HYPERGEOMETRINEN JAKAUMA: KAAVAT, YHTÄLÖT, MALLI - DUDAS - 2025

Hypergeometrisen jakauma on diskreetti tilastollinen toiminto, joka soveltuu laskemiseksi todennäköisyys satunnaistettiin kokeissa on kaksi mahdollista lopputulosta. Sen soveltamiseksi vaaditaan, että ne ovat pieniä populaatioita, joissa vetäytymistä ei korvata ja todennäköisyydet eivät ole vakioita.

Siksi, kun populaation osa valitaan tietämään tietyn ominaisuuden tulos (oikea tai epätosi), samaa elementtiä ei voida valita uudelleen.

Kuva 1. Tällaisessa pulttipopulaatiossa on varmasti viallisia näytteitä. Lähde: Pixabay.

Varmasti seuraavalla valitulla elementillä saadaan todennäköisemmin todellinen tulos, jos edellisellä elementillä oli negatiivinen tulos. Tämä tarkoittaa, että todennäköisyys vaihtelee, kun elementit poistetaan näytteestä.

Hypergeometrisen jakauman pääsovellukset ovat: laadunvalvonta prosesseissa, joissa on vähän populaatiota, ja todennäköisyyslaskelmien tekeminen uhkapeleissä.

Mitä tulee matemaattiseen funktioon, joka määrittelee hypergeometrisen jakauman, se koostuu kolmesta parametrista, jotka ovat:

- Väestöelementtien lukumäärä (N)

- Näytteen koko (m)

- Tapahtumien lukumäärä koko populaatiossa, joilla on suotuisa (tai epäsuotuisa) tulos tutkitusta ominaisuudesta (n).

Kaavat ja yhtälöt

Hypergeometrisen jakauman kaava antaa todennäköisyyden P, että tapahtuu x tietyn ominaisuuden edullisia tapauksia. Tapa kirjoittaa se matemaattisesti yhdistelmälukujen perusteella on:

Edellisessä lausekkeessa N, n ja m ovat parametreja ja x on itse muuttuja.

- Kokonaisväestö on N.

-Tietyn binäärisen ominaisuuden positiivisten tulosten lukumäärä suhteessa kokonaispopulaatioon on n.

-Otoksen elementtien määrä on m.

Tässä tapauksessa X on satunnaismuuttuja, joka ottaa arvon x ja P (x) ilmaisee todennäköisyyden tutkitun ominaisuuden x suotuisien tapausten esiintymisestä.

Tärkeät tilastolliset muuttujat

Muita hypergeometrisen jakauman tilastollisia muuttujia ovat:

- Keskimääräinen μ = m * n / N

- varianssi σ ^ 2 = m * (n / N) * (1-n / N) * (Nm) / (N-1)

- Vakiopoikkeama σ, joka on varianssin neliöjuuri.

Malli ja ominaisuudet

Hypergeometrisen jakauman mallin saavuttamiseksi aloitamme todennäköisyydestä saada x suotuisaa tapausta näytteessä, jonka koko on m. Tämä näyte sisältää elementtejä, jotka ovat tutkittavan ominaisuuden mukaisia, ja elementtejä, jotka eivät ole.

Muista, että n edustaa suotuisten tapausten määrää N-elementin kokonaismäärässä. Sitten todennäköisyys lasketaan seuraavasti:

Edellä ilmaistuna yhdistelmälukuina saadaan seuraava todennäköisyysjakaumamalli:

Hypergeometrisen jakauman pääominaisuudet

Ne ovat seuraavat:

- Otos on aina oltava pieni, vaikka väestö olisi suuri.

- Näytteen elementit uutetaan yksitellen sisällyttämättä niitä takaisin populaatioon.

- Tutkittava ominaisuus on binäärinen, ts. Se voi ottaa vain kaksi arvoa: 1 tai 0 tai totta tai vääriä.

Jokaisessa elementin erotusvaiheessa todennäköisyys muuttuu aikaisempien tulosten mukaan.

Lähestyminen binomijakauman avulla

Toinen hypergeometrisen jakauman ominaisuus on, että sitä voidaan arvioida binomijakaumalla, jota merkitään Bi, kunhan populaatio N on suuri ja ainakin 10 kertaa suurempi kuin näytteessä m. Tässä tapauksessa se näyttää tältä:

Todennäköisyys, että näytteen x = 3 ruuvia on viallinen, on: P (500, 5, 60, 3) = 0,0129.

Sitä vastoin todennäköisyys, että x = 4 ruuvia näytteen kuusikymmentä on viallinen, on: P (500, 5, 60; 4) = 0,0008.

Lopuksi todennäköisyys, että näytteen x = 5 ruuvia on viallinen, on: P (500, 5, 60; 5) = 0.

Mutta jos haluat tietää todennäköisyyden, että kyseisessä näytteessä on enemmän kuin 3 viallista ruuvia, sinun on saatava kumulatiivinen todennäköisyys lisäämällä:

Tämä esimerkki on esitetty kuvassa 2, joka on saatu käyttämällä GeoGebraa, ilmaista ohjelmistoa, jota käytetään laajalti kouluissa, instituuteissa ja yliopistoissa.

Kuva 2. Esimerkki hypergeometrisestä jakaumasta. Valmistaja F. Zapata GeoGebran kanssa.

Esimerkki 2

Espanjalaisessa kannella on 40 korttia, joista 10 on kultaa ja loput 30 eivät. Oletetaan, että kannelta on vedetty satunnaisesti 7 korttia, joita ei sisällytetä takaisin kannelle.

Jos X on seitsemässä piirretyssä kortissa läsnä olevien kultojen lukumäärä, niin todennäköisyys saada x kultaa 7-kortin vetämisessä annetaan hypergeometrisellä jakaumalla P (40,10,7; x).

Katsotaanpa tämä näin: Laskemme todennäköisyys saada 4 kultaa 7-kortin vetoomuksessa käyttämällä hypergeometrisen jakauman kaavaa seuraavilla arvoilla:

Ja tulos on: 4.57% todennäköisyys.

Mutta jos haluat tietää todennäköisyyden saada enemmän kuin 4 korttia, sinun on lisättävä:

Ratkaistuja harjoituksia

Seuraavan harjoitussarjan tarkoituksena on havainnollistaa ja rinnastaa tässä artikkelissa esitetyt käsitteet. On tärkeää, että lukija yrittää ratkaista ne yksin, ennen kuin tarkastelee ratkaisua.

Harjoitus 1

Kondomitehdas on havainnut, että jokaisesta tietyn koneen valmistamasta 1000 kondomista 5 on viallinen. Laadunvalvontaa varten otetaan 100 kondomia satunnaisesti ja erä hylätään, jos ainakin yksi tai useampi viallinen. Vastaus:

a) Mikä on mahdollisuus, että paljon 100 heitetään pois?

b) Onko tämä laadunvalvontakriteeri tehokas?

Ratkaisu

Tällöin ilmestyy erittäin suuria yhdistelmälukuja. Laskenta on vaikeaa, ellei sinulla ole sopivaa ohjelmistopakettia.

Mutta koska se on suuri populaatio ja otos on kymmenen kertaa pienempi kuin kokonaispopulaatio, on mahdollista käyttää hypergeometrisen jakauman likimääräisyyttä binomijakauman mukaan:

Yllä olevassa lausekkeessa C (100, x) on yhdistelmäluku. Sitten todennäköisyys useampaan kuin yhteen vialliseen lasketaan seuraavasti:

Se on erinomainen arvio, jos verrataan arvoon, joka saadaan soveltamalla hypergeometristä jakaumaa: 0,4102

Voidaan sanoa, että 40%: n todennäköisyydellä 100 profylaktinen erä tulisi hylätä, mikä ei ole kovin tehokasta.

Mutta jos laatuvaatimukset ovat hiukan vähemmän vaativat ja 100: n erä hylätään vain, jos vikoja on kaksi tai enemmän, erän hylkäämisen todennäköisyys putoaa vain 8 prosenttiin.

Harjoitus 2

Muoviplokkikone toimii siten, että jokaisesta kymmenestä kappaleesta yksi tulee epämuodostuneeksi. Kuinka todennäköistä on, että 5 kappaleen näytteessä vain yksi pala on viallinen?

Ratkaisu

Väestö: N = 10

Viallisten lukumäärä n jokaiselle N: lle: n = 1

Näytteen koko: m = 5

Siksi on 50% todennäköisyys, että 5: n näytteessä lohko deformoituu.

Harjoitus 3

Nuorten lukion tutkinnon suorittaneiden kokouksessa on 7 naista ja 6 herraa. Tyttöjen joukossa 4 opiskelee humanistisia ja 3 tiedettä. Poikaryhmässä 1 opiskelee humanistisia ja 5 tiedettä. Laske seuraava:

a) Kolmen tytön valinta satunnaisesti: kuinka todennäköistä on, että he kaikki opiskelevat humanistisia tiedeitä?

b) Jos kolme ystävätapaamiseen osallistujaa valitaan satunnaisesti: Mikä on mahdollista, että kolme heistä, sukupuolesta riippumatta, opiskelee kaikkia kolmea tiedettä tai myös kaikkia kolmea humanistista tiedettä?

c) Valitse nyt kaksi kaveria satunnaisesti ja soita x satunnaismuuttujalle "humanistisia opintoja suorittavien lukumäärä". Määritä kahden valitun välillä x: n keskiarvo tai odotettu arvo ja varianssi σ ^ 2.

Ratkaisu

Nyt käytettävät arvot ovat:

-Populaatio: N = 14

- Kirjaimia tutkittava määrä on: n = 6 ja

-Näytteen koko: m = 3.

-Tieteitä opiskelevien ystävien lukumäärä: x

Tämän mukaan x = 3 tarkoittaa, että kaikki kolme opiskelevat humanistisia tiedemiehiä, mutta x = 0 tarkoittaa, että mikään ei opiskele humanistisia aineita. Summa antaa todennäköisyyden, että kaikki kolme opiskelevat samaa:

P (14, 6, 3, x = 0) + P (14, 6, 3, x = 3) = 0,0560 + 0,1539 = 0,2099

Sitten meillä on 21% todennäköisyys, että kolme satunnaisesti valittua kokouksen osallistujaa opiskelee samaa asiaa.

Ratkaisu c

Tässä meillä on seuraavat arvot:

N = 14 kaveripopulaatiota, n = 6 humanistisia opintoja tekevän väestön kokonaismäärä, otoskoko on m = 2.

Toivo on:

E (x) = m * (n / N) = 2 * (6/14) = 0,8572

Ja varianssi:

σ (x) ^ 2 = m * (n / N) * (1-n / N) * (Nm) / (N-1) = 2 * (6/14) * (1-6 / 14) * (14-2) / (14-1) =

= 2 * (6/14) * (1-6 / 14) * (14-2) / (14-1) = 2 * (3/7) * (1-3 / 7) * (12) / (13) = 0,4521

Viitteet

1. Diskreetit todennäköisyysjakaumat. Palautettu: biplot.usal.es
2. Tilastot ja todennäköisyys. Hypergeometrinen jakauma. Palautettu osoitteesta: projectdescartes.org
3. CDPYE-UGR. Hypergeometrinen jakauma. Palautettu: ugr.es
4. GeoGebra. Klassinen geogebra, todennäköisyyslaskenta. Palautettu osoitteesta geogebra.org
5. Kokeile helppoa. Ratkaistiin hypergeometrisen jakauman ongelmat. Palautettu osoitteesta probafacil.com
6. Minitab. Hypergeometrinen jakauma. Palautettu osoitteesta: support.minitab.com
7. Vigon yliopisto. Tärkeimmät erilliset jakaumat. Palautettu osoitteesta: anapg.webs.uvigo.es
8. Vitutor. Tilastot ja yhdistelmätekniikka. Palautettu osoitteesta: vitutor.net
9. Weisstein, Eric W. Hypergeometrinen jakauma. Palautettu osoitteesta: mathworld.wolfram.com
10. Wikipedia. Hypergeometrinen jakauma. Palautettu osoitteesta: es.wikipedia.com