Binomijakauman on todennäköisyysjakauma, jolla todennäköisyys tapahtumien esiintymisestä lasketaan, edellyttäen, että ne esiintyvät kahden säännöt: onnistuminen tai epäonnistuminen.
Nämä nimitykset (menestys tai epäonnistuminen) ovat täysin mielivaltaisia, koska ne eivät välttämättä tarkoita hyviä tai huonoja asioita. Tämän artikkelin aikana ilmoitamme binomijakauman matemaattisen muodon ja sitten kunkin termin merkitys selitetään yksityiskohtaisesti.
Kuva 1. Muotin rulla on ilmiö, joka voidaan mallintaa käyttämällä binomijakaumaa. Lähde: Pixabay.
Yhtälö
Yhtälö on seuraava:
Kun x = 0, 1, 2, 3….n, missä:
- P (x) on todennäköisyys saada täsmälleen x onnistumista n yrityksen tai kokeen välillä.
- x on muuttuja, joka kuvaa kiinnostavaa ilmiötä ja vastaa onnistumisten lukumäärää.
- n yritysten lukumäärä
- p on onnistumisen todennäköisyys yhdessä yrityksessä
- q on epäonnistumisen todennäköisyys yhdessä yrityksessä, siksi q = 1 - p
Huutomerkki "!" käytetään tekijämerkintöihin, joten:
0! = 1
yksi! = 1
kaksi! = 2,1 = 2
3! = 3,2,1 = 6
4! = 4.3.2.1 = 24
5! = 5.4.3.2.1 = 120
Ja niin edelleen.
Konsepti
Binomijakauma on erittäin sopiva kuvaamaan tilanteita, joissa tapahtuma tapahtuu tai ei tapahdu. Jos se tapahtuu, se on menestys ja jos ei, niin se on epäonnistuminen. Lisäksi onnistumisen todennäköisyyden on oltava aina vakio.
On ilmiöitä, jotka sopivat näihin olosuhteisiin, esimerkiksi kolikon heittäminen. Tässä tapauksessa voidaan sanoa, että "menestys" on saamassa kasvoja. Todennäköisyys on ½ ja ei muutu riippumatta siitä kuinka monta kertaa kolikko heitetään.
Rehellisen muotin rulla on toinen hyvä esimerkki, samoin kuin tietyn tuotannon luokittelu hyviksi ja viallisiksi kappaleiksi ja punaisuuden saaminen mustan sijasta rulettipyörää pyörittäessä.
ominaisuudet
Voimme tiivistää binomijakauman ominaisuudet seuraavasti:
- Kaikki tapahtumat tai havainnot saadaan äärettömästä populaatiosta ilman korvaamista tai rajallisesta populaatiosta, jolla korvataan.
- Harkitaan vain kahta vaihtoehtoa, jotka sulkevat toisensa pois: menestys tai epäonnistuminen, kuten alussa selitettiin.
- Menestymisen todennäköisyyden on oltava vakio kaikissa tehdyissä havainnoissa.
- Jokaisen tapahtuman tulos on riippumaton muusta tapahtumasta.
- Binomijakauman keskiarvo on np
- Vakiopoikkeama on:
Sovellusesimerkki
Otetaanpa yksinkertainen tapahtuma, joka voi saada 2 päätä 5 kiertämällä rehellisen kuoleman 3 kertaa. Mikä on todennäköisyys, että 3 heitosta saadaan 2 päätä 5: tä?
Tämän saavuttamiseksi on useita tapoja, esimerkiksi:
- Kaksi ensimmäistä laukausta ovat 5 ja viimeinen ei.
- Ensimmäinen ja viimeinen ovat 5, mutta eivät keskimmäisiä.
- Kaksi viimeistä heittoa on 5 ja ensimmäinen ei.
Otetaan esimerkiksi kuvattu ensimmäinen sekvenssi ja lasketaan sen esiintymisen todennäköisyys. Todennäköisyys saada 5 päätä ensimmäiselle rullalle on 1/6 ja myös toiselle, koska ne ovat itsenäisiä tapahtumia.
Todennäköisyys saada toinen pää kuin 5 viimeisellä telalla on 1 - 1/6 = 5/6. Siksi todennäköisyys, että tämä jakso tulee esiin, on todennäköisyydet:
(1/6). (1/6). (5/6) = 5/216 = 0,023
Entä muut kaksi sekvenssiä? Heillä on sama todennäköisyys: 0,023.
Ja koska meillä on yhteensä 3 onnistunutta sekvenssiä, kokonais todennäköisyys on:
Esimerkki 2
Yksi yliopisto väittää, että 80% yliopistokoripalloryhmän opiskelijoista valmistuu. Tutkimuksessa tutkitaan mainitun koripallojoukkueen 20 opiskelijan akateemista kirjaa, joka ilmoittautui yliopistoon jonkin aikaa sitten.
Näistä 20 opiskelijasta 11 päätti opintonsa ja 9 lopetti.
Kuva 2. Lähes kaikki opiskelijat, jotka pelaavat yliopistojoukkueen tutkinnon suorittaneina. Lähde: Pixabay.
Jos yliopiston lausunto on totta, koripalloa pelaavien ja valmistuneiden opiskelijoiden lukumäärällä 20: sta 20: stä tulisi olla binomijakauma n = 20 ja p = 0,8. Mikä on todennäköisyys, että tarkalleen 11 pelaajaa 20 pelaajasta valmistuu?
Ratkaisu
Binomijakaumassa:
Esimerkki 3
Tutkijat suorittivat tutkimuksen selvittääkseen, oliko erityisohjelmien kautta päätettyjen lääketieteen opiskelijoiden ja säännöllisten pääsyperusteiden kautta hyväksyttyjen lääketieteen opiskelijoiden välillä merkittäviä eroja valmistumisasteessa.
Valmistumisasteen todettiin olevan 94% opiskelijalääkäreiltä, jotka otetaan vastaan erityisohjelmien kautta (perustuu American Medical Associationin lehden tietoihin).
Jos 10 erityisohjelmasta opiskelijaa valitaan satunnaisesti, löydä todennäköisyys, että vähintään 9 heistä valmistui.
b) Olisiko epätavallista valita 10 opiskelijaa satunnaisesti erityisohjelmista ja huomata, että vain 7 heistä on suorittanut tutkinnon?
Ratkaisu
Todennäköisyys, että erityisohjelman kautta hyväksytty opiskelija suorittaa tutkinnon, on 94/100 = 0,94. Valitsemme n = 10 opiskelijaa erityisohjelmista ja haluamme selvittää todennäköisyyden, että vähintään 9 heistä valmistuu.
Seuraavat arvot korvataan sitten binomijakaumassa:
b)
Viitteet
- Berenson, M. 1985. Johtamis- ja taloustiede. Interamericana SA
- MathWorks. Binomiaalijakauma. Palautettu osoitteesta: es.mathworks.com
- Mendenhall, W. 1981. Johtamis- ja taloustiede. 3rd. painos. Grupo Editorial Iberoamérica.
- Moore, D. 2005. Applied Basic Statistics. 2nd. Painos.
- Triola, M. 2012. Alkuperäiset tilastot. 11th. Toim. Pearson Education.
- Wikipedia. Binomiaalijakauma. Palautettu osoitteesta: es.wikipedia.org