SYNTEETTINEN JAKO: MENETELMÄ JA RATKAISTU TEHTÄVÄ - MATEMATIIKKA - 2025

Synteettinen jako on yksinkertainen tapa jakaa polynomin P (x) Minkä tahansa muodossa d (x) = x - c. Esimerkiksi polynomi P (x) = (x ⁵ + 3x ⁴ -7x ³ + 2x ² -8x + 1) voidaan esittää kahden yksinkertaisimman polynomin (x + 1) ja (x ⁴ + 2x ³) kertolaskuna.).

Se on erittäin hyödyllinen työkalu, koska sen lisäksi, että annamme mahdollisuuden jakaa polynomeja, se antaa meille mahdollisuuden myös arvioida polynomi P (x) missä tahansa numerossa c, mikä puolestaan ​​kertoo meille tarkalleen, onko mainittu luku polynomin nolla vai ei.

Jakoalgoritmin ansiosta tiedämme, että jos meillä on kaksi epävakioita polynomeja P (x) ja d (x), on olemassa ainutlaatuisia polynomeja q (x) ja r (x) siten, että on totta, että P (x) = q (x) d (x) + r (x), missä r (x) on nolla tai vähemmän kuin q (x). Nämä polynomit tunnetaan osamäärinä ja vastaavasti jäännöksenä tai jäännöksenä.

Kun polynomi d (x) on muodossa x- c, synteettinen jako antaa meille lyhyen tavan löytää kuka q (x) ja r (x) ovat.

Synteettinen jakamismenetelmä

Olkoon P (x) = a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 +… + a ₁ x + a ₀ polynomi, jonka haluamme jakaa, ja d (x) = xc jakaja. Jakamiseksi synteettisellä jakomenetelmällä jatkamme seuraavasti:

1- Kirjoita ensimmäiseen riviin P (x) -kertoimet. Jos mitään X: n tehoa ei ilmesty, asetamme sen kertoimeksi nollan.

2- Toisessa rivissä, vasemmalle on _n me paikka c, ja kiinnitämme jakolinjat, kuten on esitetty seuraavassa kuvassa:

3- Laskemme johtava kerroin kolmanteen riviin.

Tässä lausekkeessa b _n-1 = a _n

4- Kertomme c: llä johtavalla kertoimella b _n-1 ja kirjoitamme tuloksen toiseen riviin, mutta yhden sarakkeen oikealle.

5- Lisäämme sarakkeen, johon kirjoitamme edellisen tuloksen, ja sijoitamme tuloksen summan alapuolelle; eli samassa sarakkeessa kolmas rivi.

Kun lisäämme, tuloksena on _n-1 + c * b _n-1, jota kutsutaan mukavuuden vuoksi b _n-2

6- Kerrotaan c edellisellä tuloksella ja kirjoitetaan tulos oikealle toiselle riville.

7- Toistamme vaiheet 5 ja 6, kunnes kerroin on ₀.

8- Me kirjoitamme vastauksen; toisin sanoen osamäärä ja loput. Koska jaamme asteen n polynomin asteen 1 polynomilla, meillä on, että osamäärä olisi aste n-1.

Kertoimien polynomin kertoimet ovat kolmannen rivin numerot paitsi viimeinen, joka on jäännöspolynomi tai jaon loppuosa.

Ratkaistuja harjoituksia

- Esimerkki 1

Suorita seuraava jako synteettisellä jakomenetelmällä:

(x ⁵ + 3x ⁴ -7x ³ + 2x ² -8x + 1): (x + 1).

Ratkaisu

Ensin kirjoitamme osingon kertoimet seuraavasti:

Sitten kirjoitamme c vasemmalle puolelle, toiseen riviin jakoviivojen kanssa. Tässä esimerkissä c = -1.

Laskemme johtavaa kerrointa (tässä tapauksessa b _n-1 = 1) ja kerrotaan se:

Me kirjoitamme sen tuloksen oikealle toiselle riville alla olevan kuvan mukaisesti:

Lisäämme numerot toiseen sarakkeeseen:

Kerrotaan 2: lla -1 ja kirjoitetaan tulos kolmannen sarakkeen toiseen riviin:

Lisäämme kolmanteen sarakkeeseen:

Jatkamme samalla tavalla, kunnes saavutamme viimeisen sarakkeen:

Siten meillä on, että viimeisin saatu luku on jäljellä oleva jako, ja loput numerot ovat kertoimet kertoimelle polynomista. Tämä on kirjoitettu seuraavasti:

Jos haluamme varmistaa, että tulos on oikea, riittää, kun tarkistetaan, että seuraava yhtälö on totta:

P (x) = q (x) * d (x) + r (x)

Joten voimme tarkistaa, että saatu tulos on oikea.

- Esimerkki 2

Suorita seuraava polynomien jakaminen synteettisellä jakamismenetelmällä

(7x ³ -x + 2): (x + 2)

Ratkaisu

Tässä tapauksessa meillä ei ole termiä x ², joten kirjoitamme kerroimeksi 0. Siten, polynomi olisi 7x ³ + 0x ² -x + 2.

Me kirjoitamme heidän kertoimensa peräkkäin, tämä on:

Kirjoita toisen rivin vasemmalle puolelle arvo C = -2 ja piirrä jakoviivat.

Laskemme johtavaa kerrointa b _n-1 = 7 ja kerrotaan se -2: llä, kirjoittamalla sen tulos toiselle riville oikealle.

Lisäämme ja jatkamme kuten aiemmin selitettiin, kunnes saavutamme viimeisen aikavälin:

Tässä tapauksessa jakojäännös on r (x) = - 52, ja osamäärä saatu q (x) = 7x ² -14x + 27.

- Esimerkki 3

Toinen tapa käyttää synteettistä jakoa on seuraava: Oletetaan, että meillä on n-asteen polynomi P (x) ja haluamme tietää, mikä arvo on, arvioimalla se arvossa x = c.

Jakoalgoritmilla voimme kirjoittaa polynomin P (x) seuraavalla tavalla:

Tässä lausekkeessa q (x) ja r (x) ovat vastaavasti osamäärä ja loput. Nyt, jos d (x) = x- c, arvioitaessa polynomin kohdalla c saadaan seuraava:

Siksi jää vain löytää ar (x), ja voimme tehdä tämän synteettisen jaon ansiosta.

Esimerkiksi, meillä on polynomi P (x) = x ⁷ -9x ⁶ + 19x ⁵ + 12x ⁴ -3x ³ + 19x ² -37x-37 ja haluamme tietää, mikä sen arvo on arvioimalla se x = 5. Tätä varten suoritamme jako P (x): n ja d (x) = x -5: n välillä synteettisellä jakamismenetelmällä:

Kun toimenpiteet on tehty, tiedämme, että voimme kirjoittaa P (x) seuraavalla tavalla:

P (x) = (x ⁶ -4x ⁵ –x ⁴ + 7x ³ + 32x ² + 179x + 858) * (x-5) + 4253

Siksi arvioitaessa sitä meidän on

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (5-5) + 4253

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (0) + 4253

P (5) = 0 + 4253 = 4253

Kuten näemme, on mahdollista käyttää synteettistä jakoa polynomin arvon löytämiseen arvioimalla se c: ssä sen sijaan, että korvataan vain c: llä x.

Jos yrittäisimme arvioida P (5): tä perinteisellä tavalla, meidän olisi pakko suorittaa laskelmia, jotka usein muuttuvat tylsiä.

- Esimerkki 4

Polynomien jakoalgoritmi on totta myös polynomeille, joilla on monimutkaiset kertoimet, ja seurauksena on, että meillä on, että synteettinen jakomenetelmä toimii myös sellaisille polynomille. Näemme alla olevan esimerkin.

Käytämme synteettistä jakomenetelmää osoittamaan, että z = 1+ 2i on nolla polynomista P (x) = x ³ + (1 + i) x ² - (1 + 2i) x + (15 + 5i); toisin sanoen, jaon P (x) loppuosa d (x) = x - z: lla on nolla.

Jatkamme kuten ennen: kirjoitamme ensimmäiselle riville kertoimet P (x), toiseen kirjoitamme z ja piirrämme jakoviivat.

Suoritamme jaon kuten aiemmin; Tämä on:

Voimme havaita, että loput ovat nolla; siksi päättelemme, että z = 1+ 2i on nolla P (x): sta.

Viitteet

1. Baldor Aurelio. Algebra Grupo Toimituksellinen Patria.
2. Demana, Waits, Foley ja Kennedy. Esiselvitys: Graafinen, numeerinen, algebrallinen 7. painos. Pearson-koulutus.
3. Flemming W & Varserg D. Algebra ja trigonometria analyyttisellä geometrialla. Prentice-sali
4. Michael Sullivan. Precalculus 4. toim. Pearson koulutus.
5. Punainen. Armando O. Algebra 1. 6. toim. Athenaeum.