POISSON-JAKAUMA: KAAVAT, YHTÄLÖT, MALLI, OMINAISUUDET - DUDAS - 2025

Poisson-jakauma on diskreetti todennäköisyysjakauma, jonka kautta on mahdollista tietää, todennäköisyys, että suurella näytteen koon ja sen aikana tietyin intervallein, tapahtuma, jonka todennäköisyys on pieni tapahtuu.

Usein Poisson-jakaumaa voidaan käyttää binomijakauman sijasta, kunhan seuraavat ehdot täyttyvät: suuri näyte ja pieni todennäköisyys.

Kuva 1. Kaavio Poisson-jakaumasta eri parametreille. Lähde: Wikimedia Commons.

Siméon-Denis Poisson (1781-1840) loi tämän nimensä kantavan jakauman, joka on erittäin hyödyllinen odottamattomien tapahtumien yhteydessä. Poisson julkaisi tuloksensa vuonna 1837, tutkinnan kohteena virheellisten rikostuomioiden todennäköisyydestä.

Myöhemmin muut tutkijat mukauttivat jakaumaa muilla alueilla, esimerkiksi sellaisten tähtiä, joita voidaan löytää tietystä tilavuudesta, tai todennäköisyyttä, että sotilas kuolee hevosen potkusta.

Kaava ja yhtälöt

Poisson-jakauman matemaattinen muoto on seuraava:

- μ (jota joskus kutsutaan myös nimellä λ) on jakauman keskiarvo tai parametri

- Euler-luku: e = 2,71828

- Todennäköisyys saada y = k on P

- k on onnistumisten lukumäärä 0, 1,2,3…

- n on testien tai tapahtumien lukumäärä (otoksen koko)

Diskreetit satunnaismuuttujat, kuten nimensä viittaavat, riippuvat sattumasta ja ottavat vain erillisiä arvoja: 0, 1, 2, 3, 4…, k.

Jakauman keskiarvo saadaan:

Toinen tärkeä parametri on varianssi σ, joka mittaa datan leviämistä. Poisson-jakelulle se on:

σ = μ

Poisson määritti, että kun n → ∞ ja p → 0, keskiarvolla μ - jota kutsutaan myös odotetuksi arvoksi - on taipumus vakioksi:

- Tarkasteltavat tapahtumat tai tapahtumat ovat riippumattomia toisistaan ​​ja tapahtuvat satunnaisesti.

-Tietyn ajanjakson aikana tapahtuneen tietyn tapahtuman todennäköisyys P on hyvin pieni: P → 0.

- Todennäköisyys, että useampi kuin yksi tapahtuma tapahtuu aikavälillä, on 0.

-Keskimääräinen arvo on yhtä suuri kuin vakio, joka saadaan: μ = np (n on näytteen koko)

-Koska dispersio σ on yhtä suuri kuin μ, kun se hyväksyy suurempia arvoja, muuttuvuus myös kasvaa.

-Tapahtumat on jaettava tasaisesti käytetyn ajanjakson aikana.

-Tapahtuman y mahdollisten arvojen joukko on: 0,1,2,3,4….

-Poisson-jakaumaa seuraavien i-muuttujien summa on myös toinen Poisson-muuttuja. Sen keskiarvo on näiden muuttujien keskiarvojen summa.

Eroja binomijakauman suhteen

Poisson-jakauma eroaa binomijakaumasta seuraavilla tärkeillä tavoilla:

-Binomiaalijakaumaan vaikuttavat sekä näytteen koko n että todennäköisyys P, mutta Poisson-jakaumaan vaikuttaa vain keskiarvo μ.

- Binomijakaumassa satunnaismuuttujan y mahdolliset arvot ovat 0,1,2,…, N, kun taas Poisson-jakaumassa näille arvoille ei ole ylärajaa.

esimerkit

Poisson sovelsi alun perin kuuluisaa jakeluaan oikeusjuttuihin, mutta teollisella tasolla yksi hänen varhaisimmista käyttötarkoituksistaan ​​oli oluen panimo. Tässä prosessissa käymisessä käytetään hiivaviljelmiä.

Hiiva koostuu elävistä soluista, joiden populaatio vaihtelee ajan myötä. Oluen valmistuksessa on tarpeen lisätä tarvittava määrä, siksi on välttämätöntä tietää solujen määrä tilavuusyksikköä kohti.

Toisen maailmansodan aikana Poisson-jakaumaa käytettiin selvittämään, kohdistuivatko saksalaiset todella Lontooseen Calaisesta vai ampuvatko he vain satunnaisesti. Tämä oli tärkeätä liittolaisille määrittää, kuinka hyvä oli natsien käytettävissä oleva tekniikka.

Käytännön sovellukset

Poisson-jakauman sovellukset viittaavat aina ajallisiin tai avaruuslukemiin. Ja koska tapahtumien todennäköisyys on pieni, se tunnetaan myös nimellä "harvinaisten tapahtumien laki".

Tässä on luettelo tapahtumista, jotka kuuluvat johonkin näistä luokista:

- Hiukkasten uudelleenrekisteröinti radioaktiivisessa hajoamisessa, joka, kuten hiivasolujen kasvu, on eksponentiaalinen funktio.

-Tietyn verkkosivuston käyntien lukumäärä.

-Ihmisten saapuminen maksettavalle tai osallistuvalle riville (jonoteoria).

-Määrä autoja, jotka ohittavat tietyn pisteen tiellä tietyn ajanjakson aikana.

Kuva 2. Pisteen läpi kulkevien autojen määrä seuraa suurin piirtein Poisson-jakaumaa. Lähde: Pixabay.

-Mutaatiot kärsivät tietyssä DNA-ketjussa säteilyaltistuksen jälkeen.

-Meteoriittien määrä, joiden halkaisija on yli 1 m, pudonnut vuodessa.

-Vaikutukset kankaan neliömetriä kohti.

- Verisolujen määrä 1 kuutiometriä kohti.

-Puhelut minuutissa puhelinkeskukseen.

-Suklaalastuja 1 kg kakkua.

-Tietyn loisen tartuttamien puiden lukumäärä 1 hehtaarilla metsää.

Huomaa, että nämä satunnaismuuttujat edustavat kuinka monta kertaa tapahtuma tapahtuu määrätyn ajanjakson aikana (puhelut minuutissa puhelinkeskukseen) tai tietyllä aluealueella (kangasviat neliömetriä kohti).

Nämä tapahtumat, kuten on jo todettu, ovat riippumattomia ajasta, joka on kulunut viimeisimmästä tapahtumasta.

Lähestyy binomiaalijakaumaa Poisson-jakauman kanssa

Poisson-jakauma on hyvä lähestymistapa binomijakaumaan, kunhan:

-Näytteen koko on suuri: n ≥ 100

-Todennäköisyys p on pieni: p ≤ 0,1

- μ on järjestyksessä: np ≤ 10

Tällaisissa tapauksissa Poisson-jakauma on erinomainen työkalu, koska binomijakaumaa voi olla vaikea soveltaa näissä tapauksissa.

Ratkaistuja harjoituksia

Harjoitus 1

Seismologisen tutkimuksen mukaan viimeisen 100 vuoden aikana maailmassa oli 93 suurta maanjäristystä, vähintään 6,0 Richterin asteikolla - logaritminen -. Oletetaan, että Poisson-jakauma on sopiva malli tässä tapauksessa. Löytö:

a) Suurten maanjäristysten keskimääräinen määrä vuodessa.

b) Jos P (y) on sattumanvaraisesti valitun vuoden aikana tapahtuvien maanjäristysten todennäköisyys, löydä seuraavat todennäköisyydet:

Se on melko vähemmän kuin P (2).

Tulokset on lueteltu alla:

P (0) = 0,395, P (1) = 0,377, P (2) = 0,171, P (3) = 0,0529, P (4) = 0,0123, P (5) = 0,00229, P (6) = 0,000355, P (7) = 0,0000471.

Voimme esimerkiksi sanoa, että on 39,5%: n todennäköisyys, että suuria maanjäristyksiä ei tapahdu tiettynä vuonna. Tai että 5,29% kolmesta kyseisen vuoden suurista maanjäristyksistä tapahtui.

Ratkaisu c)

c) Taajuudet analysoidaan kertomalla n = 100 vuotta:

39,5; 36,7; 17,1; 5,29; 1,23; 0,229; 0,0355 ja 0,00471.

Esimerkiksi:

- Taajuus 39,5 osoittaa, että 0 suurta maanjäristystä tapahtuu 39,5: ssä sadasta vuodesta, voimme sanoa, että se on melko lähellä todellista 47 vuoden tulosta ilman suuria maanjäristyksiä.

Vertaillaan toista Poisson-tulosta todellisiin tuloksiin:

- Saatu arvo 36,7 tarkoittaa, että 37 vuoden aikana tapahtuu yksi suuri maanjäristys. Todellisena tuloksena on, että 31 vuodessa tapahtui yksi suuri maanjäristys, hyvä ottelu mallin kanssa.

- Kahdessa suuressa maanjäristyksessä odotetaan olevan 17,1 vuotta, ja tiedetään, että 13 vuodessa, mikä on lähellä arvoa, tapahtui todellakin 2 suurta maanjäristystä.

Siksi Poisson-malli on hyväksyttävä tässä tapauksessa.

Harjoitus 2

Yksi yritys arvioi, että niiden komponenttien lukumäärä, jotka rikkoutuvat ennen 100 käyttötunnin saavuttamista, seuraa Poissonin jakaumaa. Jos keskimääräinen epäonnistumisten lukumäärä on 8 tuona aikana, etsi seuraavat todennäköisyydet:

a) Komponentti vioittuu 25 tunnissa.

b) Alle kahden komponentin vika 50 tunnissa.

c) Ainakin kolme komponenttia vioittuu 125 tunnissa.

Ratkaisu)

a) On tiedossa, että epäonnistumisten keskiarvo 100 tunnissa on 8, joten epäonnistumisten odotetaan olevan 25 tuntia neljänneksellä, ts. 2 epäonnistumista. Tämä on μ-parametri.

Pyydetään todennäköisyys, että yksi komponentti epäonnistuu, satunnaismuuttuja on "komponentit, jotka rikkoutuvat ennen 25 tuntia", ja sen arvo on y = 1. Korvaamalla todennäköisyysfunktio:

Kysymys on kuitenkin todennäköisyydestä, että vähemmän kuin kaksi komponenttia vioittuu 50 tunnissa, ei siitä, että tarkalleen kaksi komponenttia vioittuu 50 tunnissa, siksi meidän on lisättävä todennäköisyydet, että:

- Kukaan epäonnistuu

- Vain vika 1

Jakauman parametri μ on tässä tapauksessa:

μ = 8 + 2 = 10 vikaa 125 tunnissa.

P (3 tai useampi komponentti epäonnistuu) = 1- P (0) - P (1) - P (2) =

Viitteet

1. MathWorks. Poisson-jakauma. Palautettu osoitteesta: es.mathworks.com
2. Mendenhall, W. 1981. Johtamis- ja taloustiede. 3rd. painos. Grupo Editorial Iberoamérica.
3. Stat Trek. Opeta itsellesi tilastot. Poisson-jakauma. Palautettu osoitteesta: stattrek.com,
4. Triola, M. 2012. Alkuperäiset tilastot. 11th. Toim. Pearson Education.
5. Wikipedia. Poisson-jakauma. Palautettu osoitteesta: en.wikipedia.org