TASA-ARVON OMINAISUUDET - MATEMATIIKKA - 2025

Ominaisuudet tasa viittaavat suhde kahden matemaattisten objektien, ovatko ne numeroita tai muuttujia. Sitä merkitään symbolilla "=", joka kulkee aina näiden kahden kohteen välillä. Tätä lauseketta käytetään selvittämään, että kaksi matemaattista objektia edustavat samaa objektia; toisin sanoen, että kaksi esinettä ovat sama asia.

On tapauksia, joissa tasa-arvon käyttäminen on triviaalia. Esimerkiksi on selvää, että 2 = 2. Muuttujien suhteen se ei ole kuitenkaan enää triviaali, ja sillä on erityisiä käyttötarkoituksia. Esimerkiksi, jos meillä on y = x ja toisaalta x = 7, voimme päätellä, että myös y = 7.

Yllä oleva esimerkki perustuu yhteen tasa-arvon ominaisuuksiin, kuten näette pian. Nämä ominaisuudet ovat välttämättömiä yhtälöiden ratkaisemiseksi (muuttujat, joihin liittyy muuttujia), jotka muodostavat erittäin tärkeän osan matematiikkaa.

Mitkä ovat tasa-arvon ominaisuudet?

Heijastava omaisuus

Reflektiivinen ominaisuus, tasa-arvon tapauksessa, toteaa, että jokainen luku on yhtä suuri kuin itse ja ilmaistaan ​​b = b mille tahansa reaaliluvulle b.

Erityisessä tasa-arvotapauksessa tämä ominaisuus näyttää olevan ilmeinen, mutta muun tyyppisissä suhteissa lukujen välillä se ei ole. Toisin sanoen, kaikki todelliset numerosuhteet eivät vastaa tätä ominaisuutta. Esimerkiksi tällainen tapaus suhteesta “vähemmän kuin” (<); mikään luku ei ole pienempi kuin itse.

Symmetrinen ominaisuus

Tasa-arvon symmetrinen ominaisuus sanoo, että jos a = b, niin b = a. Riippumatta siitä, mitä järjestystä muuttujissa käytetään, se säilytetään tasa-arvosuhteessa.

Tämän ominaisuuden tietty analogia kommutatiivisen ominaisuuden kanssa voidaan havaita lisäyksen tapauksessa. Esimerkiksi tästä ominaisuudesta johtuen se vastaa kirjoitusta y = 4 tai 4 = y.

Siirrettävä omaisuus

Tasa-arvon transitiivinen ominaisuus toteaa, että jos a = b ja b = c, niin a = c. Esimerkiksi 2 + 7 = 9 ja 9 = 6 + 3; Siksi transitiivisen ominaisuuden perusteella meillä on 2 + 7 = 6 + 3.

Yksinkertainen sovellus on seuraava: Oletetaan, että Julian on 14-vuotias ja Mario on saman ikäinen kuin Rosa. Jos Rosa on saman ikäinen kuin Julián, kuinka vanha on Mario?

Tämän skenaarion takana transitiivistä ominaisuutta käytetään kahdesti. Matemaattisesti se tulkitaan seuraavasti: olkoon "a" Mario-ikä, "b" Rosan ikä ja "c" Julian-ikä. Tiedetään, että b = c ja että c = 14.

Transitiivisen ominaisuuden perusteella meillä on, että b = 14; eli Rosa on 14-vuotias. Koska a = b ja b = 14, käyttämällä transitiivistä ominaisuutta uudelleen, meillä on, että a = 14; toisin sanoen Mario on myös 14-vuotias.

Yhtenäinen omaisuus

Yhtenäinen ominaisuus on, että jos tasa-arvon molemmat puolet lisätään tai kerrotaan samalla määrällä, tasa-arvo säilyy. Esimerkiksi, jos 2 = 2, niin sitten 2 + 3 = 2 + 3, mikä on selvää, koska 5 = 5. Tämä ominaisuus on hyödyllisin yritettäessä ratkaista yhtälö.

Oletetaan esimerkiksi, että sinua pyydetään ratkaisemaan yhtälö x-2 = 1. On mukavaa muistaa, että yhtälön ratkaiseminen käsittää osallistuvan muuttujan (tai muuttujien) nimenomaisen määrittämisen tietyn numeron tai aiemmin määritellyn muuttujan perusteella.

Palaamalla yhtälöön x-2 = 1, sinun on tehtävä selväksi, kuinka paljon x on arvoinen. Tätä varten muuttuja on tyhjennettävä.

On virheellisesti opetettu, että koska numero 2 on negatiivinen, se siirtyy tasa-arvon toiselle puolelle positiivisella merkillä. Mutta se ei ole oikein sanoa sitä niin.

Periaatteessa se, mitä teet, on käyttää yhtenäistä omaisuutta, kuten alla näemme. Ajatuksena on tyhjentää "x"; ts. jätä se yksin yhtälön toiselle puolelle. Tavanomaisesti se jätetään yleensä vasemmalle puolelle.

Tätä tarkoitusta varten lukumäärä "poistettavaksi" on -2. Tapa tehdä se olisi lisäämällä 2, koska -2 + 2 = 0 ja x + 0 = 0. Jotta tämä tapahtuu muuttamatta tasa-arvoa, sama toimenpide on tehtävä toiselle puolelle.

Tämä antaa meille mahdollisuuden ymmärtää yhdenmukainen ominaisuus: Koska x-2 = 1, jos numero 2 lisätään tasa-arvon molemmille puolille, yhtenäinen ominaisuus sanoo, että sitä ei muuteta. Sitten meillä on se x-2 + 2 = 1 + 2, mikä vastaa sanomista, että x = 3. Tämän avulla yhtälö ratkaisisi.

Samoin, jos haluat ratkaista yhtälön (1/5) y-1 = 9, voit jatkaa käyttämällä yhtenäistä ominaisuutta seuraavasti:

Yleisemmin voidaan tehdä seuraavat lausunnot:

- Jos ab = cb, niin a = c.

- Jos xb = y, niin x = y + b.

- Jos (1 / a) z = b, niin z = a ×

- Jos (1 / c) a = (1 / c) b, niin a = b.

Peruutus omaisuus

Peruuttamisominaisuus on yhdenmukaisen ominaisuuden erityistapaus, ottaen erityisesti huomioon vähennys- ja jakamistapaukset (jotka periaatteessa vastaavat myös yhteenlaskua ja kertolaskua). Tämä ominaisuus käsittelee tapausta erikseen.

Esimerkiksi, jos 7 + 2 = 9, niin 7 = 9-2. Tai jos 2y = 6, niin y = 3 (jakamalla kahdella molemmilla puolilla).

Analogisesti edellisen tapauksen kanssa seuraavat lausunnot voidaan toteuttaa peruutusomaisuuden kautta:

- Jos a + b = c + b, niin a = c.

- Jos x + b = y, niin x = yb.

- Jos az = b, niin z = b / a.

- Jos ca = cb, niin a = b.

Korvaava omaisuus

Jos tiedämme matemaattisen objektin arvon, korvausominaisuus toteaa, että tämä arvo voidaan korvata missä tahansa yhtälössä tai lausekkeessa. Esimerkiksi, jos b = 5 ja a = bx, korvaamalla "b" -arvo toisessa yhtälössä, on, että a = 5x.

Toinen esimerkki on seuraava: Jos "m" jakaa "n" ja myös "n" jakaa "m", niin meillä täytyy olla, että m = n.

Todellakin sanoa, että "m" jakaa "n" (tai vastaavasti, että "m" on "n": n jakaja) tarkoittaa, että jako m ÷ n on tarkka; eli jakamalla "m" luvulla "n", saadaan kokonaisluku, ei desimaalin tarkkuudella. Tämä voidaan ilmaista sanomalla, että on olemassa kokonaisluku "k" sellainen, että m = k × n.

Koska "n" jakaa myös "m", niin on olemassa kokonaisluku "p" sellainen, että n = p × m. Korvausominaisuuden takia meillä on se, että n = p × k × n, ja jotta tämä tapahtuisi, on kaksi mahdollisuutta: n = 0, jolloin meillä olisi identiteetti 0 = 0; op × k = 1, siis identiteetti n = n.

Oletetaan, että "n" on nolla. Sitten välttämättä p × k = 1; siksi p = 1 ja k = 1. Käyttämällä uudelleen korvausominaisuutta korvaamalla k = 1 yhtälössä m = k × n (tai vastaavasti, p = 1 n = p × m), saamme lopulta arvon m = n, minkä halusimme todistaa.

Voiman omaisuus tasa-arvossa

Kuten aikaisemmin nähtiin, että jos toiminto, kuten summaaminen, kertoaminen, vähentäminen tai jakaminen, tehdään molemmilla tasa-arvoisilla termeillä, se säilyy, samalla tavalla muita toimenpiteitä, jotka eivät muuta tasa-arvoa, voidaan soveltaa.

Tärkeintä on suorittaa se aina tasa-arvon molemmilla puolilla ja varmistaa etukäteen, että toimenpide voidaan suorittaa. Tällainen tilanne on valtuuttaminen; eli jos yhtälön molemmat puolet nostetaan samaan voimaan, meillä on silti tasa-arvo.

Esimerkiksi, koska 3 = 3, joten 3 ² = 3 ² (9 = 9). Yleensä annettu kokonaisluku "n", jos x = y, niin x ⁿ = y ⁿ.

Juuren omaisuus tasa-arvossa

Tämä on erityinen voimaantumisen tapaus, ja sitä käytetään, kun teho on ei-kokonaisluku rationaaliluku, kuten ½, joka edustaa neliöjuuria. Tämä ominaisuus toteaa, että jos sama juuri käytetään tasa-arvon molemmin puolin (aina kun mahdollista), tasa-arvo säilyy.

Toisin kuin edellisessä tapauksessa, tässä on oltava varovainen käytettävän juuren pariteetin suhteen, koska on hyvin tiedossa, että negatiivisen luvun parillista juuriä ei ole määritelty hyvin.

Siinä tapauksessa, että radikaali on tasainen, ei ole mitään ongelmaa. Esimerkiksi, jos x ³ = -8, vaikka se olisi tasa-arvo, et voi käyttää neliöjuuria esimerkiksi molemmille puolille. Kuitenkin, jos voit käyttää kuutiojuuria (mikä on vielä kätevämpää, jos haluat tietää selvästi x: n arvon), saadaan siten x = -2.

Viitteet

1. Aylwin, CU (2011). Logiikka, sarjat ja numerot. Mérida - Venezuela: Julkaisuneuvosto, Universidad de Los Andes.
2. Jiménez, J., Rofríguez, M., ja Estrada, R. (2005). Matematiikka 1 syyskuu. Kynnys.
3. Lira, ML (1994). Simon ja matematiikka: matematiikan teksti toiselle luokalle: oppilaan kirja. Andres Bello.
4. Preciado, CT (2005). Matematiikan kurssi 3. Toimituksellinen progreso.
5. Segovia, BR (2012). Matemaattiset aktiviteetit ja pelit Miguelin ja Lucían kanssa. Baldomero Rubio Segovia.
6. Toral, C., & Preciado, M. (1985). 2. matematiikan kurssi. Toimituksellinen progreso.