MILETUS-TARINAN LAUSE: ENSIMMÄINEN, TOINEN JA ESIMERKIT - MATEMATIIKKA - 2025

Miletusin Thalesin ensimmäinen ja toinen lause perustuvat kolmioiden määrittämiseen samanlaisista (ensimmäinen lause) tai ympyröistä (toinen lause). Ne ovat olleet erittäin hyödyllisiä eri alueilla. Esimerkiksi ensimmäinen lause oli erittäin hyödyllinen suurten rakenteiden mittaamisessa, kun ei ollut hienostuneita mittauslaitteita.

Thales of Miletus oli kreikkalainen matemaatikko, joka antoi suuren panoksen geometriaan, joista nämä kaksi lausetta erottuvat (joissain teksteissä hänet kirjoitetaan myös Thales) ja niiden hyödyllisistä sovelluksista. Näitä tuloksia on käytetty läpi historian, ja niiden avulla on ratkaistu monenlaisia ​​geometrisia ongelmia.

Miletusin Thales

Thalesin ensimmäinen lause

Thalesin ensimmäinen lause on erittäin hyödyllinen työkalu, joka muun muassa sallii toisen, aiemmin tunnetun kolmion kaltaisen kolmion rakentamisen. Täältä johdetaan lauseen eri versioita, joita voidaan soveltaa useissa yhteyksissä.

Ennen lausunnon antamista muistakaamme joitain käsityksiä kolmioiden samankaltaisuudesta. Pohjimmiltaan kaksi kolmiota ovat samankaltaisia, jos niiden kulmat ovat yhteneviä (niillä on sama mitta). Tämä johtaa siihen tosiseikkaan, että jos kaksi kolmiota on samanlaisia, niiden vastaavat (tai homologiset) sivut ovat verrannollisia.

Thalesin ensimmäinen lause väittää, että jos viiva piirretään jonkin sen sivun suuntaisesti tietyssä kolmiossa, saatu uusi kolmio tulee olemaan samanlainen kuin alkuperäinen kolmio.

Muodostuneiden kulmien välillä saadaan myös suhde, kuten seuraavassa kuvassa esitetään.

hakemus

Monien sovellusten joukosta erottuva on erityisen kiinnostava ja liittyy yhteen tapaan, jolla antiikkien suurten rakenteiden mittaukset tehtiin, aikaan, jolloin Thales asui ja jossa ei ollut nykyaikaisia ​​mittauslaitteita, jotka he ovat olemassa nyt.

Sanotaan, että näin Thales onnistui mittaamaan Egyptin korkeimman pyramidin, Cheopsin. Tätä varten Thales arvasi, että aurinkosäteiden heijastukset koskettivat maata muodostaen yhdensuuntaiset viivat. Tämän oletuksen mukaan hän naulasi sauvan tai sokerin pystysuoraan maahan.

Sitten hän käytti kahden tuloksena olevan kolmion samankaltaisuutta, toisen muodostivat pyramidin varjon pituus (joka voidaan helposti laskea) ja pyramidin korkeus (tuntematon), ja toinen muodostuu varjon pituuksista. ja sauvan korkeus (joka voidaan myös helposti laskea).

Käyttämällä suhteellisuutta näiden pituuksien välillä, pyramidin korkeus voidaan ratkaista ja tietää.

Vaikka tämä mittausmenetelmä voi antaa merkittävän likimääräisen virheen korkeuden tarkkuuteen nähden ja riippuu auringonsäteiden samansuuntaisuudesta (mikä puolestaan ​​riippuu tarkalta ajasta), on syytä tunnustaa, että se on erittäin nerokas idea ja että se tarjosi ajalle hyvän mittausvaihtoehdon.

esimerkit

Etsi x: n arvo kussakin tapauksessa:

Thalesin toinen lause

Thalesin toinen lause määrittää oikean kolmion, joka on kirjoitettu ympyrään saman pisteen jokaisessa pisteessä.

Ympäristöön merkitty kolmio on kolmio, jonka kärjet ovat kehällä ja pysyvät siten siinä.

Erityisesti Thalesin toinen lause väittää seuraavan: Kun ympyrä on keskipisteellä O ja halkaisija AC, kukin kehän piste B (muu kuin A ja C) määrittää suorakulmaisen kolmion ABC, jossa on suora kulma.

Perustellaan, että todetaan, että sekä OA että OB ja OC vastaavat kehän sädettä; siksi heidän mittauksensa ovat samat. Tästä seuraa, että kolmiot OAB ja OCB ovat tasakylkisiä, missä

On tiedossa, että kolmion kulmien summa on yhtä suuri kuin 180º. Käyttämällä tätä kolmion ABC kanssa meillä on:

2b + 2a = 180º.

Vastaavasti meillä on, että b + a = 90º ja b + a =

Huomaa, että Thalesin toisen lauseen tarjoama oikea kolmio on juuri sellainen, jonka hypotenuusi on yhtä suuri kuin kehän halkaisija. Siksi se määritetään kokonaan puolipyörällä, joka sisältää kolmion pisteet; tässä tapauksessa ylempi puoliympyrä.

Tarkastellaan myös, että Thalesin toisen lauseen avulla saadussa oikeassa kolmiossa hypoteenus jaetaan kahteen yhtä suureen osaan OA: n ja OC: n (säde) avulla. Tämä puolestaan ​​on yhtä suuri kuin segmentti OB (myös säde), joka vastaa B: n kolmion ABC mediaania.

Toisin sanoen, kärkipistettä B vastaavan oikean kolmion ABC mediaanin pituus määräytyy kokonaan puolelta hypotenuusista. Muista, että kolmion mediaani on segmentti yhdestä kärkipisteestä vastakkaisen puolelle keskipisteeseen; tässä tapauksessa BO-segmentti.

Rajattu ympärysmitta

Toinen tapa tarkastella Thalesin toista lausetta on oikeanpuoleiseen kolmioon rajoitetun kehän kautta.

Yleensä monikulmion ympäröimä kehä koostuu kehästä, joka kulkee jokaisen sen kärjen läpi aina, kun se on mahdollista piirtää.

Käyttämällä Thalesin toista lausetta, jolle on annettu suorakulmainen kolmio, voimme aina rakentaa sen ympäröimän kehän, jonka säde on puolet hypoteenuksen ja ympyrän (kehän keskipiste), joka on yhtä suuri kuin hypoteenuksen keskipiste.

hakemus

Thalesin toisen lauseen, joka on kenties eniten käytetty, erittäin tärkeä sovellus on löytää tietyn ympyrän tangenttiviivat sen ulkopuolella olevan P: n kautta (tunnetaan).

Huomaa, että kun ympyrä (alla olevassa kuvassa sinisellä piirretty) ja ulkoinen piste P, ympyrälle on kaksi tangenttia, jotka kulkevat P: n läpi. T ja T 'ovat tangenssipisteitä, r ympyrän säde ja Tai keskustaan.

On tunnettua, että segmentti, joka kulkee ympyrän keskustasta saman tangenssipisteeseen, on kohtisuorassa tähän tangenttiviivaan. Joten kulma OTP on oikea.

Sen perusteella, mitä näimme aikaisemmin Thalesin ensimmäisessä lauseessa ja sen eri versioissa, näemme, että OTP-kolmio on mahdollista piirtää toiseen ympyrään (punaisella).

Samoin saadaan, että kolmio OT'P voidaan kirjoittaa samassa aikaisemmassa kehässä.

Thalesin toisella lauseella saadaan myös, että tämän uuden kehän halkaisija on tarkalleen kolmion OTP hypotenuusi (joka on yhtä suuri kuin kolmion OT'P hypotenuusi) ja keskipiste on tämän hypotenuksen keskipiste.

Uuden kehän keskipisteen laskemiseksi riittää, kun lasketaan alkuperäisen kehän (jonka jo tunnemme) keskipisteen - sanotaan M - ja pisteen P (jonka tiedämme myös) välinen keskipiste. Tällöin säde on etäisyys tämän pisteen M ja P välillä.

Punaisen ympyrän sädeellä ja keskellä löydämme sen suorakulmaisen yhtälön, jonka muistamme antamalla (xh) ² + (yk) ² = c ², missä c on säde ja piste (h, k) on kehän keskipiste.

Kun tiedät nyt molempien ympyröiden yhtälöt, voimme katkaista ne ratkaisemalla niiden muodostaman yhtälöjärjestelmän ja saada siten tangenttipisteet T ja T '. Lopuksi, jotta tiedät halutut tangenttiviivat, riittää, kun löytää yhtälö linjoille, jotka kulkevat T: n ja P: n, sekä T ': n ja P: n läpi.

esimerkki

Tarkastellaan halkaisijan AC ympyrää, keskikohtaa O ja sädettä 1 cm. Olkoon B kehällä oleva piste, joka on AB = AC. Kuinka pitkä on AB?

Ratkaisu

Thalesin toisella lauseella meillä on, että kolmio ABC on oikea ja hypoteenus vastaa halkaisijaa, joka tässä tapauksessa on 2 cm (säde on 1 cm). Sitten Pythagoran lauseen mukaan meillä on:

Viitteet

1. Ana Lira, PJ (2006). Geometria ja trigonometria. Zapopan, Jalisco: Ediciones Umbral.
2. Goodman, A., & Hirsch, L. (1996). Algebra ja trigonometria analyyttisellä geometrialla. Pearson koulutus.
3. Gutiérrez, Á. TO. (2004). Matematiikan metodologia ja sovellukset ESO: n opetusministeriössä.
4. Iger. (2014). Matematiikan toinen lukukausi Zaculeu. Guatemala: IGER.
5. José Jiménez, LJ (2006). Matematiikka 2. Zapopan, Jalisco: Ediciones Umbral.
6. M., S. (1997). Trigonometria ja analyyttinen geometria. Pearson koulutus.
7. Pérez, MA (2009). Matematiikan historia: Haasteet ja valloitukset luonteensa kautta. Toimituksellinen visio Libros.
8. Viloria, N., & Leal, J. (2005). Koneanalyyttinen geometria. Toimituksellinen Venezolana CA