On ortogonaalinen matriisi, kun mainittu matriisi kerrottuna sen transponaatiolla johtaa identiteettimatriisiin. Jos matriisin käänteinen on yhtä suuri kuin transponointi, alkuperäinen matriisi on ortogonaalinen.
Ortogonaalisilla matriiseilla on ominaisuus, että rivien lukumäärä on yhtä suuri kuin sarakkeiden lukumäärä. Lisäksi rivivektorit ovat ortogonaalisia yksikkövektoreita ja myös transponointirivivektorit.
Kuva 1. Esimerkki ortogonaalisesta matriisista ja kuinka se muuntaa geometriset objektit. (Valmistaja Ricardo Pérez)
Kun ortogonaalinen matriisi kerrotaan vektoritilan vektoreilla, se tuottaa isometrisen muutoksen, ts. Muunnoksen, joka ei muuta etäisyyksiä ja säilyttää kulmat.
Ortogonaalisten matriisien tyypillinen edustaja on kiertomatriisit. Ortogonaalisten matriisien muunnoksia vektoritilassa kutsutaan ortogonaalisiksi muutoksiksi.
Niiden Cartesian-vektorien edustamien pisteiden kierto- ja heijastusgeometriset muutokset suoritetaan soveltamalla ortogonaalisia matriiseja alkuperäisiin vektoreihin muunnettujen vektorien koordinaattien saamiseksi. Juuri tästä syystä ortogonaalisia matriiseja käytetään laajalti tietokonegrafiikan prosessoinnissa.
ominaisuudet
Matriisi M on ortogonaalinen, jos kerrottuna transpoosi M T antaa tulokseksi identiteettimatriisi I. Samoin alkuperäisen matriisin suorittaman ortogonaalisen matriisin siirron tulos johtaa identtisyysmatriisiin:
MM T = M T M = I
Edellisen lausunnon seurauksena meillä on, että ortogonaalisen matriisin siirto on yhtä suuri kuin käänteinen matriisi:
M T = M -1 .
Mitta nxn: n ortogonaalimatriisien joukko muodostaa ortogonaalisen ryhmän O (n). Ja ortogonaalisten matriisien O (n) alajoukko, jolla on determinantti +1, muodostaa ryhmän yksilölliset erikoismatriisit SU (n). SU (n) -ryhmän matriisit ovat matriiseja, jotka tuottavat rotaation lineaarisia muunnoksia, joka tunnetaan myös nimellä rotaatioiden ryhmä.
Esittely
Haluamme näyttää, että matriisi on ortogonaalinen, ja vain jos rivivektorit (tai sarakevektorit) ovat kohtisuorassa toistensa kanssa ja normin 1 kanssa.
Oletetaan, että ortogonaalisen matriisin rivit nxn ovat n ortonormaalisia vektoreita, joiden mitta on n. Jos se on merkitty v 1 , v 2 ,…., V n ja n vektorit pätee:
Kun on ilmeistä, että rivivektorijoukko on todellakin joukko ortogonaalisia vektoreita, joilla on normi yksi.
esimerkit
Esimerkki 1
Osoita, että 2 x 2 -matriisi, jonka ensimmäisessä rivissä on vektori v1 = (-1 0) ja toisessa rivissä vektori v2 = (0 1) on ortogonaalinen matriisi.
Ratkaisu: Matriisi M rakennetaan ja sen transponentti M T lasketaan:
Tässä esimerkissä matriisi M on transponoitu itse, ts. Matriisi ja sen transponointi ovat identtisiä. Kertokaa M sen transponoinnilla M T:
Varmistetaan, että MM T on sama kuin identiteettimatriisi:
Kun matriisi M kerrotaan vektorin tai pisteen koordinaateilla, saadaan uusia koordinaatteja, jotka vastaavat muutosta, jonka matriisi tekee vektorissa tai pisteessä.
Kuvio 1 esittää, kuinka M muuntaa vektorin u osaksi u " ja myös kuinka M muuntaa sininen polygoni punainen monikulmio. Koska M on ortogonaalinen, se on sitten ortogonaalinen muunnos, joka säilyttää etäisyydet ja kulmat.
Esimerkki 2
Oletetaan, että sinulla on 2 x 2 matriisi, joka määritetään reaaleissa seuraavan lausekkeen avulla:
Löydä a, b, c ja d todelliset arvot siten, että matriisi M on ortogonaalinen matriisi.
Ratkaisu: Määritelmän mukaan matriisi on ortogonaalinen, jos se kerrotaan sen transponoinnilla, identiteettimatriisi saadaan. Muistettaessa, että siirretty matriisi on saatu alkuperäisestä, vaihtamalla rivejä sarakkeisiin, saadaan seuraava tasavertaisuus:
Suoritetaan matriisin kertolasku meillä:
Yhtälöimällä vasemman matriisin elementit oikealla olevan identiteettimatriisin elementeillä, saadaan neljän yhtälön järjestelmä, jossa on neljä tuntematonta a, b, c ja d.
Ehdotamme a, b, c ja d seuraavia lausekkeita trigonometrisissä suhteissa: sini- ja kosinus:
Tällä ehdotuksella ja perustavanlaatuisen trigonometrisen identiteetin takia ensimmäinen ja kolmas yhtälö täyttyvät automaattisesti matriisielementtien yhtäläisyydessä. Kolmas ja neljäs yhtälö ovat samat ja matriisi-yhtälössä ehdotettujen arvojen korvaamisen jälkeen näyttää tältä:
joka johtaa seuraavaan ratkaisuun:
Lopuksi saadaan seuraavat ratkaisut ortogonaaliselle matriisille M:
Huomaa, että ensimmäisellä liuoksella on determinantti +1, joten se kuuluu ryhmään SU (2), kun taas toisessa liuoksessa on determinantti -1 eikä siksi kuulu tähän ryhmään.
Esimerkki 3
Kun otetaan seuraava matriisi, löydä arvojen a ja b arvot siten, että meillä on ortogonaalinen matriisi.
Ratkaisu: Jotta tietty matriisi olisi ortogonaalinen, tuotteen ja sen transponoinnin on oltava identtimatriisi. Sitten suoritetaan annetun matriisin matriisituote ja sen siirretty matriisi, jolloin saadaan seuraava tulos:
Seuraavaksi tulos rinnastetaan 3 x 3 -identiteettimatriisiin:
Toisessa rivissä kolmannessa sarakkeessa on (ab = 0), mutta a ei voi olla nolla, koska muuten toisen rivin ja toisen sarakkeen elementtien tasa-arvo ei täyty. Sitten välttämättä b = 0. Korvaamalla b arvolla 0 meillä:
Sitten yhtälö ratkaistaan: 2a ^ 2 = 1, jonka ratkaisut ovat: + ½√2 ja -½√2.
Kun otetaan positiivinen ratkaisu a: aan, saadaan seuraava ortogonaalinen matriisi:
Lukija voi helposti tarkistaa, että rivivektorit (ja myös pylväsvektorit) ovat ortogonaalisia ja yhtenäisiä, toisin sanoen ortonormaaleja.
Esimerkki 4
Osoita, että matriisi A, jonka rivivektorit ovat v1 = (0, -1 0), v2 = (1, 0, 0) ja v3 = (0 0 -1), on ortogonaalinen matriisi. Lisäksi etsitään vektorit, jotka muunnetaan kanonisesta pohjasta i, j, k vektoreiksi u1, u2 ja u3.
Ratkaisu: On syytä muistaa, että matriisin elementti (i, j) kerrottuna sen transponoinnilla, on rivin (i) vektorin skalaarituote tuloksella transponoidun sarakkeen j kanssa. Lisäksi tämä tuote on yhtä suuri kuin Kronecker-delta siinä tapauksessa, että matriisi on kohtisuora:
Meidän tapauksessamme se näyttää tältä:
v1 • v1 = 0x0 + (-1) x (-1) + 0x0 = 1
v2 • v2 = 1 × 1 + 0x0 + 0x0 = 1
v3 • v3 = 0x0 + 0x0 + (-1) x (-1) = 1
v1 • v2 = 0x1 + (-1) x0 + 0x0 = 0
v2 • v1 = 1 × 0 + 0x (-1) + 0x0 = 0
v2 • v3 = 1 × 0 + 0x (0) + 0x (-1) = 0
v3 • v2 = 0x1 + 0x (0) + (-1) x0 = 0
v1 • v3 = 0x0 + (-1) x (0) + 0x (-1) = 0
v3 • v1 = 0x0 + 0x (-1) + (-1) x0 = 0
Millä avulla osoitetaan, että se on ortogonaalinen matriisi.
Lisäksi u1 = A i = (0, 1, 0); u2 = A j = (-1, 0, 0) ja lopulta u3 = A k = (0, 0, -1)
Viitteet
- Anthony Nicolaides (1994) determinantit ja matriisit. Pass-julkaisu.
- Birkhoff ja MacLane. (1980). Modern Algebra, toim. Vicens-Vives, Madrid.
- Casteleiro Villalba M. (2004) Johdatus lineaariseen algebraan. ESIC Toimitus.
- Dave Kirkby (2004) Maths Connect. Heinemann.
- Jenny Olive (1998) Matematiikka: Opiskelijan selviytymisopas. Cambridge University Press.
- Richard J. Brown (2012) 30 sekunnin matematiikka: Matematiikan 50 eniten mieltä laajentavaa teoriaa. Ivy Press Limited.
- Wikipedia. Ortogonaalinen matriisi. Palautettu osoitteesta: es.wikipedia.com
- Wikipedia. Ortogonaalinen matriisi. Palautettu osoitteesta: en.wikipedia.com