KULMANOPEUS: MÄÄRITELMÄ, KAAVA, LASKENTA JA HARJOITUKSET - FYYSINEN - 2026

Kulmanopeus on mitta pyörimisnopeutta ja on määritelty kulma, joka pyörittää asema vektori pyörivän kappaleen, aikayksikköä kohti. Se on suuruusluokka, joka kuvaa erittäin hyvin monien esineiden, jotka pyörivät jatkuvasti kaikkialla: CD-levyjen, auton pyörien, koneiden, maan ja monien muiden liikkumista.

Kaavio «London eye» näkyy seuraavassa kuvassa. Se edustaa pisteen P edustaman matkustajan liikettä, joka seuraa pyöreää polkua, nimeltään c:

Kaavamainen ympyräpolku, jota «London eye» -matkustaja seuraa. Lähde: itse tehty.

Matkustaja on asemassa P hetkessä t ja sitä hetkeä vastaava kulma-asento on ϕ.

Hetkestä t kuluu ajanjakso Δt. Tänä aikana täsmällisen matkustajan uusi sijainti on P 'ja kulma-asema on kasvanut kulmalla Δϕ.

Kuinka kulmanopeus lasketaan?

Kiertoarvojen suhteen käytetään kreikkalaisia ​​kirjaimia niiden erottamiseksi lineaarisista suuruuksista. Joten alun perin keskimääräinen kulmanopeus ω _m määritellään kulmaksi tiettynä ajanjaksona.

Sitten jako Δϕ / Δt edustaa keskimääräistä kulmanopeutta ω _m ajankohtien t ja t + Δt välillä.

Jos haluat laskea kulmanopeuden juuri hetkessä t, sinun on laskettava suhde Δϕ / Δt kun Δt ➡0:

Lineaarisen ja kulmanopeuden välinen suhde

Lineaarinen nopeus v on jaettu ajomatkan ja sen kuljettamiseen käytetyn ajan välinen suhde.

Yllä olevassa kuvassa kuljettu valokaari on Δs. Mutta tämä kaari on verrannollinen kulmaan ja säteen, seuraavan suhteen täyttyessä, joka on voimassa niin kauan kuin ϕϕ mitataan radiaaneina:

Δs = r ・ Δϕ

Jos jaamme edellisen lausekkeen aikarajalla Δt ja otamme rajan, kun Δt ➡0, saadaan:

v = r ・ ω

Tasainen pyörimisliike

Kuvassa on kuuluisa 'London eye', 135 metrin korkea pyörivä pyörä, joka kääntyy hitaasti, jotta ihmiset voivat nousta mökkeihin sen juurella ja nauttia Lontoon maisemista. Lähde: Pixabay.

Pyörimisliike on tasainen, jos millä tahansa havaitulla hetkellä kuljettu kulma on sama samalla ajanjaksolla.

Jos kierto on tasainen, kulmanopeus on joka hetki sama kuin keskimääräinen kulmanopeus.

Lisäksi, kun täydellinen käännös on tehty, kuljettu kulma on 2π (vastaa 360º). Siksi tasaisen kierteen yhteydessä kulmanopeus ω liittyy ajanjaksoon T seuraavalla kaavalla:

f = 1 / T

Toisin sanoen tasaisessa pyörimisessä kulmanopeus suhteutetaan taajuuteen:

ω = 2π ・ f

Ratkaistu kulmanopeuden ongelmat

Harjoitus 1

"London Eye" -nimisen suuren kehruupyörän hytit liikkuvat hitaasti. Ohjaamon nopeus on 26 cm / s ja pyörän halkaisija on 135 m.

Laske näiden tietojen avulla:

i) Pyörän kulmanopeus

ii) Kiertotaajuus

iii) Aika, joka kuluu matkustamon täydelliseen käännökseen.

vastaukset:

i) Nopeus v m / s on: v = 26 cm / s = 0,26 m / s.

Säde on puolet halkaisijasta: r = (135 m) / 2 = 67,5 m

v = r ・ ω => ω = v / r = (0,26 m / s) / (67,5 m) = 0,00385 rad / s

ii) ω = 2π ・ f => f = ω / 2π = (0,00385 rad / s) / (2π rad) = 6,13 x 10 - ⁴ kierrosta / s

f = 6,13 x 10 ^ -4 käännöstä / s = 0,0368 kierros / min = 2,21 käännöstä / tunti.

iii) T = 1 / f = 1 / 2,21 kierrosta / tunti = 0,45311 tunti = 27 min 11 sekuntia

Harjoitus 2

Leluauto liikkuu pyöreällä radalla, jonka säde on 2m. 0 sekunnissa sen kulma-asema on 0 rad, mutta ajan t jälkeen sen kulma-asento annetaan:

φ (t) = 2 ・ t

määrittää:

i) Kulmanopeus

ii) Lineaarinen nopeus milloin tahansa.

vastaukset:

i) Kulmanopeus on johdannainen kulmasijainnista: ω = φ '(t) = 2.

Toisin sanoen leluautolla on jatkuvasti vakio kulmanopeus, joka on yhtä suuri kuin 2 rad / s.

ii) Auton lineaarinen nopeus on: v = r ・ ω = 2 m ・ 2 rad / s = 4 m / s = 14,4 km / h

Harjoitus 3

Sama auto edellisestä harjoituksesta alkaa pysähtyä. Sen kulmasijainti ajan funktiona annetaan seuraavalla lausekkeella:

φ (t) = 2 ・ t - 0,5 ・ t ²

määrittää:

i) Kulmanopeus milloin tahansa

ii) Lineaarinen nopeus milloin tahansa

iii) Aika, joka tarvitaan pysähtymiseen siitä hetkestä alkaen, kun se alkaa hidastua

iv) Kuljettu kulma

v) ajettu matka

vastaukset:

i) Kulmanopeus on johdannainen kulmasijainnista: ω = φ '(t)

ω (t) = φ '(t) = (2 ・ t - 0,5 ・ t ²)' = 2 - t

ii) Auton lineaarinen nopeus saadaan milloin tahansa:

v (t) = r ・ ω (t) = 2 ・ (2 - t) = 4 - 2 t

iii) Aika, joka sen pysähtyy hetkestä alkaen, jolloin se alkaa hidastua, määritetään tietämällä hetki, jolloin nopeudesta v (t) tulee nolla.

v (t) = 4 - 2 t = 0 => t = 2

Tämä tarkoittaa, että se pysähtyy 2 sekunnin kuluttua jarrutuksen alkamisesta.

iv) Kahden sekunnin ajanjaksosta siitä, kun se alkaa jarruttaa, kunnes se pysähtyy, kulkee by: n (2) ilmoittama kulma:

φ (2) = 2 ・ 2 - 0,5 ・ 2 ^ 2 = 4 - 2 = 2 rad = 2 x 180 / π = 114,6 astetta

v) 2 sekunnin ajan jarrutuksen alusta pysähdykseen kuljetetaan etäisyys s, joka annetaan:

s = r ・ φ = 2m ・ 2 rad = 4 m

Harjoitus 4

Auton pyörien halkaisija on 80 cm. Jos auto liikkuu nopeudella 100 km / h. Löydä: i) pyörien kulmanopeus, ii) pyörien pyörimisnopeus, iii) pyörän kääntymien lukumäärä yhden tunnin matkalla.

vastaukset:

i) Ensinnäkin aiomme muuntaa auton nopeuden Km / h arvosta h / s

v = 100 km / h = (100 / 3,6) m / s = 27,78 m / s

Pyörien kulmanopeus saadaan seuraavalla kaavalla:

ω = v / r = (27,78 m / s) / (0,4 m) = 69,44 rad / s

ii) Pyörien pyörimisnopeus lasketaan seuraavalla kaavalla:

f = ω / 2π = (69,44 rad / s) / (2π rad) = 11,05 kierrosta / s

Pyörimisnopeus ilmaistaan ​​yleensä kierroksina minuutissa / min

f = 11,05 kierros / s = 11,05 käännös / (1/60) min = 663,15 rpm

iii) Pyörien suorittamien kierrosten lukumäärä yhden tunnin matkalla lasketaan tietämällä, että 1 tunti = 60 min ja että taajuus on N kierrosten lukumäärä jaettuna ajanjaksolla, jonka aikana nämä N kierrosta tehdään.

f = N / t => N = f ・ t = 663,15 (käännökset / min) x 60 min = 39788,7 käännöstä.

Viitteet

1. Giancoli, D. Fysiikka. Periaatteet sovellusten kanssa. 6. painos. Prentice Hall. 106-108.
2. Resnick, R. (1999). Fyysinen. Osa 1. Kolmas painos espanjaksi. Meksiko. Compañía Toimituksellinen Continental SA de CV 67-69.
3. Serway, R., Jewett, J. (2008). Fysiikka tiedettä ja tekniikkaa varten. Nide 1. 7.. Painos. Meksiko. Cengagen oppimiseditoijat. 84-85.
4. geogebra.org