Numeron hajottaminen tekijöiksi on helppo tehtävä, jos numerot ovat pieniä (katso ratkaistuja tehtäviä), mutta tässä tapauksessa avaimena käytetään 100-numeroisia alkulukuja, jotka kerrottuna antavat paljon suurempia lukuja, joiden yksityiskohtainen hajoaminen sisältää valtavan tehtävän.
Ratkaistuja harjoituksia
- Harjoitus 1
Jakaa 1029 alkupisteisiin.
Ratkaisu
1029 jaetaan kolmella. Se on tiedossa, koska lisättäessä sen numeroita summa on 3: 1 + 0 + 2 + 9 = 12: n kerrannainen. Koska tekijöiden järjestys ei muuta tuotetta, voimme aloittaa siitä:
1029 3
343
1029 = 3 × 343
Toisaalta 343 = 7 3, niin:
1029 = 3 × 7 3 = 3 × 7 × 7 × 7
Ja koska sekä 3 että 7 ovat alkulukuja, tämä on 1029: n hajoaminen.
- Harjoitus 2
Kerroin trinomiaalille x 2 + 42x + 432.
Ratkaisu
Trinomiaali kirjoitetaan uudelleen muodossa (x + a). (x + b) ja meidän on löydettävä a ja b arvot siten, että:
a + b = 42; ab = 432
Luku 432 hajotetaan alkeiskertoimiksi ja siitä valitaan sopiva yhdistelmä kokeilun ja virheen avulla siten, että lisätyt kertoimet antavat 42.
432 = 2 4 × 3 3 = 2 × 3 3 × 2 3 = 2 4 × 3 2 × 3 =…
Sieltä on useita mahdollisuuksia kirjoittaa 432:
432 = 16 × 27 = 24 × 18 = 54 × 8 = 6 × 72….
Ja kaikki löytyy yhdistämällä tuotteita päätekijöiden välillä, mutta ehdotetun tehtävän ratkaisemiseksi ainoa sopiva yhdistelmä on: 432 = 24 × 18, koska 24 + 18 = 42, sitten:
x 2 + 42x + 432 = (x + 24). (x +18)
Viitteet
- Baldor, A. 1986. Teoreettinen käytännön aritmeettinen. Compañía Cultural Editora de Textos Americanos SA
- BBC World. Piilotettu luonnonkoodi. Palautettu osoitteesta: bbc.com.
- De Leon, Manuel. Ensisijaiset numerot: Internetin vartijat. Palautettu: blogs.20minutos.es.
- UNAM. Lukuteoria I: Aritmeetian peruslause. Palautettu osoitteesta: teoriadenumeros.wikidot.com.
- Wikipedia. Aritmeetian peruslause. Palautettu osoitteesta: es.wikipedia.org.