Bernoulli lauseen, joka kuvaa käyttäytymistä nesteen liikettä, ilmaistiin matemaattinen ja fyysisen Daniel Bernoulli työssään Hydrodynamics. Periaatteen mukaan ihanteellisella nesteellä (ilman kitkaa tai viskositeettia), joka kiertää suljetun putken läpi, on vakioenergia polullaan.
Lause voidaan johtaa energiansäästöperiaatteesta ja jopa Newtonin toisesta liikelaista. Lisäksi Bernoullin periaate vahvistaa myös, että nesteen nopeuden lisääntyminen merkitsee siihen kohdistuvan paineen alenemista, sen potentiaalienergian laskua tai molempia samanaikaisesti.
Daniel Bernoulli
Lauseella on monia erilaisia sovelluksia, sekä tiedemaailmassa että ihmisten jokapäiväisessä elämässä.
Sen seuraukset ovat muun muassa lentokoneiden nostovoimassa, kotien ja teollisuuden savupipeissä, vesiputkissa.
Bernoullin yhtälö
Vaikka Bernoulli päätteli, että paine pienenee virtausnopeuden kasvaessa, totuus on, että juuri Leonhard Euler kehitti Bernoulli-yhtälön nykyisessä muodossaan.
Joka tapauksessa Bernoullin yhtälö, joka ei ole muuta kuin hänen lauseensa matemaattinen ilmaus, on seuraava:
v 2 ∙ ƿ / 2 + P + ƿ ∙ g ∙ z = vakio
Tässä lausekkeessa v on nesteen nopeus tarkastellun osan läpi, ƿ on nesteen tiheys, P on nesteen paine, g on painovoiman kiihtyvyyden arvo ja z on suunnassa mitattu korkeus painovoima.
Bernoullin yhtälössä on epäsuorasti esitetty, että nesteen energia koostuu kolmesta komponentista:
- Kineettinen komponentti, joka johtuu nesteen liikkumisen nopeudesta.
- Potentiaalinen tai painovoimainen komponentti, joka johtuu nesteen korkeudesta.
- Paineenergia, joka on nesteellä, joka johtuu siitä kohdistuvasta paineesta.
Toisaalta Bernoullin yhtälö voidaan ilmaista myös tällä tavalla:
v 1 2 ∙ ƿ / 2 + P 1 + ƿ ∙ g ∙ z 1 = v 2 2 ∙ ƿ / 2 + P 2 + ƿ ∙ g ∙ z 2
Tämä viimeinen lauseke on erittäin käytännöllinen analysoidakseen muutoksia, joita neste kokee, kun jokin yhtälön muodostavista elementeistä muuttuu.
Yksinkertaistettu muoto
Tietyissä tilanteissa Bernoullin yhtälön termin ρgz muutos on minimaalinen verrattuna muihin termeihin, joten se voidaan jättää huomiotta. Tämä tapahtuu esimerkiksi lentokoneen koettavissa virtauksissa.
Näissä tilanteissa Bernoulli-yhtälö ilmaistaan seuraavasti:
P + q = P 0
Tässä lausekkeessa q on dynaaminen paine ja vastaa arvoa v 2 ∙ 2/2, ja P 0 on mitä kutsutaan kokonaispaineeksi ja on staattisen paineen P ja dynaamisen paineen q summa.
Sovellukset
Bernoullin lauseella on monia ja erilaisia sovelluksia niin monimuotoisilla aloilla kuin tiede, tekniikka, urheilu jne.
Kiinnostava sovellus löytyy tulisijojen suunnittelusta. Savupiiput on rakennettu korkealle suuremman paine-eron saavuttamiseksi pohjan ja savuputken poistoaukon välillä, jonka ansiosta palamiskaasut on helpompi erottaa.
Bernoulli-yhtälö koskee tietysti myös putkissa olevien nestevirtausten liiketutkimusta. Yhtälöstä seuraa, että putken poikkileikkauspinnan pienentäminen sen läpi kulkevan nesteen nopeuden lisäämiseksi merkitsee myös paineen laskua.
Bernoulli-yhtälöä käytetään myös ilmailussa ja kaavan 1 mukaisissa ajoneuvoissa. Ilmailualalla Bernoulli-ilmiö on lentokoneiden hissin lähtökohta.
Ilma-aluksen siipi on suunniteltu tavoitteeksi saavuttaa suurempi ilmavirta siiven yläosassa.
Siten siipin yläosassa ilman nopeus on suuri ja sen vuoksi paine on alhaisempi. Tämä paine-ero tuottaa pystysuunnassa ylöspäin suuntautuvan voiman (nostovoiman), joka antaa ilma-aluksen pysyä ilmassa. Samanlainen vaikutus saavutetaan Formula 1 -autoissa.
Harjoitus ratkaistu
Vesivirta virtaa 5,18 m / s läpi putken, jonka poikkileikkaus on 4,2 cm 2. Vesi laskeutuu korkeus 9,66 m alemman tason, jonka korkeus on nolla korkeus, kun taas poikkipinta-ala putken kasvaa 7,6 cm 2.
a) Laske vesivirran nopeus alemmalla tasolla.
b) Määritä paine alemmalla tasolla tietäen, että ylemmän tason paine on 152000 Pa.
Ratkaisu
a) Koska virtausta on säilytettävä, on totta, että:
Q ylempi taso = Q alempi taso
v 1. S 1 = v 2. S 2
5,18 m / s. 4,2 cm 2 = v 2. 7,6 cm ^ 2
Ratkaisuna saadaan, että:
v 2 = 2,86 m / s
b) Sovellettamalla Bernoullin lauseketta kahden tason välillä ja ottaen huomioon, että veden tiheys on 1000 kg / m 3, saadaan seuraavaa:
v 1 2 ∙ ƿ / 2 + P 1 + ƿ ∙ g ∙ z 1 = v 2 2 ∙ ƿ / 2 + P 2 + ƿ ∙ g ∙ z 2
(1/2). 1000 kg / m 3. (5,18 m / s) 2 + 152000 + 1000 kg / m 3. 10 m / s 2. 9,66 m =
= (1/2). 1000 kg / m 3. (2,86 m / s) 2 + P 2 + 1000 kg / m 3. 10 m / s 2. 0 m
Ratkaisu P 2: lle saadaan:
P 2 = 257926,4 Pa
Viitteet
- Bernoullin periaate. (Nd). Wikipediassa. Haettu 12. toukokuuta 2018, es.wikipedia.org.
- Bernoullin periaate. (Nd). Wikipediassa. Haettu 12. toukokuuta 2018, en.wikipedia.org.
- Batchelor, GK (1967). Johdanto nestedynamiikkaan. Cambridge University Press.
- Lamb, H. (1993). Hydrodynamiikka (6. painos). Cambridge University Press.
- Mott, Robert (1996). Sovellettu nestemekaniikka (4. painos). Meksiko: Pearson Education.