OLEMASSAOLO- JA AINUTLAATUISUUSLAUSE: TODISTEET, ESIMERKIT JA HARJOITUKSET - MATEMATIIKKA - 2025

Olemassaolo ja ainutlaatuisuus lause laatii tarvittavat ja riittävät edellytykset ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälön, tietyn ensimmäinen edellytys, että on ratkaisu, ja tämä ratkaisu on vain yksi.

Lause ei kuitenkaan anna mitään tekniikkaa tai ohjeita tällaisen ratkaisun löytämiseksi. Olemassaolo- ja ainutlaatuisuuslause laajennetaan myös korkeamman asteen differentiaaliyhtälöihin lähtöolosuhteiden kanssa, joka tunnetaan nimellä Cauchy-ongelma.

Kuva 1. Eriyhtälö alkuperäisolosuhteiden ja sen ratkaisun kanssa. Olemassaolo- ja ainutlaatuisuuslause takaa, että se on ainoa mahdollinen ratkaisu.

Olemassaolon ja ainutlaatuisuuden lause on muodollisesti seuraava:

”Eroyhtälölle y '(x) = f (x, y), jonka lähtöolosuhteet ovat y (a) = b, XY-tason suorakulmaisella alueella on ainakin yksi ratkaisu, joka sisältää pisteen (a, b), jos f (x, y) on jatkuva tällä alueella. Ja jos f: n osittainen johdannainen suhteessa y: g = ∂f / ∂y on jatkuva samassa suorakaiteen muotoisessa alueella, niin ratkaisu on ainutlaatuinen pisteen (a, b) naapurustossa, joka sisältyy fy: n jatkuvuuden alueelle g. "

Tämän lauseen hyödyllisyys on ensinnäkin sen tiedossa, mitkä ovat XY-tason alueet, joilla ratkaisu voi olla, ja myös tietämisen, onko löydetty ratkaisu ainoa mahdollinen tai onko muita.

Huomaa, että jos ainutlaatuisuusvaatimus ei täyty, lause ei voi ennustaa, kuinka monta ratkaisua Cauchy-ongelmaan on kokonaan: ehkä se on yksi, kaksi tai enemmän.

Todistus olemassaolosta ja ainutlaatuisuudesta

Kuva 2. Charles Émile Picardille (1856-1941) hyvitetään yksi ensimmäisistä todisteista olemassaolosta ja ainutlaatuisuudesta. Lähde: Wikimedia Commons.

Tälle lauseelle tunnetaan kaksi mahdollista todistetta, joista toinen on Charles Émile Picardin (1856-1941) todistus ja toinen johtuu Giuseppe Peanosta (1858-1932), joka perustuu Augustin Louis Cauchyn (1789-1857) teoksiin..

On huomionarvoista, että 1800-luvun loistavimmat matemaattiset mielet osallistuivat tämän lauseen todistamiseen, joten voidaan ymmärtää, ettei kumpikaan näistä ole yksinkertaista.

Lauseen muodollisena todistamiseksi on ensin luotava joukko edistyneempiä matemaattisia käsitteitä, kuten Lipschitz-tyyppiset funktiot, Banach-tilat, Carathéodoryn olemassaololause ja monet muut, jotka eivät kuulu artikkelin piiriin.

Suuri osa fysiikassa käsiteltävistä differentiaaliyhtälöistä käsittelee jatkuvia toimintoja kiinnostuksen kohteena olevilla alueilla, siksi rajoitumme osoittamaan, kuinka lausea sovelletaan yksinkertaisissa yhtälöissä.

esimerkit

- Esimerkki 1

Tarkastellaan seuraavaa differentiaaliyhtälöä alkuperäisellä ehdolla:

y '(x) = - y; jossa y (1) = 3

Onko ratkaisu tähän ongelmaan? Onko se ainoa mahdollinen ratkaisu?

vastaukset

Ensinnäkin arvioidaan differentiaaliyhtälön ratkaisun olemassaolo ja että se täyttää myös alkuperäisen ehdon.

Tässä esimerkissä f (x, y) = - ja olemassaolosuhde vaatii tietämisen, onko f (x, y) jatkuva XY-tason alueella, joka sisältää koordinaattien x = 1, y = 3.

Mutta f (x, y) = - y on affiinifunktio, joka on jatkuva reaalilukujen alueella ja esiintyy koko reaalilukualueella.

Näin ollen on päätelty, että f (x, y) on jatkuva R ², joten lause taataan, että ainakin yksi ratkaisu.

Tietäen tämän, on tarpeen arvioida, onko ratkaisu ainutlaatuinen vai onko päinvastoin useita. Tätä varten on tarpeen laskea f: n osittainen johdannainen muuttujan y suhteen:

Niin g (x, y) = -1, joka on vakio funktio, joka on myös määritelty kaikille R ² ja on myös jatkuva siellä. Tästä seuraa, että olemassaolon ja ainutlaatuisuuden lause takaa, että tällä alkuperäisen arvon ongelmalla on ainutlaatuinen ratkaisu, vaikka se ei kerro meille mitä se on.

- Esimerkki 2

Harkitse seuraavaa ensimmäisen kertaluvun tavallista differentiaaliyhtälöä alkuperäisellä ehdolla:

y '(x) = 2√y; ja (0) = 0.

Onko ratkaisu y (x) tähän ongelmaan? Jos on, selvitä, onko niitä yksi tai useampia.

Vastaa

Tarkastellaan funktiota f (x, y) = 2√y. Toiminto f määritetään vain y≥0: lle, koska tiedämme, että negatiivisella luvulla puuttuu todellinen juuri. Lisäksi f (x, y) on jatkuva ylempi puoli tasossa R ², mukaan lukien X-akselin, niin että on olemassa ja ainutlaatuisuus lause takaa vähintään yksi ratkaisu mainitulla alueella.

Nyt alkuehto x = 0, y = 0 on ratkaisualueen reunalla. Sitten otetaan f: n (x, y) osittainen johdannainen suhteessa y: ään:

∂f / ∂y = 1 / √y

Tässä tapauksessa funktiota ei ole määritelty y = 0: lle, tarkalleen missä lähtötila on.

Mitä lause kertoo meille? Se kertoo meille, että vaikka tiedämme, että X-akselin ylemmässä puolitasossa on ainakin yksi ratkaisu, joka sisältää X-akselin, koska ainutlaatuisuusedellytys ei täyty, ei ole mitään takeita siitä, että olemassa olisi ainutlaatuinen ratkaisu.

Tämä tarkoittaa, että f (x, y): n jatkuvuuden alueella voi olla yksi tai useampi ratkaisu. Ja kuten aina, lause ei kerro meille mitä ne voisivat olla.

Ratkaistuja harjoituksia

- Harjoitus 1

Ratkaise Cauchy-ongelma esimerkissä 1:

y '(x) = - y; jossa y (1) = 3.

Etsi funktio y (x), joka täyttää differentiaaliyhtälön ja alkuolosuhteet.

Ratkaisu

Esimerkissä 1 määritettiin, että tällä ongelmalla on ratkaisu ja se on myös ainutlaatuinen. Ratkaisun löytämiseksi on ensin huomattava, että se on erotettavien muuttujien ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälö, joka kirjoitetaan seuraavasti:

Jakamalla molemmat jäsenet keskenään ja molemmissa jäsenissä erottaaksemme meillä olevat muuttujat:

Määrittelemätöntä integraalia sovelletaan molemmissa jäsenissä:

Ratkaisee määrittelemättömät integraalit, joita meillä on:

missä C on integraatiovakio, joka määritetään alkuperäisellä ehdolla:

C-arvon korvaaminen ja sen uudelleenjärjestys pysyy:

Seuraavan logaritmien ominaisuuden soveltaminen:

Yllä oleva lauseke voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti:

Eksponentiaalifunktiota, jossa kanta e molemmissa jäsenissä, käytetään:

y / 3 = e ^{(1 - x)}

Mikä vastaa:

y = 3e e ^-x

Tämä on yhtälön y '= -y ainutlaatuinen ratkaisu, kun y (1) = 3. Tämän ratkaisun kuvaaja on esitetty kuvassa 1.

- Harjoitus 2

Löydä kaksi ratkaisua esimerkissä 2 esitettyyn ongelmaan:

y '(x) = 2√ (y); ja (0) = 0.

Ratkaisu

Se on myös erotettavien muuttujien yhtälö, joka, kirjoitettuna differentiaalimuodossa, näyttää tältä:

dy / √ (y) = 2 dx

Määrittelemätön integraali otetaan molemmissa jäsenissä edelleen:

2 √ (y) = 2 x + C

Koska tiedämme, että y≥0 ratkaisualueella, meillä on:

y = (x + C) ²

Mutta koska alkuedellytys x = 0, y = 0 on täytettävä, vakio C on nolla ja seuraava ratkaisu pysyy:

y (x) = x ².

Mutta tämä ratkaisu ei ole ainutlaatuinen, funktio y (x) = 0 on myös ratkaisu esitettyyn ongelmaan. Esimerkissä 2 tähän ongelmaan sovellettu olemassaolo- ja ainutlaatuisuuslause oli jo ennustanut, että ratkaisuja voi olla useita.

Viitteet

1. Coddington, Earl A.; Levinson, Norman (1955), Tavallisten differentiaaliyhtälöiden teoria, New York: McGraw-Hill.
2. Matematiikan tietosanakirja. Cauchy-Lipschitzin lause. Palautettu osoitteesta: encyclopediaofmath.org
3. Lindelöf, Sur l'application de la méthode des approximations peräkkäiset aux équations différentielles ordinaires du premier ordre; Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. Voi 116, 1894, s. 454-457. Palautettu: gallica.bnf.fr.
4. Wikipedia. Picardin peräkkäinen lähentämismenetelmä. Palautettu osoitteesta: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Picard-Lindelöf-lause. Palautettu osoitteesta: es.wikipedia.com.
6. Zill, D. 1986. Alkuperäiset differentiaaliyhtälöt sovellusten kanssa Prentice Hall.