MATEMAATTINEN LOGIIKKA: ALKUPERÄ, MITÄ SE TUTKII, TYYPIT - MATEMATIIKKA - 2026

Matemaattinen logiikka tai symbolisen logiikan on matemaattinen kieli, joka kattaa työkalut, jonka kautta voi vahvistavat tai kieltää matemaattista päättelykykyä.

On hyvin tiedossa, että matematiikassa ei ole epäselvyyksiä. Matemaattisen väitteen perusteella se on joko pätevä tai yksinkertaisesti ei ole. Se ei voi olla väärä ja totta samanaikaisesti.

Matematiikan erityinen näkökohta on, että sillä on muodollinen ja tarkka kieli, jolla argumentin pätevyys voidaan määrittää. Mikä tekee tietyn päättelyn tai muun matemaattisen todistuksen kiistämättömäksi? Se mitä matemaattinen logiikka on kyse.

Siksi logiikka on matematiikan oppiaine, joka vastaa matemaattisen päättelyn ja todisteiden tutkimisesta ja työkalujen tarjoamisesta, joiden avulla voidaan päätellä oikeat johtopäätökset aikaisemmista lausumista tai ehdotuksista.

Tätä varten käytetään aksioomeja ja muita matemaattisia näkökohtia, joita kehitetään myöhemmin.

Alkuperä ja historia

Tarkat päivämäärät matemaattisen logiikan monien näkökohtien suhteen ovat epävarmoja. Kuitenkin suurin osa aiheesta käydyistä bibliografioista jäljittää sen alkuperän antiikin Kreikkaan.

Aristoteles

Logiikan tiukan käsittelyn alku johtuu osittain Aristoteleselle, joka kirjoitti joukon logiikkateoksia, jotka myöhemmin laativat ja kehittivät eri filosofit ja tutkijat, keskiaikaan saakka. Tätä voidaan pitää "vanhana logiikkana".

Myöhemmin, nykyaikaisena aikakautena, Leibniz muutti syvällä pyrkimyksellä perustaa universaali kieli matematiikan perusteeksi, ja muut matemaatikot, kuten Gottlob Frege ja Giuseppe Peano, vaikuttivat merkittävästi matemaattisen logiikan kehitykseen suurella panoksella muun muassa peano-aksioomat, jotka määrittelevät luonnollisten lukujen välttämättömät ominaisuudet.

Matemaatikot George Boole ja Georg Cantor vaikuttivat myös voimakkaasti tuolloin, ja he antoivat merkittävän panoksen asetettuihin teoria- ja totuustaulukoihin. Ne korostivat muun muassa Boolen algebraa (kirjoittanut George Boole) ja Axiom of Choice (kirjoittanut George Cantor).

Siellä on myös Augustus De Morgan tunnetuilla Morgan-laeilla, joissa pohditaan negatiivien, konjunktioiden, disjunktioiden ja ehtojen asettamista ehdotusten, Symbolisen logiikan kehittämisen avainten välillä ja Jhon Venn kuuluisilla Venn-kaavioilla.

1900-luvulla, noin vuosina 1910–1913, Bertrand Russell ja Alfred North Whitehead erottuvat julkaisemallaan Principia mateica -sarjaa, joka on sarja kirjoja, joka kerää, kehittää ja postuloi sarjan aksioomia ja logiikan tuloksia.

Mitä matemaattinen logiikka opiskelee?

ehdotuksia

Matemaattinen logiikka alkaa ehdotusten tutkimuksella. Ehdotus on lausunto, joka voidaan sanoa ilman moniselitteisyyttä, onko se totta vai ei. Seuraavat ovat esimerkkejä ehdotuksista:

• 2 + 4 = 6.
• 5 ² = 35.
• Vuonna 1930 Euroopassa tapahtui maanjäristys.

Ensimmäinen on totta ja toinen on väärä. Kolmas asia, vaikka sitä lukeva ihminen ei ehkä tiedä onko se totta vai välitöntä, on lausunto, joka voidaan testata ja päättää, tapahtuiko se todella.

Seuraavat ovat esimerkkejä lausekkeista, jotka eivät ole väitteitä:

• Hän on vaalea.
• 2x = 6.
• Pelataan!
• Pidätkö elokuvista

Ensimmäisessä väitteessä ei täsmennetä, kuka "hän" on, joten mitään ei voida vahvistaa. Toisessa ehdotuksessa sitä, mitä "x" edustaa, ei ole määritelty. Jos sen sijaan sanotaan, että 2x = 6 joillekin luonnollisille numeroille x, tässä tapauksessa se vastaa ehdotusta, totta, koska x = 3: lle se täyttyy.

Kaksi viimeistä väitettä eivät vastaa väitettä, koska niitä ei voida kieltää tai vahvistaa.

Kaksi tai useampia ehdotuksia voidaan yhdistää (tai yhdistää) käyttämällä tunnettuja loogisia liitoksia (tai liittimiä). Nämä ovat:

• Kieltäminen: "Ei sataa."
• Disjunction: "Luisa osti valkoisen tai harmaan laukun."
• Yhdiste: "4 ² = 16 ja 2 × 5 = 10".
• Ehdollinen: "Jos sataa, en aio käydä kuntosalilla tänään iltapäivällä."
• Bicondition: "Kävin kuntosalilla tänään iltapäivällä, ja vain jos se ei sataa."

Lausetta, jolla ei ole mitään aikaisemmista liitännöistä, kutsutaan yksinkertaiseksi (tai atomaaliseksi) ehdotukseksi. Esimerkiksi "2 on alle 4" on yksinkertainen lause. Lauseita, joissa on jonkin verran yhdistäviä, kutsutaan yhdistelmäehdotuksiksi, kuten "1 + 3 = 4 ja 4 on parillinen luku".

Ehdotusten avulla tehdyt lausunnot ovat yleensä pitkiä, joten on tylsiä kirjoittaa ne aina tähän asti nähtynä. Tästä syystä käytetään symbolista kieltä. Ehdotuksia edustavat yleensä isot kirjaimet, kuten P, Q, R, S jne. Ja seuraavat symboliset liittimet:

Jotta

Päinvastainen Ehdollisen ehdotus

on ehdotus

Ja vastakkaisvastaisuus (tai kontrapositiivinen) ehdotuksesta

on ehdotus

Totuuspöydät

Toinen logiikan tärkeä käsite on totuustaulukot. Ehdotuksen totuuden arvot ovat ehdotuksen kaksi mahdollisuutta: tosi (jota merkitään V: llä ja sanotaan, että sen totuusarvo on V) tai epätosi (jota merkitään F: llä ja sanotaan, että sen arvo todella on F).

Yhdistelmälausekkeen totuusarvo riippuu yksinomaan siinä esiintyvien yksinkertaisten ehdotusten totuusarvoista.

Yleisemmin toimimiseksi emme ota huomioon tiettyjä ehdotuksia, vaan ehdotusmuuttujia p, q, r, s jne., Jotka edustavat kaikkia ehdotuksia.

Näiden muuttujien ja loogisten yhteyksien avulla muodostetaan tunnetut ehdotuskaavat, samoin kuin yhdistetyt ehdotukset rakennetaan.

Jos jokainen ehdotuskaavassa esiintyvä muuttuja korvataan lauseella, saadaan yhdistelmäehdotus.

Alla on loogisten liitäntöjen totuustaulukot:

On ehdotuskaavoja, jotka vastaanottavat totuustaulukossaan vain arvon V, toisin sanoen totuustaulukon viimeisellä sarakkeella on vain arvo V. Tällaisia ​​kaavoja kutsutaan tautologioiksi. Esimerkiksi:

Seuraava on kaavan totuustaulukko

Kaavan a sanotaan loogisesti tarkoittavan toista kaavaa p, jos a on totta joka kerta p on totta. Toisin sanoen α: n ja β: n totuustaulukossa rivit, joissa α on V, β on myös V. Meitä kiinnostavat vain rivit, joissa α on arvo V. Loogisen implikaation merkintä on seuraava::

Seuraava taulukko esittää yhteenvedon loogisen implikaation ominaisuuksista:

Kahden ehdotuskaavan sanotaan olevan loogisesti ekvivalentti, jos niiden totuustaulukot ovat identtisiä. Seuraavaa merkintää käytetään ilmaisemaan looginen vastaavuus:

Seuraavissa taulukoissa esitetään yhteenveto loogisen vastaavuuden ominaisuuksista:

Matemaattisen logiikan tyypit

Logiikkaa on erityyppisiä, varsinkin jos otetaan huomioon käytännöllinen tai epävirallinen logiikka, joka viittaa filosofiaan muun muassa.

Matematiikan osalta logiikan tyypit voitaisiin tiivistää seuraavasti:

• Muodollinen tai aristotelilainen logiikka (muinainen logiikka).
• Propozicionaalinen logiikka: se vastaa kaiken argumenttien ja ehdotusten paikkansapitävyyteen liittyvän tutkimisesta muodollista ja symbolista kieltä käyttäen.
• Symbolinen logiikka: keskittyy joukkojen ja niiden ominaisuuksien tutkimukseen, myös muodollisella ja symbolisella kielellä, ja liittyy syvästi ehdotuslogiikkaan.
• Yhdistelmälogiikka: yksi viimeksi kehitetyistä, sisältää tuloksia, joita voidaan kehittää algoritmeja käyttämällä.
• Looginen ohjelmointi: käytetään erilaisissa paketeissa ja ohjelmointikielissä.

alueet

Niistä alueista, jotka hyödyntävät matemaattista logiikkaa välttämättömällä tavalla perustelujensa ja argumenttiensa kehittämisessä, erottuvat filosofia, joukkoteoria, lukuteoria, algebrallinen rakentava matematiikka ja ohjelmointikielet.

Viitteet

1. Aylwin, CU (2011). Logiikka, sarjat ja numerot. Mérida - Venezuela: Julkaisuneuvosto, Universidad de Los Andes.
2. Barrantes, H., Díaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1998). Johdatus lukuteoriaan. EUNED.
3. Castañeda, S. (2016). Lukuteorian peruskurssi. Pohjoinen yliopisto.
4. Cofré, A., ja Tapia, L. (1995). Kuinka kehittää matemaattista loogista päättelyä. Yliopiston kustantamo.
5. Zaragoza, AC (sf). Lukuteoria Toimituksellinen visio Libros.