TEOREETTINEN TODENNÄKÖISYYS: KUINKA SAADA SE, ESIMERKIT, HARJOITUKSET - DUDAS - 2025

Teoreettinen (tai Laplace) todennäköisyys, että tapahtuma E ilmenee, että kuuluu näytteen tila S, jossa tapauksessa on sama esiintymistodennäköisyys, määritellään matemaattisessa esitysmuodossa: P (E) = n (E) / N (S)

Missä P (E) on todennäköisyys tapahtuman E mahdollisten lopputulosten kokonaismäärän, jota kutsumme n (E), jaettuna osamäärällä jaettuna näytetilassa S olevien mahdollisten tulosten kokonaismäärällä N (S).

Kuva 1. Kuusipuolisen muotin rullassa teoreettinen todennäköisyys siitä, että kolmella pisteellä oleva pinta on päällä, on ⅙. Lähde: Pixabay.

Teoreettinen todennäköisyys on reaaliluku välillä 0 - 1, mutta se ilmaistaan ​​usein prosentteina, jolloin todennäköisyys on arvo välillä 0% - 100%.

Tapahtuman todennäköisyyden laskeminen on erittäin tärkeää monilla aloilla, kuten kaupankäynti, vakuutusyhtiöt, rahapelit ja monet muut.

Kuinka saada teoreettinen todennäköisyys?

Havainnollistava tapaus on arpajaiset tai arpajaiset. Oletetaan, että 1 000 lippua annetaan älypuhelimen arpaamiseen. Koska piirustus on satunnaistettu, kaikilla lipuilla on yhtä suuret mahdollisuudet olla voittaja.

Seuraava teoreettinen todennäköisyyslaskelma saadaan todennäköisyydeksi, että henkilö, joka ostaa lipun numerolla 81, on voittaja:

P (1) = 1/1 000 = 0,001 = 0,1%

Yllä oleva tulos tulkitaan seuraavalla tavalla: jos tasaus toistetaan äärettömän monta kertaa, jokainen 1000 kertaa lippu 81 valitaan keskimäärin kerran.

Jos joku jostakin syystä ostaa kaikki liput, on varmaa, että hän voittaa palkinnon. Mahdollisuus voittaa palkinto, jos sinulla on kaikki liput, lasketaan seuraavasti:

P (1 000) = 1 000/1 000 = 1 = 100%.

Toisin sanoen tämä todennäköisyys 1 tai 100% tarkoittaa, että on täysin varmaa, että tämä tulos tapahtuu.

Jos joku omistaa 500 lippua, voittamisen tai häviämisen mahdollisuudet ovat samat. Teoreettinen todennäköisyys voittaa palkinto tässä tapauksessa lasketaan seuraavasti:

P (500) = 500/1 000 = 1 = 0,5 = 50%.

Sillä, joka ei osta lippua, ei ole mahdollisuutta voittaa, ja hänen teoreettinen todennäköisyytensä määritetään seuraavasti:

P (0) = 0/1 000 = 0 = 0%

esimerkit

Esimerkki 1

Sinulla on kolikko, jonka toisella puolella on kasvot ja toisella suojakilpi tai sinetti. Kun kolikko heitetään, mikä on teoreettinen todennäköisyys, että se tulee esiin?

P (kasvot) = n (kasvot) / N (kasvot + kilpi) = ½ = 0,5 = 50%

Tulos tulkitaan seuraavasti: jos heittäisi valtava määrä heitoja, keskimäärin jokaisessa 2 heitossa yksi nousee päähän.

Prosentteina tulosta tulkitaan siten, että tekemällä äärettömän suuri määrä heitoja, keskimäärin 100: sta heistä 50 johtaisi päähän.

Esimerkki 2

Laatikossa on 3 sinistä marmoria, 2 punaista marmoria ja 1 vihreä. Mikä on teoreettinen todennäköisyys, että kun otat marmorin laatikosta, se on punainen?

Kuva 2. Värillisten marmorien uuttamisen todennäköisyys. Lähde: F. Zapata.

Todennäköisyys, että se tulee punaiseksi, on:

P (punainen) = suotuisten tapausten lukumäärä / mahdollisten tapausten lukumäärä

Tarkoittaen:

P (punainen) = punaisten marmorien lukumäärä / marmorien kokonaismäärä

Lopuksi, todennäköisyys punaisen marmorin piirtämiseen on:

P (punainen) = 2/6 = ⅓ = 0,3333 = 33,33%

Vaikka todennäköisyys, että piirrettäessä vihreää marmoria on:

P (vihreä) = ⅙ = 0,1666 = 16,66%

Lopuksi teoreettinen todennäköisyys sinisen marmorin saamiseksi sokeasta uutosta on:

P (sininen) = 3/6 = ½ = 0,5 = 50%

Toisin sanoen jokaisesta kahdesta yrityksestä tulos on sininen yhdessä niistä ja toinen väri toisessa yrityksessä sillä edellytyksellä, että uutettu marmori korvataan ja kokeiden lukumäärä on erittäin, erittäin suuri.

Harjoitukset

Harjoitus 1

Määritä todennäköisyys, että suulakkeen valssaaminen saa arvon, joka on pienempi tai yhtä suuri kuin 4.

Ratkaisu

Tämän tapahtuman todennäköisyyden laskemiseksi käytetään teoreettisen todennäköisyyden määritelmää:

P (≤4) = suotuisten tapausten lukumäärä / mahdollisten tapausten lukumäärä

P (≤5) = 5/6 = = 83,33%

Harjoitus 2

Löydä todennäköisyys, että normaalin kuusipuolisen suulakkeen kahdessa peräkkäisessä heittämisessä viisi rullaa 2 kertaa.

Ratkaisu

Tee vastaus tähän harjoitukseen laatimalla taulukko kaikista mahdollisuuksista. Ensimmäinen numero osoittaa ensimmäisen suulakkeen tuloksen ja toinen toisen tuloksen.

Teoreettisen todennäköisyyden laskemiseksi meidän on tiedettävä mahdollisten tapausten kokonaismäärä. Tässä tapauksessa, kuten edellisestä taulukosta voidaan nähdä, on 36 mahdollisuutta.

Tarkkailemalla taulukkoa voidaan päätellä, että tapausten lukumäärä, jotka suosivat tapahtumaa, että kahdessa peräkkäisessä käynnistyksessä ilmestyy 5, on vain yksi, korostettuna värillä, joten tämän tapahtuman todennäköisyys on:

P (5 x 5) = 1/36.

Tämä tulos olisi voitu saada myös käyttämällä yhtä teoreettisen todennäköisyyden ominaisuuksista, jossa todetaan, että kahden riippumattoman tapahtuman yhdistetty todennäköisyys on heidän yksilöllisten todennäköisyytensä tulos.

Tässä tapauksessa todennäköisyys, että ensimmäinen heitto kiertyy 5, on ⅙. Toinen heitto on täysin riippumaton ensimmäisestä, siksi todennäköisyys, että 5 vieritetään toisessa, on myös ⅙. Joten yhdistetty todennäköisyys on:

P (5 × 5) = P (5) P (5) = (1/6) (1/6) = 1/36.

Harjoitus 3

Selvitä todennäköisyys, että vähemmän kuin 2 vieritetään ensimmäisessä heitossa ja numero yli 2 heitetään toisessa.

Ratkaisu

Jälleen on rakennettava mahdollisten tapahtumien taulukko, jossa alleviivattavat tapahtumat, joissa ensimmäinen heitto oli alle 2 ja toisessa yli 2.

Kaikkiaan 36 on yhteensä 4 mahdollisuutta. Tämä tarkoittaa tämän tapahtuman todennäköisyyttä:

P (<2;> 2) = 4/36 = 1/9 = 0,1111 = 11,11%

Käyttämällä todennäköisyyslauseketta, jossa todetaan:

Sama tulos saadaan:

P (<2) P (> 2) = (1/6) (4/6) = 4/36 = 0,1111 = 11,11%

Tällä menetelmällä saatu arvo on yhtä suuri kuin edellinen tulos todennäköisyyden teoreettisen tai klassisen määritelmän avulla.

Harjoitus 4

Mikä on todennäköisyys, että kun kaksi noppaa vieritetään, arvojen summa on 7.

Ratkaisu

Ratkaisun löytämiseksi tässä tapauksessa on laadittu taulukko mahdollisuuksista, joissa tapaukset, jotka täyttävät ehdon, että arvojen summa on 7, on merkitty värillä.

Taulukkoon katsottuna voidaan laskea 6 mahdollista tapausta, joten todennäköisyys on:

P (I + II: 7) = 6/36 = 1/6 = 0,1666 = 16,66%

Viitteet

1. Canavos, G. 1988. Todennäköisyys ja tilastot: Sovellukset ja menetelmät. McGraw Hill.
2. Devore, J. 2012. Todennäköisyys ja tilastotiede tekniikan ja tieteen suhteen. 8. päivä. Painos. Cengage.
3. Lipschutz, S. 1991. Schaum-sarja: todennäköisyys. McGraw Hill.
4. Obregón, I. 1989. Todennäköisyyden teoria. Toimituksellinen Limusa.
5. Walpole, R. 2007. Tekniikan ja tieteiden todennäköisyys ja tilastot. Pearson.