MOIVREN LAUSE: TODISTETTU JA RATKAISTU TEHTÄVÄ - MATEMATIIKKA - 2025

Lause, Moivre soveltaa algebran perustavanlaatuisia prosesseja, kuten valtuudet ja uuttamalla juuret kompleksilukuja. Lause ilmoitti tunnettu ranskalainen matemaatikko Abraham de Moivre (1730), joka yhdisti kompleksiluvut trigonometriaan.

Abraham Moivre teki tämän yhdistyksen ilmauksen kautta sini ja kosinus. Tämä matemaatikko tuotti eräänlaisen kaavan, jonka avulla on mahdollista nostaa kompleksiluku z tehoon n, joka on positiivinen kokonaisluku yhtä suuri tai yhtä suuri kuin 1.

Mikä on Moivren lause?

Moivren lause sisältää seuraavan:

Jos meillä on kompleksiluku z-r _Ɵ, missä r on kompleksiluvun z moduuli ja kulmaa Ɵ kutsutaan minkä tahansa kompleksiluvun amplitudiksi tai argumentiksi, jonka arvo on 0 ≤ Ɵ ≤ 2π, sen n– laskemiseksi Voimaa ei tarvitse kertoa itsestään n-kertaisesti; ts. seuraavaa tuotetta ei tarvitse valmistaa:

Z ⁿ = z _* z _* z _{*… *} z = r _{Ɵ *} r _{Ɵ *} r _{Ɵ *… *} r _Ɵ n-kertaa.

Lause päinvastoin, sanoo, että kirjoittaessamme z: n trigonometriseen muotoon laskeaksesi n: nnen tehon etemme seuraavasti:

Jos z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ), niin z ⁿ = r ⁿ (cos n * Ɵ + i _* sin n * Ɵ).

Esimerkiksi, jos n = 2, niin z ² = r ². Jos n = 3, niin z ³ = z ² _* z. Myös:

z ³ = r ² _* r = r ³.

Tällä tavalla voidaan saada aikaan sinin ja kosinin trigonometriset suhteet kulman kerrannaisille, kunhan kulman trigonometriset suhteet ovat tiedossa.

Samalla tavalla sitä voidaan käyttää etsimään tarkempia ja vähemmän hämmentäviä lausekkeita kompleksinumeron z n: nnen juuren kohdalla siten, että z ⁿ = 1.

Moivren lauseen todistamiseksi käytetään matemaattisen induktion periaatetta: jos kokonaisluvulla "a" on ominaisuus "P" ja jos jollakin kokonaisluvulla "n" on suurempi kuin "a", jolla on ominaisuus "P" Täyttää, että n + 1: llä on myös ominaisuus "P", niin kaikilla kokonaislukuilla, jotka ovat suurempia tai yhtä suuret kuin "a", on ominaisuus "P".

Esittely

Lause todistetaan siis seuraavilla vaiheilla:

Induktiivinen pohja

Se tarkistetaan ensin n = 1.

Koska z ¹ = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) ¹ = r ¹ (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ¹ = r ¹, lause pitää voimassa n = 1.

Induktiivinen hypoteesi

Kaavan oletetaan olevan totta joillekin positiivisille kokonaislukuille, ts. N = k.

z ^k = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) ^k = r ^k (cos k Ɵ + i _* sin k Ɵ).

Todentaminen

Sen on osoitettu olevan totta n = k + 1: lle.

Koska z ^{k + 1} = z ^k _* z, niin z ^{k + 1} = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) ^{k + 1} = r ^k (cos kƟ + i _* sin kƟ) _* r (cos Ɵ + i _* senƟ).

Sitten lausekkeet kerrotaan:

z ^{k + 1} = r ^{k + 1} ((cos kƟ) _* (cosƟ) + (cos kƟ) _* (i _* sinƟ) + (i _* sin kƟ) _* (cosƟ) + (i _* sin kƟ) _* (i _* senƟ)).

Kerroin kerrointa r ^{k + 1} jätetään huomioimatta ja yhteinen kerroin i otetaan:

(cos kƟ) _* (cosƟ) + i (cos kƟ) _* (sinƟ) + i (sin kƟ) _* (cosƟ) + i ² (sin kƟ) _* (sinƟ).

Koska i ² = -1, korvaamme sen lausekkeessa ja saamme:

(cos kƟ) _* (cosƟ) + i (cos kƟ) _* (sinƟ) + i (sin kƟ) _* (cosƟ) - (sin kƟ) _* (sinƟ).

Nyt oikea osa ja kuvitteellinen osa on tilattu:

(cos kƟ) _* (cosƟ) - (sin kƟ) _* (sinƟ) + i.

Lausekkeen yksinkertaistamiseksi kosiniin ja siniiniin sovelletaan kulmien summan trigonometrisiä identiteettejä, jotka ovat:

cos (A + B) = cos A _* cos B - sin A _* sin B.

sin (A + B) = sin A _* cos B - cos A _* cos B

Tässä tapauksessa muuttujat ovat kulmat Ɵ ja kƟ. Käyttämällä trigonometrisiä identiteettejä, meillä on:

cos kƟ _* cosƟ - sin kƟ _* sinƟ = cos (kƟ + Ɵ)

sin kƟ _* cosƟ + cos kƟ _* sinƟ = syn (kƟ + Ɵ)

Tällä tavalla lauseke on:

z ^{k + 1} = r ^{k + 1} (cos (kƟ + Ɵ) + i _* sin (kƟ + Ɵ))

z ^{k + 1} = r ^{k + 1} (cos + i _* sin).

Siten voitaisiin osoittaa, että tulos on totta n = k + 1: lle. Matemaattisen induktion periaatteella päätellään, että tulos on totta kaikille positiivisille kokonaislukuille; eli n ≥ 1.

Negatiivinen kokonaisluku

Moivren lause on sovellettu myös, kun n ≤ 0. Tarkastellaan negatiivista kokonaislukua «n»; silloin "n" voidaan kirjoittaa nimellä "-m", ts. n = -m, missä "m" on positiivinen kokonaisluku. Täten:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ^-m

Jotta eksponentti "m" saadaan positiivisella tavalla, lauseke kirjoitetaan käänteisesti:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = 1 ÷ (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ^m

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = 1 ÷ (cos mƟ + i _* sin mƟ)

Nyt käytetään, että jos z = a + b * i on kompleksiluku, niin 1 ÷ z = ab * i. Täten:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = cos (mƟ) - i _* syn (mƟ).

Käyttämällä tätä cos (x) = cos (-x) ja -sen (x) = sin (-x), meillä on:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ =

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = cos (- mƟ) + i _* sin (-mƟ)

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = cos (nƟ) - i _* syn (nƟ).

Siten voidaan sanoa, että lause koskee kaikkia "n" kokonaislukuarvoja.

Ratkaistuja harjoituksia

Positiivisten voimien laskeminen

Yksi operaatioista, joissa polaarisessa muodossa on monimutkaisia ​​lukuja, on näiden kertolasku kahdella; tällöin moduulit kerrotaan ja argumentit lisätään.

Jos sinulla on kaksi kompleksilukua z _{1 ja} z ₂ ja haluat laskea (z ₁ * z ₂) ², jatka seuraavalla tavalla:

z ₁ z ₂ = *

Jakeluomaisuutta sovelletaan:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂ (cos Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ + i _* cos Ɵ _{1 *} i _* syn Ɵ ₂ + i _* sin Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ + i ² _* sin Ɵ _{1 *} sin Ɵ ₂).

Ne on ryhmitelty ottaen ilmaisun "i" yleiseksi tekijäksi lausekkeissa:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂

Koska i ² = -1, se korvataan lausekkeella:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂

Oikeat termit on ryhmitelty todellisiksi ja kuvitteelliset kuvitteellisiksi:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂

Lopuksi trigonometriset ominaisuudet pätevät:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂.

Tiivistettynä:

(z ₁ * z ₂) ² = (r ₁ r ₂) ²

= r ₁ ² r ₂ ².

Harjoitus 1

Kirjoita kompleksiluku polaarimuodossa, jos z = - 2 -2i. Laske sitten Moivren lauseen avulla z ⁴.

Ratkaisu

Kompleksiluku z = -2 -2i ilmaistaan ​​suorakulmaisessa muodossa z = a + bi, missä:

a = -2.

b = -2.

Tietäen, että polaarimuoto on z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ), meidän on määritettävä moduulin "r" ja argumentin "Ɵ" arvo. Koska r = √ (a² + b²), annetut arvot korvataan:

r = √ (a² + b²) = √ ((- 2) ² + (- 2) ²)

= √ (4 + 4)

= √ (8)

= √ (4 * 2)

= 2√2.

Sitten «Ɵ» -arvon määrittämiseksi käytetään tämän suorakulmaista muotoa, joka annetaan kaavalla:

tan Ɵ = b ÷ a

rusketus Ɵ = (-2) ÷ (-2) = 1.

Koska tan (Ɵ) = 1 ja meillä on <0, niin meillä on:

Ɵ = arctan (1) + Π.

= Π / 4 + Π

= 5/4.

Koska arvot «r» ja «Ɵ» on jo saatu, kompleksiluku z = -2 -2i voidaan ilmaista polaarisessa muodossa korvaamalla arvot:

z = 2√2 (cos (5/4) + i _* sin (5/4)).

Nyt käytämme Moivren lausetta z ⁴: n laskemiseen:

z ⁴ = 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sin (5Π / 4)) ⁴

= 32 (cos (5) + i _* sin (5)).

Harjoitus 2

Löydä kompleksilukujen tulos ilmaisemalla se polaarimuodossa:

z1 = 4 (cos 50 ^o + i _* sin 50 ^o)

z2 = 7 (cos 100 ^o + i _* sin 100 ^o).

Laske sitten (z1 * z2) ².

Ratkaisu

Ensin muodostetaan annettujen numeroiden tulos:

z ₁ z ₂ = *

Sitten moduulit kerrotaan keskenään ja argumentit lisätään:

z ₁ z ₂ = (4 _* 7) _*

Lauseke on yksinkertaistettu:

z ₁ z ₂ = 28 _* (cos 150 ^° + (i _* sin 150 ^o).

Lopuksi, Moivren lause on voimassa:

(z1 * z2) ² = (28 _* (kos 150 ^o + (i _* sin 150 ^o)) ² = 784 (cos 300 ^o + (i _* sin 300 ^o)).

Negatiivisten voimien laskeminen

Jakaa kahden kompleksiluvun z _{1 ja} z ₂ niiden polaarisessa muodossa, moduuli on jaettu ja argumentit vähennetään. Siten osamäärä on z ₁ ÷ z ₂ ja ilmaistaan ​​seuraavasti:

z ₁ ÷ z ₂ = R1 / R2 ().

Kuten edellisessä tapauksessa, jos haluamme laskea (z1 ÷ z2) ³, jako suoritetaan ensin ja sitten käytetään Moivren lausetta.

Harjoitus 3

noppia:

z1 = 12 (cos (3π / 4) + i * sin (3π / 4)), z2 = 4 (cos (π / 4) + i * sin (π / 4)), laske (z1 ÷ z2) ³.

Ratkaisu

Edellä kuvattujen vaiheiden perusteella voidaan päätellä, että:

(z1 ÷ z2) ³ = ((12/4) (cos (3π / 4 - π / 4) + i * sin (3π / 4 - π / 4))) ³

= (3 (cos (π / 2) + i * sin (π / 2))) ³

= 27 (cos (3π / 2) + i * sin (3π / 2)).

Viitteet

1. Arthur Goodman, LH (1996). Algebra ja trigonometria analyyttisellä geometrialla. Pearson koulutus.
2. Croucher, M. (toinen). Moivren lauseesta triggettyihin identiteetteihin. Wolfram-esittelyprojekti.
3. Hazewinkel, M. (2001). Matematiikan tietosanakirja.
4. Max Peters, WL (1972). Algebra ja trigonometria.
5. Pérez, CD (2010). Pearson koulutus.
6. Stanley, G. (toinen). Lineaarialgebra. GRAW-Hill.
7. , M. (1997). Precalculation. Pearson koulutus.