TULOKSENA OLEVA VEKTORI: LASKENTA, ESIMERKIT, HARJOITUKSET - FYYSINEN - 2024

Tuloksena oleva vektori on se, joka saadaan operaatiolla vektoreilla, joiden tulos on myös vektori. Normaalisti tämä operaatio on kahden tai useamman vektorin summa, jonka avulla saadaan vektori, jonka vaikutus on ekvivalentti.

Tällä tavalla saadaan vektorit, kuten syntyvä nopeus, kiihtyvyys tai voima. Esimerkiksi, kun useita voimia F ₁, F ₂, F ₃,… vaikuttavat vartaloon. kaikkien näiden voimien vektorisumma on yhtä suuri kuin nettovoima (syntyvä), joka ilmaistaan ​​matemaattisesti seuraavasti:

F ₁ + F ₂ + F ₃ +… = F _R tai F _N

Kuva 1. Lumen paino on jakautunut katolle ja sen vaikutus voidaan korvata yhdellä tuloksena olevalla voimalla, joka kohdistetaan oikeaan paikkaan. Lähde: Pixabay.

Tulokseksi saatu vektori, olipa se voimia tai jokin muu vektorin suuruus, määritetään soveltamalla vektorin lisäämisen sääntöjä. Koska vektoreilla on suunta ja aisti sekä numeerinen arvo, moduulien lisääminen ei riitä, jotta tuloksena oleva vektori olisi.

Tämä pätee vain tapauksissa, joissa mukana olevat vektorit ovat samaan suuntaan (katso esimerkkejä). Muutoin on käytettävä vektorisummenetelmiä, jotka tapauksesta riippuen voivat olla geometrisiä tai analyyttisiä.

esimerkit

Geometriset menetelmät tuloksena olevan vektorin löytämiseksi ovat poikittaismenetelmä ja suuntausmenetelmä.

Mitä tulee analyyttisiin menetelmiin, on komponenttimenetelmä, jolla voidaan löytää mistä tahansa vektorijärjestelmästä johtuva vektori edellyttäen, että meillä on sen Cartesian komponentit.

Geometriset menetelmät kahden vektorin lisäämiseksi

Oletetaan, että vektorit u ja v (merkitsemme ne lihavoituna erottamaan ne skalaareista). Kuvassa 2a) meillä on ne sijaitsevat tasossa. Kuviossa 2 b) se on käännetty vektoriksi v siten, että sen alkuperä vastaa u: n loppua. Tulokseksi saatu vektori siirtyy ensimmäisen (u) alkuperästä viimeisen (v) kärkeen:

Kuva 2. Tuloksena oleva vektori vektorien graafisesta summasta. Lähde: itse tehty.

Tuloksena oleva kuva on tässä tapauksessa kolmio (kolmio on 3-puolinen monikulmio). Jos meillä on kaksi vektoria samaan suuntaan, menettely on sama: aseta yksi vektoreista toisensa jälkeen ja vedä se, joka kulkee ensimmäisen alkuperästä tai hännästä viimeisen kärkeen tai loppuun.

Huomaa, että tämän proseduurin järjestyksellä ei ole merkitystä, koska vektorien summa on kommutatiivinen.

Huomaa myös, että tässä tapauksessa syntyvän vektorin moduuli (pituus tai koko) on lisättyjen vektorien moduulien summa, toisin kuin edellisessä tapauksessa, jossa tuloksena olevan vektorin moduuli on pienempi kuin osallistujamoduulit.

Parallelogram-menetelmä

Tämä menetelmä on erittäin sopiva, kun joudut lisäämään kaksi vektoria, joiden lähtöpisteet vastaavat esimerkiksi xy-koordinaattijärjestelmän alkuperää. Oletetaan, että tämä koskee vektoria u ja v (kuva 3a):

Kuvio 3. Kahden vektorin summa, jotka käyttävät rinnansuuntaista menetelmämenetelmää tuloksena olevan vektorin kanssa turkoosi sinisellä. Lähde: itse tehty.

Kuvassa 3b) on rakennettu suuntakuvio u: n ja v: n suuntaisten katkoviivojen avulla. Tuloksena olevan vektorin alkuperä on O: ssa ja sen päässä pisteessä, jossa katkoviivat leikkaavat. Tämä menettely vastaa täysin edellisessä osassa kuvattua menettelyä.

Harjoitukset

-Harjoitus 1

Kun otetaan huomioon seuraavat vektorit, etsi tuloksena oleva vektori käyttämällä poikittaismenetelmää.

Kuva 4. Vektorit tulosten löytämiseksi monikulmaisella menetelmällä. Tehtävä 1. Lähde: oma yksityiskohtainen kuvaus.

Ratkaisu

Poikittaismenetelmä on ensimmäinen nähdyistä menetelmistä. Muista, että vektorien summa on kommutatiivinen (lisäysten järjestys ei muuta summaa), joten voit aloittaa millä tahansa vektorista, esimerkiksi u (kuva 5a) tai r (kuva 5b):

Kuva 5. Monikulmaista menetelmää käyttävien vektorien summa. Lähde: itse tehty.

Saatu kuva on monikulmio ja tuloksena olevaa vektoria (sinisellä) kutsutaan R: ksi. Jos aloitat toisella vektorilla, muodostunut muoto voi olla erilainen, kuten esimerkissä esitetään, mutta tuloksena oleva vektori on sama.

Harjoitus 2

Seuraavassa kuvassa tiedämme, että vektorien u ja v moduulit ovat vastaavasti u = 3 mielivaltaista yksikköä ja v = 1,8 mielivaltaista yksikköä. Kulma, jonka u tekee positiivisella x-akselilla, on 45º, kun taas v tekee 60 astetta y-akselilla, kuten kuvasta nähdään. Etsi tuloksena oleva vektori, suuruus ja suunta.

Ratkaisu

Edellisessä osassa tuloksena oleva vektori löydettiin soveltamalla rinnansuuntaista menetelmää (kuvassa turkoosi).

Helppo tapa löytää tuloksena oleva vektori analyyttisesti on ilmaista adddendivektorit niiden Cartesian-komponenteina, mikä on helppo tehtävä, kun moduuli ja kulma tunnetaan, kuten vektorit tässä esimerkissä:

u _x = u. cos 45º = 3 x cos 45º = 2,12; u _y = u. sin 45º = 3x sin 45º = 2,12

v _x = v. sin 60º = 1,8 x sin 60º = 1,56; v _y = -v. cos 60º = -1,8 x cos 60º = - 0,9

Vektorit u ja v ovat tasoon kuuluvia vektoreita, joilla on siten molemmat kaksi komponenttia. Vektori u on ensimmäisessä kvadrantissa ja sen komponentit ovat positiivisia, kun taas vektori v on neljännessä kvadrantissa; sen x-komponentti on positiivinen, mutta sen projektio pystyakselille putoaa negatiiviselle y-akselille.

Tulokseksi saadun vektorin Cartesian komponenttien laskeminen

Tulokseksi saatu vektori löydetään lisäämällä algebrallisesti vastaavat x- ja y-komponentit, jotta saadaan niiden Cartesian-komponentit:

R _x = 2,12 + 1,56 = 3,68

R _y = 2,12 + (-0,9) = 1,22

Kun Cartesian komponentit on määritelty, vektori tunnetaan täysin. Saatu vektori voidaan ilmaista suluissa olevalla merkinnällä:

R = <3,68; 1.22> mielivaltaiset yksiköt

Haarukkeja käytetään vektorin erottamiseen tason (tai avaruuden) pisteestä. Toinen tapa ilmaista tuloksena oleva vektori analyyttisesti on käyttämällä yksikkövektoreita i ja j tasossa (i, j ja k avaruudessa):

R = 3,68 i + 1,22 j mielivaltaisia ​​yksiköitä

Koska saadun vektorin molemmat komponentit ovat positiivisia, vektori R kuuluu ensimmäiseen kvadranttiin, joka on jo nähty graafisesti aikaisemmin.

Tuloksena olevan vektorin suuruus ja suunta

Tietäen suorakulmaiset komponentit, suuruus R lasketaan läpi Pythagoraan lause, koska tuloksena vektori R, yhdessä sen komponenttien R _x ja R _ja muodostavat suorakulmaisen kolmion:

Suuruus tai moduuli: R = (3,68 ² + 1,22 ²) ^½ = 3,88

Suunta q ottaen positiiviseksi x-akseliksi viite: q = arctan (R _y / R _x) = arctg (1,22 / 3,68) = 18,3 º

Viitteet

1. Vektorien ja sääntöjen lisääminen. Haettu osoitteesta newt.phys.unsw.edu.au
2. Figueroa, D. Sarja: Fysiikka tieteiden ja tekniikan aloille. Osa 1. Kinematics 31-68.
3. Fyysinen. Moduuli 8: Vektorit. Palautettu osoitteesta: frtl.utn.edu.ar
4. Hibbeler, R. 2006. Mechanics for Engineers. Staattinen 6. painos. Manner kustantamo. 15-53.
5. Vektorin lisäyslaskin. Haettu osoitteesta www.1728.org