13 SARJASARJAA JA ESIMERKKEJÄ - KULTTUURISANASTO - 2025

Luokat sarjaa voidaan luokitella yhtä, äärellinen ja ääretön, osajoukkoja, onteloita, erillisiä tai disjunktiivinen, vastaava, yhtenäinen, päällekkäin tai limittäin, yhtenevät ja ei-yhtenevät, muiden muassa.

Sarja on kokoelma esineitä, mutta uusia termejä ja symboleja tarvitaan, jotta voimme puhua järkevästi sarjoista. Esimerkiksi sanomme joukon hevosia, joukon todellisia lukuja, joukon ihmisiä, joukon koiria jne.

Tavallisessa kielessä maailma, jossa elämme, on järkevää luokittelemalla asiat. Espanjan kielellä on monia sanoja sellaisille kokoelmille. Esimerkiksi "lintulauma", "nautakarja", "mehiläisparvi" ja "muurahaisten siirtomaa".

Matematiikassa jotain vastaavaa tehdään luokitellessaan lukuja, geometrisia lukuja jne. Näiden joukkojen objekteja kutsutaan joukkoelementeiksi.

Sarjan kuvaus

Sarja voidaan kuvata luetteloimalla kaikki sen elementit. Esimerkiksi, S = {1, 3, 5, 7, 9}.

"S on joukko, jonka elementit ovat 1, 3, 5, 7 ja 9." Sarjan viisi elementtiä erotetaan pilkuilla ja luetellaan aaltosulkeilla.

Sarja voidaan myös rajata esittämällä sen elementtien määritelmä hakasulkeissa. Siten yllä oleva joukko S voidaan kirjoittaa myös seuraavasti:

S = {parittomat kokonaisluvut alle 10}.

Sarjan on oltava selvästi määritelty. Tämä tarkoittaa, että sarjan elementtien kuvauksen on oltava selkeä ja yksiselitteinen. Esimerkiksi {korkeat ihmiset} ei ole joukko, koska ihmisillä on taipumus olla eri mieltä siitä, mitä 'pitkä' tarkoittaa. Esimerkki hyvin määritellystä joukosta on

T = {aakkosten kirjaimet}.

Sarjatyypit

1- yhtä suuret sarjat

Kaksi sarjaa ovat samat, jos niissä on täsmälleen samat elementit.

Esimerkiksi:

• Jos A = {aakkosten vokaalit} ja B = {a, e, i, o, u}, sanotaan, että A = B.
• Toisaalta joukot {1, 3, 5} ja {1, 2, 3} eivät ole samoja, koska niillä on erilaisia ​​elementtejä. Tämä on kirjoitettu muodolla {1, 3, 5} ≠ {1, 2, 3}.
• Järjestyksellä, jolla elementit kirjoitetaan suluissa, ei ole mitään merkitystä. Esimerkiksi {1, 3, 5, 7, 9} = {3, 9, 7, 5, 1} = {5, 9, 1, 3, 7}.
• Jos kohde esiintyy luettelossa useammin kuin kerran, se lasketaan vain kerran. Esimerkiksi {a, a, b} = {a, b}.

Joukossa {a, a, b} on vain kaksi elementtiä a ja b. Toinen maininta a on tarpeeton toisto ja se voidaan jättää huomioimatta. Sitä pidetään yleensä huonoina merkintöinä, kun elementti luetellaan useammin kuin kerran.

2 - äärelliset ja ääretön joukot

Rajoitetut joukot ovat niitä, joissa kaikki sarjan elementit voidaan laskea tai luetella. Tässä on kaksi esimerkkiä:

• {Kokonaislukut välillä 2 000 - 2 005} = {2 001, 2 002, 2 003, 2 004}
• {Kokonaislukut välillä 2 000 - 3 000} = {2 001, 2 002, 2 003,…, 2 999}

Toisen esimerkin kolme pistettä '…' edustavat sarjan muita 995 numeroa. Kaikki kohteet olisi voinut olla luettelossa, mutta tilan säästämiseksi pisteitä käytettiin sen sijaan. Tätä merkintää voidaan käyttää vain, jos on täysin selvää, mitä se tarkoittaa, kuten tässä tilanteessa.

Sarja voi olla myös ääretön - tärkeätä on vain, että se on hyvin määritelty. Tässä on kaksi esimerkkiä äärettömistä sarjoista:

• {Parilliset numerot ja kokonaisluvut, jotka ovat suurempia tai yhtä suuret kuin kaksi} = {2, 4, 6, 8, 10,…}
• {Kokonaisluku suurempi kuin 2 000} = {2 001, 2 002, 2 003, 2 004,…}

Molemmat sarjat ovat äärettömiä, koska riippumatta siitä kuinka monta kohdetta yrität luetella, sarjassa on aina enemmän kohteita, joita ei voi luetella, riippumatta siitä kuinka kauan yrität. Tällä kertaa pisteillä '…' on hiukan erilainen merkitys, koska ne edustavat äärettömän monta numeroimatonta kohdetta.

3 - Asettaa alajoukot

Osajoukko on osa joukkoa.

• Esimerkki: Pöllöt ovat erityinen lintulaji, joten jokainen pöllö on myös lintu. Sarjojen kielellä se ilmaistaan ​​sanomalla, että pöllöjoukko on osa lintujoukkoa.

Sarjaa S kutsutaan toisen joukon T osajoukkoksi, jos S: n kukin elementti on T. elementti. Tämä kirjoitetaan:

• S ⊂ T (lue "S on T: n osajoukko")

Uusi symboli ⊂ tarkoittaa 'on osajoukko'. Joten {pöllöt} ⊂ {linnut}, koska jokainen pöllö on lintu.

• Jos A = {2, 4, 6} ja B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, niin A ⊂ B,

Koska kaikki elementit A ovat elementti B.

Symboli ⊄ tarkoittaa 'ei alajoukkoa'.

Tämä tarkoittaa, että ainakin yksi elementti S: stä ei ole T.: n elementti. Esimerkiksi:

• {Linnut} ⊄ {lentävät olennot}

Koska strutsi on lintu, mutta se ei lentä.

• Jos A = {0, 1, 2, 3, 4} ja B = {2, 3, 4, 5, 6}, niin A ⊄

Koska 0 ∈ A, mutta 0 ∉ B, luemme: “0 kuuluu joukkoon A”, mutta “0 ei kuulu joukkoon B”.

4 - Tyhjä sarja

Symboli Ø edustaa tyhjää sarjaa, joka on sarja, jossa ei ole yhtään elementtiä. Mikään koko maailmankaikkeudessa ei ole osa Ø:

• - Ø - = 0 ja X ∉ Ø riippumatta siitä, mikä X voi olla.

On vain yksi tyhjä joukko, koska kahdella tyhjillä ryhmillä on täsmälleen samat elementit, joten niiden on oltava yhtä suuret toistensa kanssa.

5- Hajottavat tai hajottavat sarjat

Kahta sarjaa kutsutaan disjointsiksi, jos niillä ei ole yhteisiä elementtejä. Esimerkiksi:

• Joukot S = {2, 4, 6, 8} ja T = {1, 3, 5, 7} ovat erottuneet.

6 - vastaavat sarjat

Sanotaan, että A ja B ovat ekvivalentteja, jos niillä on sama määrä elementtejä, jotka muodostavat ne, ts. Joukon A kardinaaliluku on yhtä suuri kuin joukon B kardinaaliluku, n (A) = n (B). Vastaavaa joukkoa kuvaava symboli on '↔'.

• Esimerkiksi:

  A = {1, 2, 3}, siksi n (A) = 3

  B = {p, q, r}, siksi n (B) = 3

  Siksi A ↔ B

7- yksikkösarjat

Se on joukko, jossa on tarkalleen yksi elementti. Toisin sanoen, on vain yksi elementti, joka muodostaa kokonaisuuden.

Esimerkiksi:

• S = {a}
• Olkoon B = {on parillinen alkuluku}

Siksi B on yksikköjoukko, koska on vain yksi alkuluku, joka on parillinen, eli 2.

8- Universal tai referenssisarja

Yleisjoukko on kaikkien objektien kokoelma tietyssä kontekstissa tai teoriassa. Kaikki muut kehysjoukot muodostavat yleisjoukon osajoukot, jotka on nimetty kursivoidulla iso kirjaimella U.

U: n tarkka määritelmä riippuu tarkasteltavasta tilanteesta tai teoriasta. Esimerkiksi:

• U voidaan määritellä kaikkien elävien asioiden joukkoksi maapallolla. Tällöin kaikkien kissan joukko on U: n osajoukko, kaikkien kalojen joukko on U: n toinen osajoukko.
• Jos U määritellään kaikkien eläinten joukkoksi maapallolla, niin kaikkien kissan joukko on U: n osajoukko, kaikkien kalojen joukko on U: n toinen osajoukko, mutta kaikkien puiden joukko ei ole alajoukko U.

9- Päällekkäiset tai päällekkäiset sarjat

Kahta sarjaa, joilla on ainakin yksi elementti yhteisiä, kutsutaan päällekkäisiksi ryhmiksi.

• Esimerkki: Olkoot X = {1, 2, 3} ja Y = {3, 4, 5}

Kahdessa joukossa X ja Y on yksi yhteinen elementti, numero 3. Siksi niitä kutsutaan päällekkäisiksi joukkoiksi.

10- Kongruentti sarjat.

Ne ovat sarjoja, joissa jokaisella elementillä A on sama etäisyyssuhde sen kuvaelementteihin B. Esimerkki:

• B {2, 3, 4, 5, 6} ja A {1, 2, 3, 4, 5}

Etäisyys: 2 ja 1, 3 ja 2, 4 ja 3, 5 ja 4, 6 ja 5 on yksi (1) yksikkö, joten A ja B ovat yhtenäisiä joukkoja.

11- Ei-yhtenäiset sarjat

Ne ovat niitä, joissa yhtä etäisyyssuhdetta kunkin A-elementin välillä ei voida vahvistaa sen kuvan kanssa B: ssä. Esimerkki:

• B {2, 8, 20, 100, 500} ja A {1, 2, 3, 4, 5}

Etäisyys: 2 ja 1, 8 ja 2, 20 ja 3, 100 ja 4, 500 ja 5 on erilainen, joten A ja B ovat epäyhtenäisiä sarjoja.

12- Homogeeniset sarjat

Kaikki sarjan muodostavat elementit kuuluvat samaan luokkaan, tyylilajiin tai luokkaan. Ne ovat samantyyppisiä. Esimerkki:

• B {2, 8, 20, 100, 500}

Kaikki B: n elementit ovat lukuja, joten joukkoa pidetään homogeenisena.

13- Heterogeeniset sarjat

Sarjaan kuuluvat elementit kuuluvat eri luokkiin. Esimerkki:

• A {z, auto, π, rakennukset, lohko}

Ei ole luokkaa, johon kaikki joukon elementit kuuluvat, joten se on heterogeeninen joukko.

Viitteet

1. Brown, P. et ai. (2011). Sarjat ja Venn-kaaviot. Melbourne, Melbournen yliopisto.
2. Äärellinen sarja. Palautettu osoitteesta: math.tutorvista.com.
3. Hoon, L. ja Hoon, T (2009). Math Insights Secondary 5 Normaali (akateeminen). Singapore, Pearson Education Etelä-Aasia Pte Ld.
4. Palautettu osoitteesta: searchsecurity.techtarget.com.
5. Sarjatyypit. Palautettu osoitteesta: math-only-math.com.