- Kaava
- Euklidinen etäisyys kahdessa ulottuvuudessa
- Ei-euklidiset pinnat
- Euklidinen etäisyys n mitassa
- Kuinka laskea Euklidinen etäisyys
- esimerkki
- Viitteet
Euklidinen etäisyys on positiivinen luku, joka ilmaisee erottaminen kahden pisteen välillä tilaan, jossa aksioomat ja lauseet Eukleideen geometria täyttyvät.
Kahden pisteen A ja B välinen etäisyys euklidisessa tilassa on vektorin AB pituus, joka kuuluu ainoaan näiden pisteiden läpi kulkevaan viivaan.
Kuvio 1. Yhden ulottuvuuden euklidinen avaruus, jonka viiva muodostaa (OX). Useita pisteitä on esitetty mainitussa tilassa, niiden koordinaatit ja etäisyydet. (Valmistaja Ricardo Pérez).
Tila, jonka ihmiset havaitsevat ja jossa liikumme, on kolmiulotteinen (kolmiulotteinen) tila, jossa Euclidin geometrian aksioomat ja lauseet täyttyvät. Kaksiulotteinen alatila (tasot) ja yhden ulotteen alaosa (viivat) sisältyvät tähän tilaan.
Euklidinen avaruus voi olla yksiulotteinen (1-D), kaksiulotteinen (2-D), kolmiulotteinen (3-D) tai n-ulotteinen (nD).
Yksiulotteisessa tilassa X olevat pisteet ovat ne, jotka kuuluvat orientoituun viivaan (OX), suunta O: sta X: ään on positiivinen suunta. Pisteiden löytämiseksi tällä rivillä käytetään Cartesian-järjestelmää, joka koostuu numeron osoittamisesta jokaiselle pisteelle.
Kaava
Euklidinen etäisyys d (A, B) linjalla olevien pisteiden A ja B välillä määritetään niiden X-koordinaattien erojen neliön neliöjuurena:
d (A, B) = √ ((XB - XA) ^ 2)
Tämä määritelmä takaa, että: kahden pisteen välinen etäisyys on aina positiivinen. Ja että etäisyys A: n ja B: n välillä on yhtä suuri kuin B: n ja A: n välinen etäisyys.
Kuvio 1 esittää viivan (OX) ja useiden mainitun viivan pisteiden muodostaman yhden ulottuvuuden euklidista tilaa. Jokaisella pisteellä on koordinaatti:
Pisteen A koordinaatti XA = 2,5, pisteen B koordinaatti XB = 4 ja pisteen C koordinaatti XC = -2,5
d (A, B) = √ ((4 - 2,5) 2) = 1,5
d (B, A) = √ ((2,5 - 4) 2) = 1,5
d (A, C) = √ ((- 2,5 - 2,5) 2) = 5,0
Euklidinen etäisyys kahdessa ulottuvuudessa
Kaksiulotteinen euklidinen avaruus on taso. Euklidisen tason kohdat täyttävät esimerkiksi euklidisen geometrian aksioomat:
- Yksi linja kulkee kahden pisteen läpi.
- Kolme pistettä tasossa muodostavat kolmion, jonka sisäkulmat kasvavat aina 180 asteen kulmaan.
- Oikeassa kolmiossa hypoteenuksen neliö on yhtä suuri kuin jalkojen neliöiden summa.
Kahdessa ulottuvuudessa pisteellä on X- ja Y-koordinaatit.
Esimerkiksi pisteellä P on koordinaatit (XP, YP) ja pisteellä Q koordinaatit (XQ, YQ).
Euklidinen etäisyys pisteiden P ja Q välillä määritetään seuraavalla kaavalla:
d (P, Q) = √ ((XQ - XP) ^ 2 + (YQ - YP) ^ 2)
On huomattava, että tämä kaava vastaa Pythagoran lausetta, kuten kuvassa 2 esitetään.
Kuva 2. Etäisyys kahden pisteen P ja Q välillä tasossa täyttää Pythagoran lauseen. (Valmistaja Ricardo Pérez).
Ei-euklidiset pinnat
Kaikki kaksiulotteiset tilat eivät ole euklidisen geometrian mukaisia. Pallon pinta on kaksiulotteinen tila.
Pallomaisen pinnan kolmion kulmat eivät lisää 180 astetta ja tällä tavoin Pythagoran lause ei ole täyttynyt, joten pallomainen pinta ei täytä Euclidin aksioomeja.
Euklidinen etäisyys n mitassa
Koordinaattien käsite voidaan laajentaa suurempiin ulottuvuuksiin:
- 2-D-pisteessä P: llä on koordinaatit (XP, YP)
- Kolmiulotteisessa pisteessä Q on koordinaatit (XQ, YQ, ZQ)
- Neljäs muodossa pisteellä R on koordinaatit (XR, YR, ZR, WR)
- ND: ssä pisteellä P on koordinaatit (P1, P2, P3,….., Pn)
N-ulotteisen euklidiavaruuden kahden pisteen P ja Q välinen etäisyys lasketaan seuraavalla kaavalla:
d (P, Q) = √ ((Q1 - P1) ^ 2 + (Q2 - P2) ^ 2 + …….. + (Qn - Pn) ^ 2)
Kaikkien pisteiden Q sijainti n-ulotteisessa euklidisessa tilassa, joka on yhtä kaukana toisesta kiinteästä kohdasta P (keskellä), muodostaa n-ulotteisen hypersfäärin.
Kuinka laskea Euklidinen etäisyys
Seuraava osoittaa, kuinka Euclidean-kolmiulotteisessa tilassa sijaitsevien kahden pisteen välinen etäisyys lasketaan.
Oletetaan, että suorakulmaisten koordinaattien x, y, z piste A antaa: A:(2, 3, 1) ja koordinaattien B piste B: (-3, 2, 2).
Haluamme määrittää näiden pisteiden välisen etäisyyden, jota varten käytetään yleistä suhdetta:
d (A, B) = √ ((-3 - 2) 2 + (2 - 3) 2 + (2 - 1) 2) = √ ((-5) 2 + (-1) 2 + (1) 2)
d (A, B) = √ (25 + 1 + 1) = √ (27) = √ (9 * 3) = 3 √ (3) = 5 196
esimerkki
Pisteitä P ja Q on kaksi. Pisteen antama suorakulmaisten koordinaattien x, y, z piste P:((2, 3, 1) ja koordinaattien piste Q:(-3, 2, 1).
Pyydetään löytämään kaksi pistettä yhdistävän segmentin keskipisteen M koordinaatit.
Tuntemattomalla pisteellä M oletetaan olevan koordinaatit (X, Y, Z).
Koska M on keskipiste, täytyy olla totta, että d (P, M) = d (Q, M), joten d (P, M) ^ 2 = d (Q, M) ^ 2 on myös oltava totta:
(X - 2) ^ 2 + (Y - 3) ^ 2 + (Z - 1) ^ 2 = (X - (-3)) ^ 2 + (Y - 2) ^ 2 + (Z - 1) ^ 2
Kuten tässä tapauksessa, kolmas termi on yhtä suuri molemmissa jäsenissä, edellinen lauseke yksinkertaistuu:
(X - 2) ^ 2 + (Y - 3) ^ 2 = (X + 3) ^ 2 + (Y - 2) ^ 2
Sitten on yhtälö kahden tuntemattoman X: n ja Y: n kanssa. Toinen yhtälö tarvitaan ongelman ratkaisemiseksi.
Piste M kuuluu linjaan, joka kulkee pisteiden P ja Q läpi, jonka voimme laskea seuraavasti:
Ensimmäinen löydämme johtaja vektorin PQ linjan: PQ = <-3-2, 2-3, 1-1> = <-5, -1, 0>.
Sitten PM = OP + a PQ, missä OP on pisteen P sijaintivektori ja on parametri, joka kuuluu reaalilukuihin.
Yllä oleva yhtälö tunnetaan viivan vektoriyhtälönä, joka suorakulmaisissa koordinaateissa on seuraava:
<X-2, Y-3, Z-1> = <2, 3, 1> + a <-5, -1, 0> = <2 - 5a, 3 - a, 0>
Vastaavat meillä olevat vastaavat komponentit:
X - 2 = 2-5 a; Y - 3 = 3 -a; Z - 1 = 0
Eli X = 4 - 5a, Y = 6 - a, lopulta Z = 1.
Se korvataan kvadraattisessa lausekkeessa, joka liittyy X: ään Y:
(4 - 5a - 2) ^ 2 + (6 - a - 3) ^ 2 = (4 - 5a + 3) ^ 2 + (6 - a - 2) ^ 2
Sitä on yksinkertaistettu:
(2 - 5a) ^ 2 + (3 -a) ^ 2 = (7 - 5a) ^ 2 + (4 - a) ^ 2
Nyt avautuu:
4 + 25 a ^ 2 - 20a + 9 + a ^ 2 - 6a = 49 + 25 a ^ 2 - 70a + 16 + a ^ 2 - 8a
Sitä on yksinkertaistettu ja peruutetaan samoin ehdoin molemmissa jäsenissä:
4 - 20a + 9 - 6a = 49 - 70a + 16 - 8a
Parametri a tyhjennetään:
52 a = 49 + 16 - 4 - 9 = 52, mikä johtaa a = 1.
Eli X = 4 - 5, Y = 6 - 1, lopulta Z = 1.
Lopuksi saamme segmentin keskipisteen M suorakulmaiset koordinaatit:
M: (-1, 5, 1).
Viitteet
- Lehmann C. (1972), analyyttinen geometria. UTEHA.
- Superprof. Kahden pisteen välinen etäisyys. Palautettu: superprof.es
- UNAM. Etäisyys affiinien sublineaaristen jakotukien välillä. Palautettu: prometeo.matem.unam.mx/
- wikipedia. Euklidinen etäisyys. Palautettu osoitteesta: es.wikipedia.com
- wikipedia. Euklidinen avaruus. Palautettu osoitteesta: es.wikipedia.com