KONGRUENSSI: YHTENEVÄT LUVUT, KRITEERIT, ESIMERKIT, HARJOITUKSET - MATEMATIIKKA - 2025

Yhtenevyys geometria sanoo, että jos kaksi tasokuvioiden on sama muoto ja mitat, ne ovat yhtenevät. Esimerkiksi kaksi segmenttiä ovat yhteneviä, kun niiden pituudet ovat yhtä suuret. Samoin samankaltaisilla kulmilla on sama mitta, vaikka ne eivät ole suunnattu samalla tavalla tasossa.

Termi "yhtenevyys" tulee Latinalaisesta ryhmästä, jonka merkitys on kirjeenvaihto. Siten kaksi yhtenevää kuvaa vastaa tarkalleen toisiaan.

Kuva 1. Kuvan nelikulmaiset ABCD ja A'B'C'D 'ovat yhdenmukaisia: niiden sivuilla on sama mitta kuin niiden sisäisillä kulmilla. Lähde: F. Zapata.

Esimerkiksi, jos päällekkäin asetetaan kuvassa kaksi nelikulmaa, huomaat, että ne ovat yhdenmukaisia, koska niiden sivujen sijoittelu on identtinen ja ne mittaavat saman.

Asettamalla nelikulmaiset ABCD ja A'B'C'D 'päällekkäin, luvut vastaavat tarkalleen. Samanaikaisia ​​puolia kutsutaan homologisiksi tai vastaaviksi puoliksi ja symbolia ≡ käytetään ilmaisemaan yhtenäisyys. Joten voimme sanoa, että ABCD ≡ A'B'C'D.

Kokoonpanon kriteerit

Seuraavat ominaisuudet ovat yhteisiä samankaltaisille monikulmioille:

-Sama muoto ja koko.

- Niiden kulmien identtiset mittaukset.

-Sama mitta molemmilla puolilla.

Jos kaksi kyseistä monikulmioa ovat säännöllisiä, toisin sanoen että kaikki sivut ja sisäkulmat mittaavat saman, yhdenmukaisuus varmistetaan, kun jokin seuraavista ehdoista täyttyy:

-Sivut ovat yhdenmukaisia

- Apotemoilla on sama mitta

-Kunkin polygonin säde mittaa saman

Säännöllisen monikulmion apoteemi on etäisyys keskustan ja yhden sivun välillä, kun taas säde vastaa etäisyyttä kuvan keskipisteen ja kärkipisteen tai kulman välillä.

Kokoonpanon kriteerejä käytetään usein, koska niin monia osia ja kaikenlaisia ​​kappaleita tuotetaan massatuotannolla ja niiden on oltava saman muotoisia ja mittaisia. Tällä tavalla ne voidaan tarvittaessa helposti vaihtaa, esimerkiksi mutterit, pultit, levyt tai kadun päällä olevat päällystyskivet.

Kuva 2. Katupäällysteiset kivet ovat yhteneviä kuvioita, koska niiden muoto ja mitat ovat täsmälleen samat, vaikka niiden suuntaus lattiaan saattaa muuttua. Lähde: Pixabay.

Kokoonpano, identiteetti ja samankaltaisuus

Yhteenkuuluvuuteen liittyy geometrisia käsitteitä, esimerkiksi identtiset kuviot ja vastaavat kuviot, jotka eivät välttämättä tarkoita, että kuviot ovat yhteneviä.

Huomaa, että yhtenevät kuviot ovat identtisiä, mutta kuvion 1 nelikulmaiset pystyivät kuitenkin suuntautumaan eri tavoin tasossa ja pysyivät silti yhtenäisinä, koska erilainen suuntaus ei muuta niiden sivujen kokoa tai kulmaa. Siinä tapauksessa ne eivät enää olisi identtisiä.

Toinen käsite on lukujen samankaltaisuus: kaksi tasomaista kuvaa on samanlainen, jos niillä on sama muoto ja niiden sisäiset kulmat ovat samat, vaikka kuvioiden koko voi olla erilainen. Jos näin on, luvut eivät ole yhdenmukaisia.

Esimerkkejä yhdenmukaisuudesta

- Kulmien kokoonpano

Kuten alussa ilmoitimme, yhdenmukaisilla kulmilla on sama mitta. Yhteensopivien kulmien saamiseksi on olemassa useita tapoja:

Esimerkki 1

Kaksi viivaa, joilla on yhteinen piste, määrittelevät kaksi kulmaa, joita kutsutaan vastakkaisiksi kulmiksi kärjen takia. Näillä kulmilla on sama mitta, joten ne ovat yhteneviä.

Kuva 3. Kallion vastakkaiset kulmat. Lähde: Wikimedia Commons.

Esimerkki 2

On olemassa kaksi yhdensuuntaista viivaa sekä viiva t, joka leikkaa molemmat. Kuten edellisessä esimerkissä, kun tämä viiva leikkaa suuntaukset, se tuottaa yhdenmukaisia ​​kulmia, yhden jokaisella viivalla oikealla puolella ja kaksi muuta vasemmalla puolella. Kuvio näyttää α ja α ₁ linjan t oikealla puolella, jotka ovat yhdenmukaisia.

Kuva 4. Kuvassa esitetyt kulmat ovat yhdenmukaiset. Lähde: Wikimedia Commons. Lfahlberg / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0).

Esimerkki 3

Rinnakkaiskaaviossa on neljä sisäkulmaa, jotka ovat yhdensuuntaiset kahdesta kahteen. Ne ovat vastakkaisten kärkien välissä, kuten seuraavassa kuvassa esitetään, joissa kaksi vihreää kulmaa ovat yhdenmukaisia, samoin kuin kaksi punaista kulmaa.

Kuva 5. Suuntaa-kuvan sisäkulmat ovat yhdenmukaiset kaksi kerrallaan. Lähde: Wikimedia Commons.

- Kolmioiden kokoonpano

Kaksi samanmuotoista ja -kokoa kolmiota ovat yhdenmukaiset. Tämän todentamiseksi on olemassa kolme kriteeriä, joita voidaan tutkia yhtenevyyttä etsittäessä:

- LLL-kriteeri: kolmioiden kolmella sivulla on samat mitat, joten L ₁ = L ' ₁; L ₂ = L ' ₂ ja L ₃ = L' _3.

Kuva 6. Esimerkki yhdenmukaisista kolmioista, joiden sivut mittaavat saman. Lähde: F. Zapata.

- ALA- ja AAL-kriteerit: kolmioilla on kaksi yhtä suurta sisäkulmaa ja näiden kulmien välisellä sivulla on sama mitta.

Kuva 7. ALA- ja AAL-kriteerit kolmion samankaltaisuudelle. Lähde: Wikimedia Commons.

- LAL-kriteeri: kaksi sivua ovat identtiset (vastaavat) ja niiden välillä on sama kulma.

Kuva 8. LAL-kriteeri kolmioiden yhtenäisyydelle. Lähde: Wikimedia Commons.

Ratkaistuja harjoituksia

- Harjoitus 1

Seuraavassa kuvassa on esitetty kaksi kolmiota: ΔABC ja ΔECF. Tiedetään, että AC = EF, että AB = 6 ja että CF = 10. Lisäksi kulmat ∡BAC ja ∡FEC ovat yhdenmukaisia ​​ja kulmat ∡ACB ja ∡FCB ovat myös yhdenmukaisia.

Kuva 9. Valmistetun esimerkin kolmiot 1. Lähde: F. Zapata.

Silloin segmentin BE pituus on yhtä suuri kuin:

(i) 5

(ii) 3

(iii) 4

(iv) 2

(v) 6

Ratkaisu

Koska kahdella kolmiolla on yhtä pitkät sivut AC = EF yhtäläisten kulmien ∡BAC = ∡CEF ja ∡BCA = ∡CFE välillä, voidaan sanoa, että nämä kaksi kolmiota ovat yhdenmukaisia ​​ALA-kriteerin avulla.

Toisin sanoen ΔBAC ≡ ΔCEF, joten meidän on:

BA = CE = AB = 6

BC = CF = 10

AC = EF

Mutta laskettava segmentti on BE = BC - EC = 10 - 6 = 4.

Joten oikea vastaus on (iii).

- Harjoitus 2

Alla olevassa kuvassa on kolme kolmiota. On myös tiedossa, että kaksi osoitettua kulmaa ovat kumpikin 80º ja segmentit AB = PD ja AP = CD. Löydä kuvassa ilmoitetun kulman X arvo.

Kuva 10. Kolmiot ratkaisulle esimerkille 2. Lähde: F. Zapata.

Ratkaisu

Sinun on sovellettava kolmioiden ominaisuuksia, jotka ovat yksityiskohtaisia ​​vaihe vaiheelta.

Vaihe 1

Alkaen LAL-kolmion yhtenevyyskriteeristä voidaan todeta, että BAP- ja PDC-kolmiot ovat yhteneviä:

ΔBAP ≡ ΔPDC

Vaihe 2

Yllä oleva johtaa vakuuttamaan, että BP = PC, siksi kolmio ΔBPC on tasasilmäinen ja ∡PCB = ∡PBC = X.

Vaihe 3

Jos kutsumme kulmaa BPC γ, seuraa, että:

2x + y = 180º

Vaihe 4

Ja jos kutsumme kulmia APB ja DCP β ja α kulmiin ABP ja DPC, meillä on:

α + β + γ = 180º (koska APB on tasokulma).

Vaihe 5

Lisäksi α + β + 80º = 180º kolmion APB sisäkulmien summan perusteella.

Vaihe 6

Yhdistämällä kaikki nämä ilmaisut meillä on:

a + β = 100º

Vaihe 7

Ja siksi:

y = 80 °.

Vaihe 8

Lopuksi seuraa, että:

2X + 80º = 180º

Kun X = 50º.

Viitteet

1. Baldor, A. 1973. Lentokone- ja avaruusgeometria. Keski-Amerikan kulttuuri.
2. CK-12-säätiö. Kongruentti monikulmio. Palautettu: ck 12.org.
3. Nauti matematiikasta. Määritelmät: Säde (monikulmio). Palautettu: nauti thematics.com.
4. Matematiikan avoin viite. Monikulmioiden testaaminen yhtenevyyden suhteen. Palautettu osoitteesta: mathopenref.com.
5. Wikipedia. Kokoonpano (geometria). Palautettu osoitteesta: es.wikipedia.org.
6. Zapata, F. Kolmio, historia, elementit, luokittelu, ominaisuudet. Palautettu sivustolta: lifeder.com.